猜想的彼岸，思維的新高地

居海霞

摘 要：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)兒童敢猜想、會(huì)猜想的素養(yǎng)，顯得尤為重要和可貴。在“欲言卻言不清”處、在知識(shí)的整體回顧處、在知識(shí)的新領(lǐng)域處，都可以有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)“可猜想”的空間，激發(fā)兒童的直覺、靈感，從而帶著他們走向思維的新高地。

關(guān)鍵詞：猜想；思維；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

古今中外，很多偉大的猜想成了數(shù)學(xué)發(fā)展水平的一項(xiàng)重要標(biāo)志。比如，費(fèi)馬猜想產(chǎn)生了代數(shù)數(shù)論，龐加萊猜想有助于人們更好地研究三維空間，哥德巴赫猜想促進(jìn)了篩法和圓法的發(fā)展。這些數(shù)學(xué)猜想不僅是一顆顆“璀璨艷麗的寶石”，而且是一只只“能生金蛋的母雞”，推動(dòng)著人類社會(huì)的發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)兒童敢猜想、會(huì)猜想的素養(yǎng)，顯得尤為重要和可貴。

一、猜想，想在“欲言卻言不清”處

很多時(shí)候，兒童對(duì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)在直觀感性的認(rèn)知基礎(chǔ)上，如果再往深處挖一挖，可以有一個(gè)更深層次的感悟。而如何向深處去挖一挖，就需要我們教師費(fèi)一番心思。在下面這個(gè)教學(xué)片段中，借助于“猜想”，學(xué)生就能更深層次地感悟“三角形三邊關(guān)系”。

判斷三條線段是否能圍成一個(gè)三角形，主要的方法就是“兩條短線段的長(zhǎng)度和比最長(zhǎng)的線段長(zhǎng)，這三條線段就能圍成一個(gè)長(zhǎng)方形。反之，就不能圍”。對(duì)于四年級(jí)的學(xué)生，教材給出的題目通常是借助于具體的數(shù)據(jù)。

比如圖1中的三題，均是給出了具體的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生來(lái)分別判斷。在第1題中，兩條短線段的和是6 cm，和最長(zhǎng)線段一樣長(zhǎng)，所以不能圍成一個(gè)三角形。在第2題中，兩條短線段的和是4 cm，比最長(zhǎng)線段5 cm短，所以也不能圍成一個(gè)三角形。而在第3題中，兩條短線段的和是7 cm，比最長(zhǎng)線段6 cm長(zhǎng)，所以能圍成一個(gè)三角形。

但我們都知道，只要最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)比其他兩條短線段長(zhǎng)度的和長(zhǎng)一點(diǎn)點(diǎn)，這三條線段就可以圍一個(gè)三角形了。但長(zhǎng)的“一點(diǎn)點(diǎn)”該怎么表述呢？一個(gè)具體的整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)都無(wú)法準(zhǔn)確表述，因?yàn)檫@里涉及數(shù)的“極限”。在下面的這個(gè)教學(xué)片段中，一位教師巧妙地創(chuàng)設(shè)了“拉幕”活動(dòng)，帶著孩子進(jìn)行“猜想”，并感悟其中的“極限”思想。

首先，出示一個(gè)“黑幕”，“黑幕”的背后藏著三條線段?！昂谀弧毙煨煜蛴依_，漸漸露出三條線段（如圖2）。

當(dāng)?shù)谝粭l線段、第二條線段全都露出來(lái)后，“黑幕”不再向右運(yùn)行。這時(shí)，教師提問：“這三條線段能圍成一個(gè)三角形嗎？”

是呀，第三條線段還有一部分在“黑幕”的后面，看不到它的全長(zhǎng)，能不能進(jìn)行判斷呢？經(jīng)過(guò)短暫的思考之后，學(xué)生有了發(fā)現(xiàn)：既然第三條線段最長(zhǎng)也就和長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，那么前兩條線段的長(zhǎng)度和一定比第三條線段長(zhǎng)。所以，這三條線段一定能圍成一個(gè)三角形。這里，雖然第三條線段沒有完全出示，但經(jīng)過(guò)兒童的合理猜想，同樣可以進(jìn)行判斷。

