例析數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

袁奮華

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是重要的數(shù)學(xué)研究方法，是代數(shù)與幾何知識(shí)相聯(lián)系的體現(xiàn).通過數(shù)形結(jié)合思想的使用，可以起到化繁為簡、化難為易的目的.本文從方程、不等式及解析幾何這三方面出發(fā)，對數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用展開討論.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；教學(xué)應(yīng)用

“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非”，這句話出自我國當(dāng)代數(shù)學(xué)家華羅庚.他形象客觀的闡釋了數(shù)與形的關(guān)系，成功地將抽象的代數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的幾何關(guān)系；同樣的，將復(fù)雜的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)換為代數(shù)關(guān)系，利用代數(shù)規(guī)律實(shí)現(xiàn)求解.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中蘊(yùn)含著眾多的數(shù)學(xué)思想，數(shù)形結(jié)合思想作為最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想，有著重要的應(yīng)用價(jià)值.

一、數(shù)形結(jié)合在方程中的應(yīng)用

在方程求解過程中，我們常常會(huì)遇到一些特殊組合，例如，某些方程常常會(huì)涉及三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及絕對值函數(shù)等，這些方程的求解往往較為特殊，也給學(xué)生們帶來了一定的困擾.尤其是對絕對值方程而言，若是采用通常的代數(shù)手段進(jìn)行求解，需要面臨分類討論的煩瑣計(jì)算，且容易造成學(xué)生思路混亂，降低求解準(zhǔn)確率.但若是利用圖形語言，將絕對值函數(shù)圖形化，那么原本的方程求解問題就變成了簡單的看圖說話了.

例1 已知方程|x2-1|=k+1，試求該方程解得個(gè)數(shù)與k值的關(guān)系.

分析 針對含有絕對值的方程，需要討論絕對值部分在大于零、小于零及等于零這三種情況，對各類情況還需要進(jìn)行計(jì)算分析，最后綜合上述條件才能得到最終的結(jié)論.但我們?nèi)羰菍⒎匠虇栴}視為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，那么計(jì)算分析就簡單多了.在本例中即是將等式兩邊視為兩個(gè)函數(shù)，在坐標(biāo)系中研究其函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題.

解析 已知方程|x2-1|=k+1，設(shè)y1=|x2-1|、y2=k+1.至此，方程解的問題就轉(zhuǎn)化成了函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題.于是，我們將上兩個(gè)函數(shù)圖像繪制在坐標(biāo)系中，得到其關(guān)系圖形如右所示，此時(shí)該題目就變成了簡單地看圖說話了.（1）當(dāng)k<-1時(shí)，兩函數(shù)圖像無交點(diǎn)，即原方程無解；（2）當(dāng)k=-1時(shí)，兩圖像存在兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)解；（3）當(dāng)-10時(shí)，兩函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，即原方程有兩個(gè)解.綜上即可知本題的最終結(jié)論.

二、數(shù)形結(jié)合在不等式中的應(yīng)用

坐標(biāo)軸作為數(shù)形結(jié)合的紐帶，可以有效地將數(shù)與形相結(jié)合，利用函數(shù)圖像鮮明的反映代數(shù)關(guān)系.在某種程度上，函數(shù)、方程及不等式都是相互聯(lián)系的，這三者可以互相轉(zhuǎn)換.與數(shù)形結(jié)合思想在方程中的應(yīng)用相似，在不等式中依然是依靠函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)換成函數(shù)關(guān)系.在實(shí)際求解過程中，我們同樣可以利用函數(shù)知識(shí)進(jìn)行導(dǎo)入，逐漸向不等式上靠攏.通過對“求根公式法”及“圖像法”在不等式求解中的比較，最終引出更為簡單直觀的數(shù)形結(jié)合法.

例2 已知實(shí)數(shù)x、y滿足關(guān)系式x2+（y-1）2=1，此時(shí)，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，試問實(shí)數(shù)c的取值范圍是什么？

分析 從已知信息可以看出，本題涉及二元二次函數(shù)及二元一次不等式，若是單純從代數(shù)的角度尋求解題必然需要面臨煩瑣的計(jì)算分析，還有可能算不出來.但若是從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，將兩實(shí)數(shù)滿足的關(guān)系式視為二次函數(shù)，將不等式轉(zhuǎn)換為一次函數(shù)，利用函數(shù)圖像的性質(zhì)，便可以實(shí)現(xiàn)順利求解.

解析 由實(shí)數(shù)x、y滿足關(guān)系式x2+（y-1）2=1可知，點(diǎn)（x，y）在以（0，1）為圓心，1為半徑的圓上.當(dāng)該點(diǎn)在圓軌跡上運(yùn)動(dòng)時(shí)，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，即動(dòng)點(diǎn)恒在直線y=-x-c的上方.此時(shí)，繪制出該題的示意圖，利用圖形語言進(jìn)行分析.如上圖所示，當(dāng)該直線與圓相切，且切點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)取到線段OA的最小值.其中-c值代表的是直線與縱坐標(biāo)交點(diǎn)的位置.利用已有圖形信息可知，當(dāng)切點(diǎn)位于B點(diǎn)時(shí)，|OA|min=2-1，即c值應(yīng)≥2-1，故B選項(xiàng)即是正確選項(xiàng).

三、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何是高中數(shù)學(xué)知識(shí)中數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的典范，尤其是涉及直線、圓、拋物線、雙曲線等復(fù)雜的解幾問題時(shí)，數(shù)形結(jié)合思想的使用是必不可少的.在解析幾何的考題中，有時(shí)不會(huì)為學(xué)生提供現(xiàn)成的分析圖形，需要學(xué)生自己繪制，在考查幾何知識(shí)的同時(shí)，也訓(xùn)練了學(xué)生的繪圖能力.尤其是遇到復(fù)雜類的組合區(qū)域問題時(shí)，需要首先繪制出組合區(qū)域的示意圖，利用圖形輔助分析幾何概念.

例3 已知圓C位于直線x=3與拋物線y2=2x圍成的區(qū)域內(nèi)，試問圓C所能取到的最大半徑值是多少？

分析 本題屬于數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用，考查了圓、直線、拋物線及函數(shù)最值問題，是一道綜合性解析幾何題.此時(shí)，欲使圓C半徑取得最大值，圓心應(yīng)在x軸上，且應(yīng)同時(shí)與直線和拋物線相切.因此，我們需要設(shè)參數(shù)，表示出圓方程.

解析 設(shè)圓的半徑為r，即可得到圓方程的表達(dá)式為（x+r-3）2+y2=r2.利用取最值條件時(shí)，圓與直線和拋物線同時(shí)相切，可知切點(diǎn)也應(yīng)同時(shí)滿足拋物線方程，即滿足y2=2x.于是將上兩式聯(lián)立得到關(guān)系式x2+2（r-2）x+9-6r=0.利用相切關(guān)系，結(jié)合根的判別式得到Δ=[2（r-2）2]-4（9-6R）=0.結(jié)合r>0，分析得到rmax=6-1.

總之，通過數(shù)形結(jié)合思想的使用，有效地將抽象與具體相結(jié)合，巧妙地避開了代數(shù)計(jì)算的抽象和幾何分析的復(fù)雜，將解題過程實(shí)現(xiàn)了簡單化.當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合的使用遠(yuǎn)不止本文提到的這幾類.我們教師應(yīng)該在日常教學(xué)中著眼于數(shù)與形的關(guān)系發(fā)掘，利用數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.