基于Weibull分布的變壓器恒加試驗(yàn)可靠性統(tǒng)計(jì)分析*

馮雪峰， 尹繼東

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，成都 611756)

加速壽命試驗(yàn)(Accelerated life test，ALT)是在進(jìn)行合理的工程及統(tǒng)計(jì)假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用與物理失效規(guī)律相關(guān)的統(tǒng)計(jì)模型，通過提高試驗(yàn)應(yīng)力來使產(chǎn)品加速失效，再利用加速模型來外推產(chǎn)品在正常應(yīng)力水平下的各種可靠性指標(biāo)的一種壽命試驗(yàn)方法.采用ALT技術(shù)可實(shí)現(xiàn)對高可靠度長壽命產(chǎn)品可靠性水平的快速評定，它受到了國內(nèi)外可靠性工作人員的高度重視，并在機(jī)械電子，武器裝備及航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[1-3].ALT包括恒定應(yīng)力ALT(簡稱恒加試驗(yàn))，步進(jìn)應(yīng)力ALT(簡稱步加試驗(yàn))和序進(jìn)應(yīng)力ALT(簡稱序加試驗(yàn)).

目前，ALT的研究主要集中在加速模型，ALT數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析以及ALT的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面.在加速模型方面，典型的加速模型有逆冪律(Inverse power)模型，Coffin-Manson模型等.逆冪律模型描述了諸如電壓或壓力這樣的應(yīng)力與產(chǎn)品壽命之間的關(guān)系[4].在ALT數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析方面，王炳興等(2002)[5]基于恒加速試驗(yàn)數(shù)據(jù)研究了Weibull分布下可靠度的漸近無偏估計(jì)及漸近置信區(qū)間；Watkins(2008)[6]基于Weibull分布的恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)提出了一種簡化的極大似然估計(jì)方法，研究表明簡化的極大似然估計(jì)方法提高了計(jì)算效率和模型參數(shù)估計(jì)值的穩(wěn)健性；鄭光玉等(2013)[7]在兩參數(shù)廣義指數(shù)分布下研究了自適應(yīng)逐步Ⅱ型混合截尾恒加試驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)分析方法.在ALT的優(yōu)化設(shè)計(jì)方面，錢萍(2009)[8]提出了航天電連接器綜合應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)優(yōu)化方案，優(yōu)化方案大大減少了試驗(yàn)次數(shù)，提高了試驗(yàn)數(shù)據(jù)的估計(jì)精度；陳文華等(2010)[9]以正常應(yīng)力下產(chǎn)品中位壽命估計(jì)值的方差最小化為準(zhǔn)則，利用極大似然估計(jì)理論和累積失效模型，提出了步加試驗(yàn)的優(yōu)化方案；李新翼等(2013)[10]建立了廣義指數(shù)分布定時(shí)截尾簡單步加試驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，以正常應(yīng)力水平下一段時(shí)間內(nèi)可靠度估計(jì)值的漸進(jìn)方差最小為準(zhǔn)則，研究了試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案等.

在ALT中，恒加試驗(yàn)的優(yōu)點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)精度高，理論和方法成熟.常用的Weibull分布的參數(shù)估計(jì)方法有極大似然估計(jì)(MLE)，最小二乘估計(jì)和矩估計(jì)法，MLE和LSM相比較而言，雖然用MLE法得到的模型參數(shù)的均方誤差最小，但通常需要采用數(shù)值計(jì)算來求解模型參數(shù)的估計(jì)值；而LSM的原理簡單且計(jì)算復(fù)雜度小，在大多數(shù)場合都能得到廣泛的應(yīng)用.因此，以某型變壓器恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)為研究對象，采用LSM估計(jì)逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型的未知參數(shù)，并利用加速模型對正常應(yīng)力水平下的各種可靠性指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.