接著，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行變式練習(xí)。

直觀的線條的演示、拉動(dòng)、變化，給“猜想”搭建了平臺(tái)，再配以具體的數(shù)據(jù)舉例，于是，對(duì)這個(gè)“欲言卻言不清”的“極限思想”的感悟在兒童思緒的起伏中“孕育而生”。

二、猜想，想在知識(shí)的整體回顧處

當(dāng)一個(gè)版塊的內(nèi)容學(xué)完后，在整理復(fù)習(xí)中，我們通常會(huì)將零碎的知識(shí)梳理、連接、溝通，找出其中的主線，將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)。用心的教師還會(huì)在串聯(lián)的基礎(chǔ)之上，對(duì)兒童進(jìn)行綜合性的練習(xí)。在《多邊形整理復(fù)習(xí)》一課中，一位教師在知識(shí)融合處帶著兒童進(jìn)行“猜想”，在想象的領(lǐng)域中，使其對(duì)平面圖形面積的整體掌握到達(dá)一個(gè)新的高度。

課中，在學(xué)生理清了長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形等多邊形的面積推導(dǎo)之間的聯(lián)系之后，出示了如圖3所示的“底”和“高”。

雖然只能看到圖形的底，但有“高”的支撐，那看不見的頂點(diǎn)、看不見的其他的邊，都會(huì)出現(xiàn)在兒童的腦海中。

“可能會(huì)是一個(gè)三角形”“可能會(huì)是一個(gè)長(zhǎng)方形”“可能會(huì)是一個(gè)平行四邊形”……同時(shí)，他們也能在“猜想”中進(jìn)行思辨：“不可能是正方形，因?yàn)檎叫蔚拈L(zhǎng)和寬一樣長(zhǎng)?！薄安豢赡苁翘菪危?yàn)榍筇菪蔚拿娣e，除了知道下底和高，還要知道上底的長(zhǎng)度?！?/p>

于是，在猜想之中，學(xué)生再次對(duì)知識(shí)進(jìn)行了融會(huì)貫通，不但想出了一棵棵樹，而且想出了“一片小樹林”。

三、猜想，想出知識(shí)的新領(lǐng)域

對(duì)于知識(shí)的獲得，可以是自主學(xué)習(xí)、操作、討論等多種途徑，其中，猜想這一方式，在某些特定的學(xué)習(xí)情境中也可以幫助兒童到達(dá)知識(shí)獲取的新領(lǐng)域。

在二年級(jí)《千以內(nèi)的數(shù)的認(rèn)識(shí)》一課中，如何引導(dǎo)兒童認(rèn)識(shí)“最大的三位數(shù)是999”呢？我們可以引導(dǎo)他們數(shù)數(shù)，比如“990，991，992，…998，999，1000”，在數(shù)數(shù)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)999的后面是1000，1000是一個(gè)四位數(shù)，所以999是最大的三位數(shù)。我們也可以引導(dǎo)學(xué)生寫數(shù)，在個(gè)位、十位、百位上寫數(shù)，從寫出的眾多的三位數(shù)中來(lái)感悟可以寫出的最大的三位數(shù)是999。要得出這一結(jié)論，方式是多樣的。下面這一教學(xué)片段中，教師巧妙地將“撥珠”和“找數(shù)”相結(jié)合，引導(dǎo)兒童在“數(shù)形結(jié)合”的世界中感悟、猜想、驗(yàn)證，從而獲取這一結(jié)論。

首先，帶著兒童撥珠、數(shù)數(shù)，并從中提取這樣的3個(gè)三位數(shù)：二百零三、三百零二、二百三十，引導(dǎo)兒童觀察：“仔細(xì)觀察這3個(gè)三位數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”

