數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

丁莉萍

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想，是指將抽象的數(shù)學(xué)知識轉(zhuǎn)化為圖形特性，以加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解和掌握。本文通過對我國初中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀進(jìn)行深入探討和剖析，并提出數(shù)形結(jié)合思想教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義，以供相關(guān)教育工作者有所借鑒。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;以形輔數(shù);以數(shù)輔形;解決數(shù)學(xué)問題

中圖分類號：G633.6????????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2018）20-039-2

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”?！耙詳?shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等

本文主要是通過典型的例題，來闡述數(shù)形結(jié)合思想方法在各層面上的應(yīng)用。每道例題，都很好地體現(xiàn)了數(shù)與形相結(jié)合的妙處，都說明了在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，可以鍛煉他們的靈活運用能力。

一、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)代數(shù)中的應(yīng)用

代數(shù)是研究數(shù)量關(guān)系的。雖然數(shù)字化是很精確，但若能用圖象表示出來，往往更直觀，變化的趨勢更明確。所以運用數(shù)形結(jié)合思想方法，能給抽象的數(shù)量關(guān)系以形象的幾何直觀，同樣也能把幾何圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題去解決。

（一）函數(shù)與圖象的問題

例1 函數(shù)值域的求法

1.轉(zhuǎn)化為斜率型

函數(shù)f（x）=xx+1的最大值??? 。

解：原函數(shù)式可寫成f（x）=x-0x-（-1），x∈[0，+∞）。故y可看成是連接P（x，x），Q（-1，0）兩點直線的斜率。P點軌跡是拋物線x=y2。在直角坐標(biāo)系中作出此拋物線的圖像，即求拋物線上一點與點Q的連線的斜率的最大值。顯然如圖所示位置時，切點為（1，1）時，斜率最大為12。所以函數(shù)f（x）=xx+1的最大值為12。

2.轉(zhuǎn)化為截距型

已知函數(shù)y=1-x+x+3的最大值為M，最小值為m，則mM的值為??? 。

解：函數(shù)y=1-x+x+3的定義域為x∈[-3，1]。令t=1-x，t∈[0，4]，則函數(shù)y=1-x+x+3可變形為y=t+4-t。設(shè)P（t，4-t），令u=t，v=4-t，則P點軌跡是四分之一個圓u2+v2=4。而直線L的方程為u+v=y。圓與直線有公共點P。要求y的最大值和最小值，即求直線L：v=-u+y的截距的最值。

在直角坐標(biāo)系中畫出圓和直線L的圖像，隨著u，v的變化，我們發(fā)現(xiàn)y最大為22，最小為2.所以mM=22。

3.轉(zhuǎn)化為距離型

求函數(shù)f（x）=2x2-6x+9+2x2-10x+7的值域。

解：函數(shù)f（x）=2x2-6x+9+2x2-10x+7可變形為

f（x）=2（（x-32）2+（0-32）2+（x-52）2+（0-32）2）。則f（x）可視為平面上點P（x，0）到兩定點A（32，32）和B（52，32）的距離之和。在x軸上找一點P（x，0），作點A關(guān)于x軸的對稱點A′（32，-32）。則f（x）=2（|PA|+|PB|）=2（|PA′|+|PB|）≥2|A′B|。又因為|A′B|=10，所以f（x）≥25，即f（x）∈[25，+∞）。

說明：在遇到求函數(shù)值域這類問題時，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的不同類型，選擇不同的方法。以上介紹的三種方法是對于式子較復(fù)雜一點的函數(shù)而言，任一種都很形象直觀。學(xué)生可通過觀察圖像，再結(jié)合數(shù)，將問題分析得徹底，理解得透徹。對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維很有幫助。

運用數(shù)形結(jié)合思想方法不但可以比較大小、求函數(shù)值域，還可以判斷函數(shù)單調(diào)性等等，在函數(shù)與圖像這一方面，數(shù)形結(jié)合思想的運用很廣泛，通過以數(shù)構(gòu)型、以形構(gòu)數(shù)來解決不同的函數(shù)問題，可以鍛煉學(xué)生的解題能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維。

