含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題

摘 要：通過對(duì)近幾年高考全國(guó)卷中絕對(duì)值不等式問題的研究，除了比較簡(jiǎn)單的求絕對(duì)值不等式的解集外，還常涉及含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題，為此我總結(jié)了該問題的三個(gè)命題方向，希望對(duì)同學(xué)們備戰(zhàn)高考有所幫助。

關(guān)鍵詞：高考；絕對(duì)值不等式；分離參數(shù)；數(shù)形結(jié)合

從2017年開始，高考全國(guó)卷數(shù)學(xué)的選做題改為二選一，分別是選修44的極坐標(biāo)與參數(shù)方程和選修45的不等式選講，并且文理同題。我今天來談?wù)劜坏仁竭x講的這道選做題，從高考全國(guó)卷已考查過的題目來看，絕大多數(shù)涉及絕對(duì)值不等式，通常第（Ⅰ）問為求一個(gè)不含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解集，此問比較容易，只要分段去掉絕對(duì)值即可求解；第（Ⅱ）問多涉及含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題，本文就此總結(jié)出三個(gè)命題方向，供大家參考。

命題方向一：已知不等式的解集求參數(shù)的值或范圍

例1 已知關(guān)于x的不等式|2x-a|<1，a∈Z的整數(shù)解有且只有一個(gè)為2，求a的值。

解析 由|2x-a|<1得a-12

∴1≤a-12<2

例2 已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，a>1，若f（x）>4的解集為{x|x<0或x>4}，求a的值。

解析 思路一：∵a>1，∴f（x）=-2x+a+1，x<1a-1，1≤x≤a2x-a-1，x>a，∵f（x）>4的解集為{x|x<0或x>4}，并結(jié)合圖象得-2×0+a+1=42×4-a-1=4，∴a=3。

思路二：∵f（x）>4的解集為{x|x<0或x>4}，

∴x=0和x=4是方程f（x）=4的解，

∴|0-1|+|0-a|=4|4-1|+|4-a|=4，解得a=3。

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于涉及含參數(shù)的絕對(duì)值不等式的解集，如果不等式中只有一個(gè)絕對(duì)值，我們通常先求出該不等式的解集，再根據(jù)題設(shè)列方程（組）或不等式（組）來求解或求范圍。可以利用以下結(jié)論：

|f（x）|>g（x）f（x）<-g（x）或f（x）>g（x），

|f（x）|

如果不等式中含有兩個(gè)絕對(duì)值，我們可以考慮分段去掉絕對(duì)值來求解集，其中可能會(huì)涉及分類討論，比如把例2題目中“a>1”這個(gè)條件去掉，操作起來就比較復(fù)雜；例2的思路二給我們提供另一種思路，就是由不等式的解集解讀出方程的根，計(jì)算量就大大簡(jiǎn)化了。

命題方向二：通過恒成立或存在性問題求參數(shù)的范圍

（一） 直接分離參數(shù)

例3 已知函數(shù)f（x）=|x+1|-a|x-1|，若不等式f（x）≤a|x+3|恒成立，求a的取值范圍。

解析 由f（x）≤a|x+3|得，|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，即a≥|x+1||x-1|+|x+3|恒成立，

∵|x+1||x-1|+|x+3|≤|x+1||（x-1）+（x+3）|=|x+1||2x+2|=12，當(dāng)且僅當(dāng)（x-1）（x+3）≥0時(shí)等號(hào)成立，

∴a≥12，∴a的取值范圍為12，+∞。

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于恒成立或存在性問題，如果可以分離參數(shù)，問題就可以轉(zhuǎn)化成最值問題。

若a>f（x）在x∈D恒成立，則a>f（x）max；若a

若存在x∈D使得a>f（x），則a>f（x）min；若存在x∈D使得a

（二） 先通過條件去掉絕對(duì)值，再分離參數(shù)

例4 已知函數(shù)f（x）=|x+2|，若不等式f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|的解集為M，且

