小議高中數(shù)學解題的幾種重要的思想方法

鄒國平

摘要：數(shù)學思想方法在數(shù)學解題中居于指導地位，本文通過闡述一些常見數(shù)學思想方法的特點，并通過一些典型例題來加深對思想方法的理解。從而培養(yǎng)學生分析和解決問題的能力。

關鍵詞：思想方法；數(shù)形結(jié)合；分類討論；特殊到一般；轉(zhuǎn)換與化歸

數(shù)學思想方法是數(shù)學解題的靈魂，在數(shù)學學習中占據(jù)核心地位?，F(xiàn)在的高考題目，都注重考查數(shù)學的基本思想方法。要學好數(shù)學，必須要掌握一些必要的思想方法。如此，才能從理論的高度去把握數(shù)學題目，才能使我們在解決數(shù)學問題時做到得心應手。高中數(shù)學的思想方法還是比較多的，下面就簡要論述以下四種思想方法。

一、 數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合的方法是非常重要的。基本上，數(shù)學的每一個模塊的學習都離不開它。它貫穿了數(shù)學學習的全過程。在高中數(shù)學的學習中，它的作用顯得尤為突出。比如在集合中，我們常借助于“韋恩圖”來描述集合中的各種包含關系，非常的直觀、易懂，這就是圖形的一大優(yōu)點。又比如在學習函數(shù)時，我們常利用函數(shù)的圖像來研究函數(shù)的各種性質(zhì)。例如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性等一些重要的性質(zhì)，在圖像上是一目了然的。通過圖像，我們在解題時就有了很好的參照，不容易出錯。離開了圖像，宛如是無源之水。反之，我們在研究圖像時，有時也利用代數(shù)的方法。解析幾何的創(chuàng)立即是用代數(shù)的方法來研究幾何問題。利用代數(shù)，可以加深我們對于圖形的理解。有的幾何題目，可以利用代數(shù)來解答。反之，一些代數(shù)題，也可以給出一個巧妙的幾何證明。比如，在數(shù)學史上享有盛譽的勾股定理，即畢達哥拉斯定理的證明。又如在蘇教版必修5中基本不等式的證明均是如此。由此可見，數(shù)與形是相輔相成的，它們之間是互相促進的。在研究問題時切不可將二者孤立開來。

在利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題時，有時用起來是比較自然的，關鍵是圖形的位置關系要刻畫準確。例如考察方程sinx=lgx根的個數(shù)時，直接解方程比較困難，則自然想到，可以轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)y=sinx與對數(shù)函數(shù)y=lgx圖像交點的個數(shù)。緊接著在同一坐標系中畫出它們的圖像，并且在畫圖的時候要注意到y(tǒng)=sinx是周期函數(shù)，其最大值是1。而y=lgx在定義域上是單調(diào)遞增的，且過點（10，1），這樣可以得到它們的圖像有3個交點。而有的問題，數(shù)形結(jié)合的思想在題目中隱藏地比較深，此時需要具備敏銳的觀察力。

例1求函數(shù)y=x2-2x+2+x2-6x+13的最小值。

該題學生很難入手，用代數(shù)方法較難解決。此時由該式的特點，可以引導學生觀察該式的幾何意義。為此，x2-2x+2=（x-1）2+1=（x-1）2+（1-0）2，聯(lián)想到平面上兩點間的距離公式，它表示點（x，1）到點（1，0）的距離。同理，后面一個式子可表示為（x，1）到（3，3）的距離。所以，原式可表示（x，1）到（1，0），（3，3）的距離之和。再結(jié)合圖形，易得ymin=13。

當然，對此類題目要熟練運用，需要我們對一些公式的結(jié)構(gòu)要熟練掌握。如點到直線的距離、平面上兩點間距離公式、斜率公式，正余弦定理等。

二、 分類討論

分類討論的思想在我們高中數(shù)學解題過程中的應用也是相當廣泛的，屬于高考中必考的思想方法。每年高考中都會涉及有關分類討論方面的題目。然而許多同學在解答過程中經(jīng)常會出現(xiàn)漏解、討論不完整的現(xiàn)象。當我們在碰到某個問題時，若是發(fā)現(xiàn)題目中包含的情況比較多，解決起來不能夠一蹴而就時，此時不能束手無策，而應該想到去分類討論。當然，我們在具體操作時關鍵應該思考分類的原因是什么，即為什么要去分類。還有就是按什么去分類。通俗地講，就是要解決為什么分，怎么分的問題。從哲學的角度來講，分類討論思想也體現(xiàn)了哲學上看問題全面性的思想。當然，具體操作起來有時是蠻困難的，需要同學們在解題時逐漸去培養(yǎng)這種思想，提高周密嚴謹?shù)臄?shù)學修養(yǎng)，以防止做題時片面化的操作。

例2在△ABC中，設AB=（2，3），AC=（1.k）。且△ABC是直角三角形，求k的值。

該題學生若是疏忽大意的話，就會誤以為角A是直角，其實題目中未明確哪個角是直角，情況并不唯一，這就是分類的原因。具體分類時則應根據(jù)A，B，C分別為直角時，分三類將直角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積相乘等于零來解決即可。