1 逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型

變壓器在工作期間，電壓是影響其可靠性的最主要因素[4].在電應(yīng)力作用下，變壓器的壽命T服從雙參數(shù)Weibull分布，其累積分布函數(shù)為

(1)

式(1)中：m>0為形狀參數(shù)，η>0為特征壽命或尺度參數(shù).

逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型假設(shè)如下：

A1在電應(yīng)力水平Si下，產(chǎn)品的壽命服從雙參數(shù)Weibull分布W(mi，ηi)，mi>0和ηi>0 (i=0，1，…，k)分別為應(yīng)力水平Si下的形狀參數(shù)和特征壽命.

A2在各電壓應(yīng)力水平Si下，Weibull分布的形狀參數(shù)m是保持不變，即產(chǎn)品的失效機(jī)理保持不變.

A3產(chǎn)品的特征壽命ηi與電應(yīng)力水平Si間滿足對數(shù)線性加速模型：

lnηi=β0+β1·φ(Si)，i=0，1，…，k

(2)

式(2)中：φ(Si)=lnVi，β0，β1為待估參數(shù)；Si是電壓應(yīng)力水平.

上述假設(shè)是否成立，獲取試驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)后都可以進(jìn)行檢驗(yàn).檢驗(yàn)方法分別可采用： 范·蒙特福特檢驗(yàn)法，巴特利特檢驗(yàn)法和相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法[11].

2 逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型的假設(shè)檢驗(yàn)

2.1 威布爾分布的假設(shè)檢驗(yàn)

在對各電壓應(yīng)力Si下的壽命數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析之前，首先要檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否服從Weibull分布.假設(shè)產(chǎn)品的壽命分布為F(t)，則要檢驗(yàn)假設(shè)：

H0：F(t)=F0(t；m，η)=1-exp{-(t/η)m}

基于截尾(定時(shí)或定數(shù))樣本數(shù)據(jù)t1≤t2≤…≤tr，采用范·蒙特福特檢驗(yàn)法[11]來檢驗(yàn)假設(shè)H0是否成立.令

則xi和Zi分別是來自極值分布和標(biāo)準(zhǔn)極值分布的第i個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，i=1，2，…，r，其中μ=lnη，σ=1/m為未知參數(shù).范·蒙特福特提出統(tǒng)計(jì)量：

并證明了在H0成立下，諸Gi漸近獨(dú)立且服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布.把Gi均分為兩組，則統(tǒng)計(jì)量：

在H0成立下的條件下，漸近服從第一自由度為2(r-r′-1)和第二自由度為2r′的F分布，其中r′=[r/2].對于給定的顯著性水平α，如果

F

F>F1-α/2(2(r-r′-1)，2r′).

則認(rèn)為H0不成立，否則可認(rèn)為該截尾樣本來自Weibull分布，其中Fα(f1，f2)是第一自由度為f1，第二自由度為f2的F分布的α分位數(shù).

2.2 形狀參數(shù)不變的假設(shè)檢驗(yàn)

威布爾分布W(mi，ηi)中的形狀參數(shù)mi不變的檢驗(yàn)可采用巴特利特檢驗(yàn)法[11]，首先提出假設(shè)：

H0：m1=m2=…=mk

根據(jù)巴特利特檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造，記

2.3 對數(shù)線性加速模型的假設(shè)檢驗(yàn)

試驗(yàn)應(yīng)力水平Si與特征壽命ηi間是否滿足對數(shù)線性關(guān)系，即對數(shù)電壓lnφi與對數(shù)特征壽命lnηi間是否存在線性關(guān)系：

這需要進(jìn)行檢驗(yàn).通常采用相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法來度量變量間是否存在線性關(guān)系及線性關(guān)系程度的強(qiáng)弱.首先計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)：

(3)

在顯著性水平α下，若|r|>rα成立，則認(rèn)為樣本中φi與yi相關(guān)，這意味著選取的對數(shù)線性加速模型可用；若|r|≤rα成立，則認(rèn)為樣本中φi與yi不相關(guān)，這意味著選取的對數(shù)線性方程不能刻畫特征壽命與試驗(yàn)應(yīng)力間的關(guān)系.