（二）方程與曲線的問題

例2 已知關(guān)于x方程（x2-4x+3）2=px，有4個不同的實根，求實數(shù)P的取值范圍。

分析：這不是一個簡單的方程，若通過化簡移項再解題，有點麻煩。所以在這里，我們應(yīng)運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，那就簡單明了了。

解：方程有4個實根相當(dāng)于函數(shù)y=（x2-4x+3）2=|x2-4x+3|與函數(shù)y=px有4個交點。在同一直角坐標(biāo)系上畫出

這兩個函數(shù)的圖像。如圖，

當(dāng)函數(shù)y=px與x軸重合時，這兩個函數(shù)有兩個交點;當(dāng)函數(shù)y=px與函數(shù)y=|x2-4x+3|相切時，這兩個函數(shù)有3個交點。通過觀察，我們知道函數(shù)y=px應(yīng)介于以上兩者之間。當(dāng)這兩個函數(shù)相切時，

y=-（x2-4x+3）y=pxx2+（p-4）x+3=0，

Δ=0p=4-23，4+23（舍去）。所以0<p<4-23。

說明：這是道解方程的題目，巧妙地運用到了函數(shù)圖像，數(shù)與形的結(jié)合，輕易就解決了問題。這就要求學(xué)生的思維不能定勢，不能一味地運用死方法，把它化成一元二次方程的形式，那樣子很繁瑣。所以學(xué)生要現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，靈活運用，鍛煉自己的解題能力和思維能力。

總之，數(shù)形結(jié)合的思想方法的本質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過對圖象的處理發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，通過對數(shù)與式的轉(zhuǎn)換，使圖形的特征及幾何關(guān)系刻畫得更加精細(xì)和準(zhǔn)確，這樣就可以使抽象概念和具體形象相互聯(lián)系、相互補(bǔ)充、相互轉(zhuǎn)化。

二、數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的應(yīng)用

解析幾何本質(zhì)就是將“數(shù)”與“形”有機(jī)的聯(lián)系起來。通過“數(shù)”來研究“形”是解析幾何教學(xué)的中心，有了數(shù)形結(jié)合的方法，可以憑幾何直觀，豐富想象，促使問題的解決。

例3 設(shè)x≥1，求坐標(biāo)平面上兩點A（x+1x，x-1x）和B（1，0）之間距離的最小值。

分析：這是求兩點間距離的問題，可用兩點間距離公式對其進(jìn)行求解，但計算過程中涉及到開方，比較麻煩。若我們仔細(xì)觀察點A的坐標(biāo)的特點，不難發(fā)現(xiàn)兩坐標(biāo)的平方差是一常數(shù)：（x+1x）2-（x-1x）2=4，類似于雙曲線方程x2-y2=4;于是聯(lián)想到雙曲線的圖象，結(jié)合圖形對問題進(jìn)行求解。

解：X=x+1x，Y=x-1x，則有X2-Y2=4，（X≥2）。如圖，作出函數(shù)X2-Y2=4的圖像。顯然，當(dāng)點A（2，0）時，點B到點A的距離最小為1.

說明：這是一道以數(shù)想形的題目。在解代數(shù)問題時，根據(jù)數(shù)式的特點，提煉其蘊(yùn)含的幾何特征，以數(shù)想形或化數(shù)為形，則能依據(jù)形的性質(zhì)和關(guān)系，直接而簡明地使某些代數(shù)問題迅速獲解。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是解析幾何學(xué)科的基本特征，坐標(biāo)法是解析幾何的基本方法。在解析幾何教學(xué)中，要充分重視數(shù)與形的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生由形思數(shù)，由數(shù)思形的思維模式，進(jìn)行聯(lián)想，從而揭示出問題的特征與本質(zhì)。數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合與轉(zhuǎn)化，可以使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，以便化難為易，解決問題。

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