一道例題引發(fā)的思考

賈帥

摘 要：在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，要求初中生有很強的邏輯思維能力，其中分類思想不但是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是一種很重要的數(shù)學(xué)邏輯方法.分類思想不僅在數(shù)學(xué)知識的探究和概念學(xué)習(xí)中十分重要，而且在解決數(shù)學(xué)問題過程中起著舉足輕重的作用，其實分類的思想可以用八個字精確地概括，那就是“化整為零、積零為整”.很多學(xué)生接觸一些需要分類討論的題目就無從下手，這就需要教師具體分析難點，針對難點進行突破.結(jié)合一道典型例題談?wù)劮诸愑懻摗耙蚝味y”以及在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中“以何解難”.

關(guān)鍵詞：分類思想；邏輯思維；化整為零；積零為整

一、因何而難

1.對象不明確

例一：我們學(xué)習(xí)了有理數(shù)的加法法則與有理數(shù)的乘法法則，在學(xué)習(xí)此內(nèi)容時，掌握了法則，同時也學(xué)會了分類思考，下面請?zhí)剿魉伎?

（1）若a+b=-7，則a×b的值為：①負數(shù)②正數(shù)③0。你認為結(jié)果可能為（ ）

A.①③ B.①② C.②③ D.①②③

（2）若a+b=-7，且a、b為整數(shù)，則a×b的最大值為 .

（3）數(shù)軸上A、B兩點分別對應(yīng)實數(shù)a、b，若a+b>0，比較a×b與0的大小.

本例充分地體現(xiàn)了《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課堂標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）對不同學(xué)生在有理數(shù)這章的要求上變化，從第一問到第三問，數(shù)量關(guān)系越來越復(fù)雜也越來越抽象.班級40名學(xué)生，第一問36人全對，第二問35人全對，第三問全對的學(xué)生僅僅只有10人.首先第一問和第二問題目比較具體，這兩問的設(shè)置是給第三問做出鋪墊，在錯的這30個人中，其中有8個人不知道分類討論對象是誰，更不知道分類討論對象的取值范圍.

2.分類標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一

以下給出一位同學(xué)的解答：

解：（1）若a>0，b<0且|a|>|b|，那么ab<0

（2）若a>0，b>0時，那么ab>0

（3）若a>0，b=0時，那么ab=0

這位學(xué)生雖然知道分類討論的對象是a、b，但是分類的標(biāo)準(zhǔn)不統(tǒng)一，這樣會導(dǎo)致缺少兩種情況：第一，若a=0，b<0，那么ab=0；第二，若a<0，由于a+b>0，所以b>0，那么，ab<0.其實在得到b>0的過程中也有分類討論的過程.

3.逐級討論無序、歸納總結(jié)不完美

對第三問來說，很多同學(xué)的分類討論都是無序的，在對a到底是正數(shù)、0、負數(shù)的過程中，學(xué)生都不是對a從小到大討論的，或者從大到小討論的。我們不妨來繼續(xù)看一位同學(xué)的解題思路：

解：如果a是負數(shù)，b是正數(shù)，那么ab<0.

如果a是正數(shù)，b是正數(shù)，那么ab>0.

如果a是0，b是正數(shù)，那么ab=0.

這個解題過程就顯得不是那么自然，討論標(biāo)準(zhǔn)雖然統(tǒng)一了，但是第二步逐級討論就沒有考慮到b可能是負數(shù)也可能是0.

二、以何解難

教師在教學(xué)活動中，如何引導(dǎo)學(xué)生運用分類思想，下面從例一出發(fā)，按照下面的過程來談?wù)勗鯓影l(fā)展學(xué)生的邏輯思維.