3 逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型的參數(shù)估計(jì)

3.1 威布爾分布的參數(shù)估計(jì)

對于Weibull分布，恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析方法有： 最小二乘估計(jì)(LSM)，基于次序統(tǒng)計(jì)量各類線性估計(jì)，極大似然估計(jì)(MLE)和圖估計(jì)等.LSM具有方法簡單和計(jì)算容易的優(yōu)點(diǎn)，因此得到廣泛應(yīng)用.

若產(chǎn)品的壽命T服從雙參數(shù)Weibull分布，對式(1)兩邊進(jìn)行兩次對數(shù)變換可得：

ln[-ln(1-FT(t))]=mlnt-mlnη

(4)

若記

(5)

則方程(4)可化為線性方程：

y=mx+b

(6)

式(6)中：b=-μ/σ，μ=lnη，σ=1/m.

利用應(yīng)力水平Si下的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)ti1ti2…tiri，累積失效概率Fi(tij)可用中位秩公式(7)進(jìn)行計(jì)算：

(7)

從而獲得試驗(yàn)數(shù)據(jù)：

(tij，F(xiàn)i(tij))，j=1，2，…，ri

(8)

根據(jù)式(5)，恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)就可以轉(zhuǎn)化到新的坐標(biāo)系(x，y)下，即式(8)轉(zhuǎn)化為

(lntij，ln[-ln(1-Fi(tij))])=(xij，yij)

(9)

采用LSM擬合式(9)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[12]，擬合直線的系數(shù)bi和mi的最小二乘估計(jì)值為

(10)

(11)

(12)

3.2 加速模型中β0和β1的估計(jì)

設(shè)x=φ(S)，y=lnη，則線性回歸模型為

y=β0+β1x+ε

(13)

(14)

相應(yīng)的回歸方程為

(15)

4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性統(tǒng)計(jì)分析

為獲得某型變壓器在正常電應(yīng)力水平15.8 KV下的p分位數(shù)壽命tp和可靠度為R的可靠壽命tR，0的估計(jì)，對型變壓器進(jìn)行3個(gè)應(yīng)力水平的恒加試驗(yàn)，獲得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示.現(xiàn)基于表1列舉的恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)來對型變壓器進(jìn)行可靠性統(tǒng)計(jì)分析.采用的統(tǒng)計(jì)分析軟件為R軟件[13].

表1 恒定應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 1 Data of constant-stress accelerated life test

4.1 逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型的檢驗(yàn)

采用范·蒙特福特檢驗(yàn)法對表1的恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行Weibull分布的假設(shè)檢驗(yàn)，其檢驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

表2 Weibull分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果Table 2 Goodness of fit test results for Weibull distribution

在顯著性水平α=0.1下，F(xiàn)0.95(6，8)=3.58，F(xiàn)0.05(6，8)=0.24，顯然1.365，1.371，0.689介于F0.05(6，8)和F0.95(6，8)之間，因此可以接受原假設(shè)H0，即可以認(rèn)為這批變壓器的壽命服從雙參數(shù)Weibull分布.

4.2 威布爾分布形狀參數(shù)和尺度參數(shù)的估計(jì)

圖1 分布直線擬合結(jié)果Fig.1 Fitting results of distribution line表3 應(yīng)力水平Si下mi和ηi的最小二乘估計(jì)Table 3 Least squares estimators of miand ηi under stress levels Si

電壓水平/KV^mib^i^ηi=exp(-b^i/^mi)35.41.203-6.544229.98242.42.018-6.66027.13946.71.843-4.94314.621

4.3 加速模型的估計(jì)

利用式(3)可計(jì)算出φ(S)與mη間的相關(guān)系數(shù)r=-0.991.在α=0.01顯著性水平下，由于|r|=0.991>0.834 3=R0.01，故可認(rèn)為假設(shè)A3成立.另外，對數(shù)特征壽命關(guān)于對數(shù)電壓的散點(diǎn)圖也表明lnηi與φ(Si)高度線性相關(guān)，其散點(diǎn)圖如圖2所示.