在交流、匯報(bào)中學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些數(shù)的數(shù)位上分別有2個(gè)珠、3個(gè)珠或沒有珠等，從而發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是由5個(gè)珠撥出的三位數(shù)。

在“5個(gè)珠可以撥出很多的三位數(shù)，這是其中的3個(gè)”這個(gè)結(jié)論的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)兒童進(jìn)行想象：“想一想，6個(gè)珠可以撥出哪些三位數(shù)呢？”學(xué)生的手紛紛舉起：“501”“420”“123”……學(xué)生能想出多個(gè)不一樣的三位數(shù)?！鞍涯阆氤龅娜粩?shù)在計(jì)數(shù)器上撥一撥，”在6個(gè)珠撥出一個(gè)三位數(shù)的基礎(chǔ)上，教師追問：“6個(gè)珠撥出的三位數(shù)肯定比5個(gè)珠撥出的三位數(shù)大。這句話對(duì)嗎？”學(xué)生通過(guò)舉例，很好地說(shuō)明了問題，比如“6個(gè)珠可以撥出114，5個(gè)珠可以撥出500，500比114大！所以這句話不對(duì)！”

教師繼續(xù)引導(dǎo)兒童猜想：“想一想，你還能用幾個(gè)珠撥一個(gè)三位數(shù)？”“8個(gè)！”“12個(gè)！”“15個(gè)！”……

猜想繼續(xù)升華：“繼續(xù)猜！撥一個(gè)三位數(shù)，最多可以用多少個(gè)算珠？”

在片刻的思索之后，小手再次舉起！學(xué)生發(fā)現(xiàn)：最多用27個(gè)算珠！個(gè)位、十位、百位上各撥9個(gè)珠，撥出的數(shù)是999。

在這個(gè)教學(xué)片段中，教師一共引導(dǎo)兒童進(jìn)行了三次猜想，分別是：（1）想一想，6個(gè)算珠可以撥出哪些三位數(shù)？（2）你還能用多少個(gè)算珠撥一個(gè)三位數(shù)？（3）要撥一個(gè)三位數(shù)，最多可以用多少個(gè)算珠？

可以發(fā)現(xiàn)，這些猜想都是建立在“形”的基礎(chǔ)之上的有效猜想。之前，教師已帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行了撥珠、數(shù)數(shù)的操作，雖然在之后的猜想時(shí)刻脫離了計(jì)數(shù)器，但學(xué)生的腦中、心中卻已有計(jì)數(shù)器，眼前的“無(wú)形”卻是“有形”。其次，猜想過(guò)后會(huì)有及時(shí)的驗(yàn)證。猜想6個(gè)算珠能撥出什么三位數(shù)，緊接著去撥一撥，其后，學(xué)生就能舉例說(shuō)明“6個(gè)珠撥出的三位數(shù)不一定比5個(gè)珠撥出的三位數(shù)大”，質(zhì)疑、思辨這些思維品質(zhì)在其中也得以培養(yǎng)。猜想“撥一個(gè)三位數(shù)最多用多少個(gè)珠？”雖已有之前大量的操作積累，但在學(xué)生想出“27個(gè)珠”之后，教師還是帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行撥珠驗(yàn)證，在驗(yàn)證中，深刻感悟到“999是最大的三位數(shù)”。從中我們還能感悟出，猜想既需要之前的認(rèn)知積累（有積累，猜想才會(huì)有效），又需要及時(shí)驗(yàn)證（有驗(yàn)證，才能反思猜想正確與否）。

德摩說(shuō)：“數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動(dòng)力不是推理，而是想象力的發(fā)揮?！迸ｎD也曾說(shuō)：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！痹趦和臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)“可猜想”的空間，激發(fā)兒童的直覺、靈感，從而帶著他們走向思維的新高地。endprint