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    淺談“三角形邊角互化”問題

    2018-01-07 01:20:44程曉紅
    關(guān)鍵詞:正弦定理解三角形余弦定理

    程曉紅

    【摘要】本文研究了邊角互化問題中的如何選擇統(tǒng)一化為邊或角的問題.本文通過對簡單例題進行分析歸納總結(jié)出邊角互化問題的方法:首先判斷題目中的信息是否包含兩個及兩個以上的平方項(其中形如a2,sin2A,asinA均屬平方項),若包含兩個及兩個以上平方項將題目中的信息統(tǒng)一化為邊,否則將題目中的信息統(tǒng)一化為角.并利用例題驗證了結(jié)論的可行性.

    【關(guān)鍵詞】正弦定理;余弦定理;解三角形;邊角互化

    解三角形是高考的必考和重點考查內(nèi)容,并逐漸成為三角函數(shù)部分的核心考點.其中,主要題型包括三類:一是求三角形的邊或角;二是三角形形狀的判定;三是最值問題.解決這類問題,一般都是統(tǒng)一化為邊或統(tǒng)一化為角,那么怎樣確定化為邊還是化為角呢?這就是本文所要探討的問題.

    一、知識點總結(jié)

    (一)正弦定理

    asinA=bsinB=csinC=2R(2R為△ABC的外接圓直徑).

    (二)余弦定理

    c2=a2+b2-2abcosC(已知兩邊a,b及夾角C求第三邊c).

    cosC=a2+b2-c22ab(已知三邊求角).

    二、探究規(guī)律方法

    類型一:轉(zhuǎn)為邊

    例1 在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2-b2=3bc,sinC=23sinB,求角A的大小.

    解 ∵sinC=23sinB,由正弦定理可得c=23b.

    又∵a2-b2=3bc,由余弦定理可得

    cosA=b2+c2-a22bc=-3bc+c22bc=-3b+23b2b=32,

    ∴A=π6.

    例2 在△ABC中,角A,B,C所對的長分別為a,b,c,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀是_______.

    解 ∵sin2A+sin2B<sin2C,

    由正弦定理可得a2+b2<c2,

    由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab<0,

    ∴△ABC為鈍角三角形.

    例3 在△ABC中,角A,B,C所對的長分別為a,b,c,若a2+b2=2c2,求cosC的最小值.

    解 cosC=a2+b2-c22ab=c22ab.又∵2ab≤a2+b2=2c2,

    ∴cosC=c22ab≥c22c2=12,∴(cosC)min=12.

    觀察以上三個例題,包含解三角形中的三類題型:求角或邊;判斷三角形形狀;最值問題.分析以上三個例題,可以看到在題目所給出的條件中,均含有兩個或兩個以上的平方項,而在解題的過程中,均為利用正、余弦定理將題目中的信息統(tǒng)一化為邊并利用余弦定理求解.

    類型二:轉(zhuǎn)為角

    例4 在△ABC中,bcosA+acosB=2ccosC,求角C的值.

    解 ∵bcosA+acosB=2ccosC,

    由正弦定理可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC,

    ∴sin(A+B)=sin2C,

    ∴A+B=2C或A+B+2C=180°(舍去),∴C=π3.

    例5 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的長分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,判斷△ABC的形狀.

    解 由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA,

    ∴sin(B+C)=sinAsinA,∴sinA=sinAsinA,

    ∴A=π2,∴△ABC的形狀為直角三角形.

    觀察例4、例5兩個例題,包含兩類問題判斷三角形問題以及三角化簡問題.分析這兩個例題,可以看到在題目所給出的條件中,并沒有含兩個或兩個以上的平方項,而在解題的過程中,均為利用正、余弦定理將題目中的信息統(tǒng)一化為角并利用三角函數(shù)求解.

    三、規(guī)律方法總結(jié)及應(yīng)用

    根據(jù)以上分析,將邊角轉(zhuǎn)化方法總結(jié)如下:

    判斷題目中的信息是否包含兩個及兩個以上的平方項(其中形如a2,sin2A,asinA均屬平方項)否

    將題目中的邊利用正弦定理統(tǒng)一化為正弦(角)

    將題目中的正弦利用正弦定理統(tǒng)一化為邊

    利用三角函數(shù)求解

    利用余弦定理求解

    這類方法適用于大部分邊角互化問題中,而在較為復(fù)雜的三角互化問題中更能體現(xiàn)它的優(yōu)勢,而在具體問題中可以多次使用此方法,使每一步清晰明了,使復(fù)雜問題簡單化.

    例6 設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的長分別為a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2+b2)sin(A+B),判斷三角形形狀.

    解析 ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2+b2)sin(A+B),

    ∴a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A-B)-sin(A+B)],

    ∴2a2sinBcosA=2b2sinAcosB(等式中存在兩個平方項,正弦化為邊),

    ∴2a2bcosA=2b2acosB,

    ∴acosA=bcosB(等式中不存在平方項,邊化為正弦),

    ∴sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B,

    ∴A=B或2A+2B=π,∴A=B或A+B=π2,

    ∴△ABC為等腰三角形或直角三角形.

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