上述檢驗(yàn)表明lnηi與φ(Si)高度線性相關(guān)，因此采用最小二乘估計(jì)法來估計(jì)加速模型中的系數(shù)β0與β1，其估計(jì)結(jié)果如表4所示.

圖2 對數(shù)特征壽命關(guān)于對數(shù)電壓的散點(diǎn)圖Fig.2 The scatter diagram of log-characteristicvoltage for log-characteristic life表4 加速模型系數(shù)的估計(jì)值Table 4 The estimators of coefficients foracceleration model

加速模型系數(shù)β^0β^1加速模型系數(shù)估計(jì)值41.701-10.189

得到加速模型參數(shù)估計(jì)值后即可獲得加速模型：

(16)

4.4 正常應(yīng)力水平下可靠性指標(biāo)的估計(jì)

正常應(yīng)力水平S0下Weibull分布參數(shù)的估計(jì)為

正常應(yīng)力水平S0下相應(yīng)的可靠性指標(biāo)估計(jì)結(jié)果如表5所示.

表5 正常應(yīng)力水平下可靠性指標(biāo)估計(jì)Table 5 Estimation of reliability indexes atnormal stress level

正常應(yīng)力水平S0下可靠度函數(shù)為

R(t)=exp{-(t/5 344.545)1.689}

(17)

其相應(yīng)的可靠度曲線如圖3所示.

圖3 正常應(yīng)力水平下可靠度曲線Fig.3 Reliability curve at the normal stress level

5 結(jié) 論

采用恒加試驗(yàn)方法，建立逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型來實(shí)現(xiàn)高可靠度長壽命產(chǎn)品可靠性地快速評估，并利用最小二乘估計(jì)法對某型變壓器在3個(gè)加速應(yīng)力水平下的恒加試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性統(tǒng)計(jì)分析，得結(jié)論：

(1) 不同電壓水平下Weibull分布具有共同的形狀參數(shù)，表明在不同電壓應(yīng)力水平下變壓器的失效機(jī)理不變的假定是合理的.

(2) Weibull分布的對數(shù)特征壽命與對數(shù)電壓間呈高度線性相關(guān)關(guān)系，其相關(guān)系數(shù)的絕對值為|r|=0.991，即Weibull分布的特征壽命與電壓滿足對數(shù)線性加速模型.

(3) 得出了正常應(yīng)力水平S0下Weibull分布的平均壽命，可靠度為0.8的可靠壽命t0.8，0，p(0.25，0.5，0.75)分位壽命的點(diǎn)估計(jì)，從相應(yīng)的可靠度曲線圖可對變壓器的可靠壽命進(jìn)行大致估計(jì).

在快速評估高可靠度長壽命產(chǎn)品的可靠性研究方面，盡管取得了一些初步成果，但還存在不足，未來的研究工作可以從兩個(gè)方面考慮：

一是為提高模型參數(shù)的估計(jì)精度，有必要考慮使用極大似然估計(jì)或貝葉斯估計(jì)法估計(jì)逆冪律-Weibull統(tǒng)計(jì)模型的未知參數(shù).

二是僅考慮單應(yīng)力恒加試驗(yàn)，然而產(chǎn)品的失效很可能是多種應(yīng)力共同作用的結(jié)果；因此為提高高可靠度長壽命產(chǎn)品可靠性評估的精準(zhǔn)度，有必要考慮綜合應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方法.