M∩12，1≠，求a的取值范圍。

解析 ∵M(jìn)∩12，1≠，

∴f（2x）≤f（2x-3）+|x+a|在x∈12，1有解，

即|2x+2|≤|2x-1|+|x+a|在x∈12，1有解，

∵當(dāng)x∈12，1時(shí)，2x+2≤2x-1+|x+a|，

∴|x+a|≥3，∴x+a≤-3或x+a≥3，

∴存在x∈12，1，有a≤-x-3或a≥-x+3，

∴a<-12-3=-72或a>-1+3=2，

∴a的取值范圍為-∞，-72∪（2，+∞）。

點(diǎn)評(píng) 如果題目中有給出x的取值范圍，通?？梢岳眠@個(gè)范圍去掉一個(gè)或兩個(gè)絕對(duì)值，然后分離參數(shù)，就能轉(zhuǎn)化成上一種類型。

（三） 不易分離參數(shù)，需要用到數(shù)形結(jié)合思想

例5 已知函數(shù)f（x）=|x-3|+|4-x|，若不等式f（x）≤ax-1的解集非空，求a的取值范圍.

解析 ∵f（x）=-2x+7，x<31，3≤x≤42x-7，x>4，y=ax-1表示過點(diǎn)（0，-1），斜率為a的直線，

如圖所示，當(dāng)且僅當(dāng)a<-2或a≥12時(shí)，y=f（x）與y=ax-1的圖象有交點(diǎn)，

∴不等式f（x）≤ax-1的解集非空時(shí)，a的取值范圍為（-∞，-2）∪12，+∞。

例6 已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-a|，a∈R，若不等式f（x）≥32x恒成立，求a的取值范圍。

解析 ∵f（x）=|x+2|+|x-a|≥|（x+2）-（x-a）|=|2+a|，當(dāng)且僅當(dāng)（x+2）（x-a）≤0時(shí)等號(hào)成立，∴當(dāng)（x+2）（x-a）≤0時(shí)，f（x）min=|2+a|。

記g（x）=32x，g（x）表示過原點(diǎn)，斜率為32的直線，

∴如圖所示，要使不等式f（x）≥32x恒成立，

只需f（-2）≥g（-2）f（a）≥g（a），即|-2-a|≥-3|a+2|≥32a，解得a的取值范圍為（-∞，4]。

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于不易分離參數(shù)的類型，我們通常需要用到數(shù)形結(jié)合思想，分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再利用圖象的上下關(guān)系來列不等式求解。

命題方向三：涉及兩個(gè)函數(shù)圖象圍成的圖形

例7 （2015年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x+1|-2|x-a|，a>0，若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍。

解析 ∵f（x）=x-1-2a，x<-13x+1-2a，-1≤x≤a-x+1+2a，x>a，a>0，

f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A2a-13，0，

B（2a+1，0），C（a，a+1），

∴△ABC的面積為S=12（2a+1-2a-13）·（a+1）=23（a+1）2，

由23（a+1）2>6解得a>2，

∴a的取值范圍為（2，+∞）。

例8 已知函數(shù)f（x）=|x|+|x-3|的圖象與y=ax+5a能圍成一個(gè)三角形，求a的取值范圍。

解析 ∵f（x）=-2x+3，x<03，0≤x≤32x-3，x>3，直線y=ax+5a=a（x+5）恒過定點(diǎn)（-5，0），

如圖所示，當(dāng)直線過點(diǎn)A（3，3）時(shí)，直線的斜率k1=0-3-5-3=38，

當(dāng)直線過點(diǎn)B（0，3）時(shí)，直線的斜率k2=0-3-5-0=35，∴a的取值范圍為38，35。

點(diǎn)評(píng) 此類題目的解題思路是分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想，根據(jù)題設(shè)求解。

以上就是我對(duì)含參數(shù)的絕對(duì)值不等式問題的一些總結(jié)，希望對(duì)大家備戰(zhàn)高考有所幫助。

作者簡(jiǎn)介：郭嘉祥，福建省漳州市，福建省漳州市第三中學(xué)。