1.培養(yǎng)學(xué)生分類意識、滲透分類思想

我們知道初中數(shù)學(xué)課本上有許多法則、定義、定理都是分類定義和分類總結(jié)的.蘇教版的初一數(shù)學(xué)課本，首先就將負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)引入到數(shù)中，讓學(xué)生對數(shù)有較全面的了解，同時也要求學(xué)生對數(shù)進行分類，由于分類的依據(jù)不同，相信得到的結(jié)果就不同，例如：數(shù)可以分為正數(shù)、0、負數(shù)，數(shù)也可以分為有理數(shù)和無理數(shù).學(xué)生初步體會到分類的原則：不重復(fù)、不遺漏.當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)了相反數(shù)和絕對值后，我們可以提出這樣一個問題“-a”一定是負數(shù)嗎？啟發(fā)學(xué)生對a分類，遇到|a|的時候，怎么樣化簡|a|，幫助和引導(dǎo)學(xué)生概括出a>0，a=0，a<0時化簡形式.在我們學(xué)到有理數(shù)的加法法則，我們會把兩個加數(shù)分為三類：（1）同號；（2）異號；（3）任何數(shù)與0相加，這樣加深了學(xué)生對正數(shù)、0、負數(shù)的理解，又對有理數(shù)加法的法則更深的了解和掌握.只有在日常的教學(xué)和生活中，不斷滲透分類思想，學(xué)生才能在題目中運用得得心應(yīng)手.

2.提高思維水平，學(xué)習(xí)分類方法

所謂的分類標(biāo)準(zhǔn)要遵循四個原則：互斥性、多層性、統(tǒng)一性、相稱性，換句話來說，在分類之后，各個子項沒有交集，各個子項的并集就是母項.對于上述的例一，我們可以有兩種討論方式：

第一種方式：（1）a>0，b>0；（2）若a>0，b=0；（3）若a>0，b<0；（4）若a=0，b>0；（5）若a=0，b=0（舍去）；（6）若a=0，b<0（舍去）；（7）若a<0，b>0；（8）若a<0，b=0（舍去）；（9）若a<0，b<0（舍去）.

第二種方式：（1）a、b同正；（2）a、b同負（舍去）；（3）a、b一個為正、一個為負；（4）a、b一個為正、一個為0；（5）a、b一個為負、一個為0（舍去）.

第一種方式的分類標(biāo)準(zhǔn)是按a>0，a=0，a<0分類的，第二類分類標(biāo)準(zhǔn)是按a和b是否同異分類的，無論采取哪樣的分類標(biāo)準(zhǔn)，在分類一項事物的時候，我們都要求每一項的事物都要準(zhǔn)確的有且只有分成一類，這樣分類才能做到萬無一失，滴水不漏.

3.簡化分類方法，提高效率

在上述例一中，我們采取兩種分類方法，第一種分類方法相對于第二種分類方法比較復(fù)雜，因為題目有先給出a+b>0，如果直接討論a、b的同異號，解題效率會提高很多.在學(xué)生平常的練習(xí)中可以看到，有先給條件的簡化題，這就要求學(xué)生充分把握

條件.

4.加深分類思想、增強應(yīng)用意識

在教學(xué)過程中或者在講解練習(xí)題時，我們要使學(xué)生知道分類的原因，不是老師說了分類學(xué)生就分類，使學(xué)生自覺運用分類討論思想，這樣就會使學(xué)生在分類討論的時候很確定而不是很盲目.在例一中，為了研究ab和0的大小關(guān)系必須對a、b和0的大小進行分類討論，因為a、b和0的大小直接關(guān)系到ab和0的大小.

5.善于取舍、及時歸納

在討論例一的時候，我們發(fā)現(xiàn)：a、b所有的情況有九種：（1）a>

0，b>0；（2）若a>0，b=0；（3）若a>0，b<0；（4）若a=0，b>0；（5）若a=0，b=0；（6）若a=0，b<0；（7）若a<0，b>0；（8）若a<0，b=0；（9）若a<0，b<0.但是我們考慮到實際情況a+b>0，所以我們要把九種情況加以處理，做到及時歸納.

就像本文所說的一樣“化整為零、積零為整”，我們在教學(xué)過程中要不斷滲透分類思想，把一個問題根據(jù)自己的需要和分類標(biāo)準(zhǔn)分成幾個小問題，解決完每一小問題，然后把每一小問題的結(jié)果歸納總結(jié)在一起.這樣可以有效地提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，若結(jié)合其他的思想，會使讓學(xué)生的邏輯思維不斷地完善.

參考文獻：

紐曼曼.初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用探討[J].教育現(xiàn)代化，2016：234-235.

？誗編輯 李琴芳endprint