[1] LEVADA S，MENEGHINI M，MENEGHESSO G，et al.Analysis of DC Current Accelerated Life Tests of Ganleds Using a Weibull-based Statistical Model[J].IEEE Trans-actions on Device and Materials Reliability，2005，5(4)： 688-693

[2] 劉志全，李新立，遇今.長壽命航天器機(jī)構(gòu)的加速壽命試驗(yàn)方法[J].中國空間科學(xué)技術(shù)，2008，28(4)： 65-71

LIU Z Q，LI X L，YU J.Methods of Accelerated Life Tests for Long-life Spacecraft Mechanisms[J].Chinese Space Science and Technology，2008，28(4)： 65-71

[3] 陳東生，宋永剛，徐強(qiáng).基于工程可靠性分析的陀螺電機(jī)加速壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)[J].導(dǎo)彈與航天運(yùn)載技術(shù)，2005 (6)： 38-41

CHEN D S，SONG Y G，XU Q.Gyro Motor Accelerated Life Test Design Based on Engineering Reliability Analysis[J].Missiles and Space Vehicles，2005 (6)： 38-41

[4] NELSON W B.Statistical Models，Test Plans and Data Analysis[J].John Wiley & Sons，2009(2)：397-399

[5] 王炳興.Weibull分布基于恒加壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2002，18(4)： 413-418

WANG B X.Statistical Analysis for the Weibull Distri-bution Based on Constant Stress Accelerated Life Test Data[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2002，18(4)： 413-418

[6] WATKINS A J，JOHN A M.On Constant Stress Acce-lerated Life Tests Terminated by Type II Censoring at One of the Sress Levels[J].Journal of Statistical Planning and Inference，2008，38(3)： 768-786

[7] 鄭光玉，師義民.自適應(yīng)逐步Ⅱ型混合截尾恒加壽命試驗(yàn)下廣義指數(shù)分布的統(tǒng)計(jì)分析[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)，2013，29(4)： 363-380

ZHENG G Y，SHI Y M.Statistical Analysis in Constant-Stress Accelerated Life Tests for Generalized Exponential Distribution Based on Adaptive Type-II Progressive Hybrid Censored Data[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2013，29(4)： 363-380

[8] 錢萍.航天電連接器綜合應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)分析的研究[D].杭州：浙江大學(xué)，2010

QIAN P.Research on Multiple Stress Accelerated Life Test and Statistical Analysis of Aerospace Electrical Connectors[D].Hangzhou：Zhejiang University，2010

[9] 陳文華，劉俊俊，潘駿，等.步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方案優(yōu)化設(shè)計(jì)理論與方法[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2010 (10)： 182-187

CHEN W H，LIU J J，PAN J，et al.Theory and Method for Optimum Design of Accelerated Life Test Plan under Step-stress[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering，2010 (10)： 182-187

[10] 李新翼，鄭海鷹.廣義指數(shù)分布場合下簡單步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)的最優(yōu)設(shè)計(jì)[J].溫州大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，34(4)： 12-17

LI X Y，ZHENG H Y.The Optimal Design for the Acce-lerated Life Tests of Simple Step-stress under Generalized Exponential Distributions[J].Journal of Wenzhou University (Natural Science Edition)，2013，34(4)： 12-17

[11] 茆詩松，王玲玲.加速壽命試驗(yàn)[M].北京： 科學(xué)出版社，2000

MAO S S，WANG L L.Accelerated Life Tests[M].Beijing： Science Press，2000

[12] 姜同敏.可靠性與壽命試驗(yàn)[M].北京： 國防工業(yè)出版社，2012

JIANG T M.Reliability and Life Tests[M].Beijing： National Defend Industy Press，2012

[13] 趙宜平，趙培信.R 統(tǒng)計(jì)軟件在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中的應(yīng)用[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2013，30(3)： 74-76

ZHAO Y P，ZHAO P X.Application of R Statistics Software to Statistics Teaching[J].Journal of Chongqing Technology and Business University(Natural Science Edition)，2013，30(3)： 74-76