淺談數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

陳桐

【摘要】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言和圖形之間進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，化煩瑣為簡(jiǎn)便，化抽象為直觀.本文將通過幾種不同類型的數(shù)學(xué)問題來體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;數(shù)學(xué)思想;極限;定積分

一、數(shù)形結(jié)合的歷史發(fā)展

在數(shù)學(xué)這一學(xué)科中，數(shù)與形是其兩個(gè)最根本的概念，數(shù)學(xué)主要是因?yàn)閿?shù)和形的概念得以形成和延續(xù).在出現(xiàn)了數(shù)這一概念的時(shí)候，用來表達(dá)數(shù)的卻是各種的形.古時(shí)候用來計(jì)數(shù)的措施也是將抽象的數(shù)轉(zhuǎn)換成易于理解的圖形.比如，古埃及的象形數(shù)字和中國(guó)的算盤等都是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典例子.從笛卡爾之后，數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系又有了更深層次的發(fā)展.例如，數(shù)學(xué)分析中的極限、拉格朗日定理、定積分等都應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合.由此可知，現(xiàn)在以及以后數(shù)學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)形結(jié)合的思想并且會(huì)一直存在于整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展的全過程.

二、數(shù)形結(jié)合的研究方法

數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學(xué)中的運(yùn)用分為兩個(gè)方式：

1.以形助數(shù)：根據(jù)代數(shù)問題畫出所需要的圖形，讓圖形可以正確地表達(dá)出問題的數(shù)量關(guān)系，數(shù)和形聯(lián)系在一起解決問題.

2.以數(shù)輔形：通過題目給出的圖形進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系隱藏在圖形中，然后利用我們學(xué)過的知識(shí)處理問題.

三、數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)分析中的實(shí)際應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)分析概念中的應(yīng)用

案例1 數(shù)形結(jié)合在極限概念中的應(yīng)用[1]

數(shù)列極限[2]的定義： limn→∞xn=a的ε-N語(yǔ)言為：

ε>0，N∈N+，當(dāng)n>N時(shí)，有|xn-a|<ε.

假如我們直接從數(shù)學(xué)語(yǔ)言去理解極限的概念，將很難領(lǐng)悟到其本質(zhì)，但通過將抽象的定義轉(zhuǎn)換成圖形則簡(jiǎn)單許多，如圖1所示.

即任給a的ε鄰域（a-ε，a+ε），當(dāng)n>N時(shí)，點(diǎn)xn的位置在區(qū)間（a-ε，a+ε）里.

案例2 曲邊梯形的面積——定積分的幾何意義

曲邊梯形是利用曲線y=f（x）（f（x）≥0）以及曲線x=a，x=b和y=0（即x軸）所圍成的平面圖形.

曲邊梯形的面積的計(jì)算采用極限的思維方式：

（1）分割：將區(qū)間進(jìn)行分割，也就是把大的曲邊梯形割成若干個(gè)很小的曲邊梯形.

（2）替代：把小曲邊梯形的面積用小矩形的面積替代.

（3）求和：求出小矩形的面積，并把它們相加.

（4）取極限：將積分區(qū)間分割，無限地分割，并使每個(gè)小的區(qū)間的長(zhǎng)度趨于零.

如圖2所示，小矩形面積的總和就近似地作為曲邊梯形的面積.同理，若極限值存在的話，這個(gè)值就是曲邊梯形的面積.

計(jì)算曲邊梯形面積的以直代曲的思想方法被圖形表示出來曲邊梯形的面積的計(jì)算就是定積分的幾何意義.

（二）數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)分析定理中的應(yīng)用

案例3 羅爾定理的幾何意義

羅爾定理：若函數(shù)f（x）滿足如下條件：

（?。ゝ（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

（ⅱ）f（x）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo);

（ⅲ）f（a）=f（b）.

則在（a，b）上至少存在一點(diǎn)φ，使f′（φ）=0.

如圖3所示，羅爾定理的幾何意義[1]就是：在每一點(diǎn)都連續(xù)可導(dǎo)的連續(xù)的一條曲線上，如果曲線的兩個(gè)端點(diǎn)的高度相等，那么至少存在一條水平的切線.

本文主要探討了數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)分析中的各種情況下的具體運(yùn)用.其中，主要講述了數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)分析中一些概念和定理中的應(yīng)用.主要是轉(zhuǎn)換成幾何意義去理解，通過數(shù)形結(jié)合的方式，使概念和定理易于理解.在某些具體的題目中，通過用圖像進(jìn)行觀察分析，感受用數(shù)形結(jié)合解決問題的方式，造就我們對(duì)于數(shù)學(xué)問題的剖析以及處理的能力.

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