此外對于一些常見的討論問題，我們應該了然于胸，以幫助我們熟練、快速、準確地解決問題。比如說在解決含有字母的二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題時，要按照對稱軸與區(qū)間的位置來討論；求等比數(shù)列的前n項和時，在題目上未明確公比不是1時，則要分公比是否為1來討論；求橢圓或雙曲線的標準方程時，往往要分其焦點在x軸還是在y軸上來討論；過點設直線時候也應該先考慮斜率是否存在。這方面的例子是不勝枚舉的，需要平時多去總結(jié)積累。當然，我們在分類討論時應做到不重復，不遺漏。有時分類討論的標準是多角度的，應該選擇合適的角度去分析解決問題?？傊覀円髮W生在平時遇到討論問題時，一定要思考：為什么要分？分類的標準又是什么？這樣，才能提高他們思維的嚴密性和深刻性。

三、 特殊到一般

要想學好數(shù)學，還有一種重要的思想方法，即從特殊到一般的方法。用華羅庚教授的話來說，學好數(shù)學的訣竅是：善于退，大膽地退，足夠地退，一直退到最原始而又不失原本的地方。這里面蘊含著非常深刻的哲理，因為很多數(shù)學題目，我們是不可能一下子就能夠找到思路，給出解答的。此時就應采取以退為進的方法，先把基本的，特殊的問題搞清楚了，再去深入往往會收到意想不到的效果。比如讓我們證明：任何面積等于1的凸四邊形的周長與兩條對角線長之和都不小于4+8，那我們應該先去研究最特殊的正方形，把正方形搞清楚了，我們就會意識到，將面積和對角線分開來看。這樣一步一步逐漸地去深入，問題便能夠迎刃而解。

例3已知a，t為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2-2x+a，且對任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-a，a]。若對每一個正實數(shù)a，記t的最大值為g（a），則函數(shù)g（a）的值域為。endprint

此題的難度較大，有的學生讀了幾遍之后可能還看不懂。這時候應該根據(jù)題目上的條件，即若對每一個正實數(shù)a，記t的最大值為g（a）這句話聯(lián)想到特殊化的思想。先將a取特殊值1，即t為正實數(shù)，函數(shù)f（x）=x2-2x+1，且對任意的x∈[0，t]，都有f（x）∈[-1，1]，記t的最大值為g（1）。則題目中字母得到了減少。再結(jié)合圖像就容易理解題目的意思，接著再思考一般的情形，就會有明確的思路了。

平時我們在做題目中，有些大題目第一問是一個特例，第二問是一個一般性的結(jié)論。我們在做后一問的時候，若是感到無從下手，則應該再看看前一問有沒有幫助，第一問的解答過程有沒有什么啟示。有可能它們所展示的思想方法是一樣的，從而幫助我們?nèi)ソ鉀Q問題。

此外，對于像是否存在某個字母，使得該數(shù)列成等差或是等比數(shù)列的題目，我們可以通過它的前三項成等差或是成等比來求出該字母，并進而去嚴格驗證?？梢哉f，這方面的例子是非常多的。即先通過一個特例將結(jié)果先確定下來，必要時再去證明。我們可以在實踐中去不斷地體會到它的精妙之處，它足以讓我們慢慢回味。同時我們在考慮數(shù)學問題時，有時還應注意到整體性和特殊性兩個方面，并在具體地審題過中不能將它們孤立開來。

四、 轉(zhuǎn)換與化歸

此外，轉(zhuǎn)換與化歸的思想在解題中的應用也很廣泛。我們碰到一些陌生的新問題時，若是直接求解比較困難，往往是想方設法通過換元、代入、消元等一些具體的操作轉(zhuǎn)換為我們熟悉的問題。而有時是把一些較難的問題轉(zhuǎn)化成若干個簡單的問題，逐個解決。解題常用的轉(zhuǎn)化策略有正與反的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化、相等與不等的轉(zhuǎn)化、空間與平面的轉(zhuǎn)化等。

例4集合M={（x，y）|x2+y2=1，x，y∈R}，N={（x，y）|x2-y=0，x，y∈R}求集合M∩N中元素的個數(shù)。

該題關鍵是將M∩N中元素的個數(shù)的符號語言轉(zhuǎn)化為與之等價的文字語言：圓與拋物線x2-y=0的交點個數(shù)，接著在坐標系中作出它們的圖像即可解決問題。

例5在平面直角坐標系xOy中，直線y=kx+2k+1上有兩個不同的點到原點的距離為1，求k的取值范圍。

此題直接做感覺無從下手，細想之后可以從題目上的后半句話著手，即點到原點的距離為1，則該點就在以原點為圓心，1為半徑的圓上，而這點還在原直線上。最終就轉(zhuǎn)化為了直線和圓存在公共點。問題就變?yōu)槲覀兪煜さ念}目，再通過圓心到直線的距離不大于半徑來解決。

有時我們在做題時卡殼了，認真思考后，經(jīng)過這么一轉(zhuǎn)化，那么一化歸，往往會豁然開朗。可謂是山重水盡疑無路，柳暗花明又一村。當然，要想熟練地運用轉(zhuǎn)化與化歸的方法，必須建立在扎實的數(shù)學基礎之上。否則就宛如空中之樓閣，非常地虛無縹緲，一切都是空談。

以上四種思想方法是高中數(shù)學常見的思想方法，而有的時候，我們在解決問題中，可能會需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才能解決問題。需要我們引導學生在平時多積累，多鉆研，才能夠切實提高學生的數(shù)學能力。

總之，我們教師在平時的教學過程中，應該有意識地去培養(yǎng)學生的數(shù)學思想，引導學生做好解題后的反思工作。找到題目中所蘊藏的思想方法。進而要求他們用數(shù)學的思想方法來武裝自己，不斷提高自己分析問題、解決問題的能力。這樣，學生數(shù)學的核心素養(yǎng)才能得到有效地提高。endprint