對立、反證與分析法的辯證統(tǒng)一及其應(yīng)用

吉冬林

對立事件——非此即彼反映事物的兩個(gè)方面，這個(gè)概念為我們辯證地思考數(shù)學(xué)問題提供了依據(jù)，高中數(shù)學(xué)進(jìn)一步地引入“補(bǔ)集”：在給定的數(shù)學(xué)條件或范圍U約束下，若x∈A，則其對立事件x∈UA不成立，反之若x∈UA不成立，則必有x∈A成立，簡單地說，對立的兩個(gè)方面必有一個(gè)成立，這就是反證法的基本思路.

一、反證法的思維剖析

反證法滲透在數(shù)學(xué)推理與證明的各個(gè)部分，我們通過一些簡單的例題剖析其思維的特點(diǎn).

盡可能地簡化數(shù)學(xué)的語言描述，將復(fù)雜問題簡單化，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本要求，數(shù)學(xué)是科學(xué)語言，這是課程改革的重要指向.

三、反證法與分析法的辯證統(tǒng)一

反思上述例3，其思路完全可以重新整理為我們習(xí)慣上的直接證明，由此，“反證法”從本質(zhì)上說并不獨(dú)立于數(shù)學(xué)的其他證明方法之外，而只是分析與探究問題解決的一種途徑，或者說是一種思想方法.事實(shí)上，對已知結(jié)果加以證明并不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本目的，對問題的條件加以分析、猜測，由此推斷并驗(yàn)證可能的結(jié)果才是數(shù)學(xué)的能力所在.反證法思想的延伸是“分析法”.

分析法假設(shè)結(jié)論或猜測成立，由此通過結(jié)論的等價(jià)變形或者相關(guān)推證尋求其成立或不成立的依據(jù)，與反證法在推理本質(zhì)上的相似性需要我們通過解題實(shí)踐對比體會，數(shù)學(xué)知識與方法體系的形成是一個(gè)不斷感悟與提升的過程.

此外，與“對立”相關(guān)的另一類問題是“存在”與“不存在”，具體地說是“存在性命題”與“全稱命題”的轉(zhuǎn)化，這類問題常常與恒成立不等式中的參數(shù)范圍結(jié)合，是高考中考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換能力的常見題型.

數(shù)學(xué)方法的選擇與應(yīng)用是一個(gè)有機(jī)結(jié)合的系統(tǒng)，反證法、分析法基于“對立”的基本概念，相互滲透相互補(bǔ)充;對數(shù)學(xué)問題描述的不同理解以及知識的熟練程度都會影響對數(shù)學(xué)方法的選擇，高三學(xué)習(xí)的主要任務(wù)是優(yōu)化思維，對比、感悟是提高數(shù)學(xué)能力的重要途徑.