初中數(shù)學概念教學淺析

陳偉明

摘 要：數(shù)學概念是客觀事物中數(shù)與形的本質屬性的反映，是構建數(shù)學理論大廈的基石，是導出數(shù)學定理和數(shù)學法則的邏輯基礎，是學生提高解題能力的前提，是數(shù)學學科的靈魂和精髓。數(shù)學概念是數(shù)學知識體系中的核心環(huán)節(jié)，也是學生的知識結構和數(shù)學認知結構的核心環(huán)節(jié)，因此數(shù)學概念教學具有舉足輕重的作用。

關鍵詞：數(shù)學概念；概念教學；數(shù)學思維

中學數(shù)學課程標準中指出“正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學基礎知識的前提”。數(shù)學概念是數(shù)學基礎知識的核心，它明確揭示了事物的本質屬性和相互間的內在聯(lián)系。所以正確地理解數(shù)學概念，既是掌握好數(shù)學基礎知識的前提，也是培養(yǎng)學生進行正確抽象概括，形成方法和理論的先決條件。學生如果不能正確地理解數(shù)學中的各種概念，就不能很好地掌握各種法則、公式、定理，也就不能應用所學知識去解決實際問題。因此，抓好數(shù)學概念的教學，是提高數(shù)學教學質量的關鍵。

一、 目前學生學習狀況分析

學生數(shù)學能力的發(fā)展取決于他對數(shù)學概念的牢固掌握與深刻理解與否。而在現(xiàn)實中，許多學生對數(shù)學的學習，只注重盲目地做習題，不重視數(shù)學概念的掌握，對基本概念含糊不清。做習題不懂得從基本概念入手，思考解題依據，探索解題方法。這樣的學習，必然越學越糊涂。因而筆者認為數(shù)學概念的教學在整個數(shù)學教學中有其不可替代的作用與地位。

例如：計算：4的值，很多同學會得出4=±2，這就是對平方根與算術平方根的概念的模糊不清而造成的。這樣久而久之，從而嚴重影響對數(shù)學基礎知識和基本技能的掌握和運用。只有真正掌握了數(shù)學中的基本概念，我們才能把握數(shù)學的知識系統(tǒng)，才能正確、合理、迅速地進行運算，論證和空間想象。從一定意義上說，數(shù)學水平的高低，取決于對數(shù)學概念掌握的程度。

二、 數(shù)學概念教學過程

（一） 數(shù)學概念的引入

數(shù)學概念的引入，是數(shù)學概念教學的第一個環(huán)節(jié)，也是十分重要的環(huán)節(jié)。概念引入得當，就可以緊緊地圍繞課題，充分地激發(fā)起學生的興趣和學習動機，為學生順利地掌握概念起到奠基作用。

引出新概念的過程，是揭示概念的發(fā)生和形成過程，而各個數(shù)學概念的發(fā)生形成過程又不盡相同，因此，教學中必須根據各種概念的產生背景，結合學生的具體情況，適當?shù)剡x取不同的方式去引入概念。

1. 以感性材料為基礎引入新概念

用學生在日常生活中所接觸到的事物或教材中的實際問題以及模型、圖形、圖表等作為感性材料，引導學生通過觀察、分析、比較、歸納和概括去獲取概念。

例如，要學習“平行線”的概念，可以讓學生辨認一些熟悉的實例，像鐵軌、門框的上下兩條邊、黑板的上下邊緣等，然后分化出各例的屬性，從中找出共同的本質屬性。鐵軌有屬性：是鐵制的、可以看成是兩條直線、在同一個平面內、兩條邊可以無限延長、永不相交等。同樣可分析出門框和黑板上下邊的屬性。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，它們的共同屬性是：可以抽象地看成兩條直線；兩條直線在同一平面內；彼此間距離處處相等；兩條直線沒有公共點等，最后抽象出本質屬性，得到平行線的定義。

以感性材料為基礎引入新概念，是用概念形成的方式去進行教學的，因此教學中應選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質的事例，正確引導學生去進行觀察和分析，這樣才能使學生從事例中歸納和概括出共同的本質屬性，形成概念。

2. 以新、舊概念之間的關系引入新概念

如果新、舊概念之間存在某種關系，如相容關系、不相容關系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關系去進行。

例如：在教學一元二次方程時，就可以先復習一元一次方程，因為一元一次方程是基礎，一元二次方程是延伸，復習一元一次方程是合乎知識邏輯的。通過比較得出兩種方程都是只含有一個未知數(shù)的整式方程，差異僅在于未知數(shù)的最高次數(shù)不同。由此很容易建立起“一元二次方程”的概念。

3. 以“問題”的形式引入新概念

以“問題”的形式引入新概念，這也是概念教學中常用的方法。我們可以從現(xiàn)實生活中的問題引入數(shù)學概念或者從數(shù)學問題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。

例如，筆者在教學“方程”這一概念時，設置了如下問題：①怎樣才能使天平保持平衡？②天平保持平衡說明了什么？③你能用式子來表示天平左邊和右邊重量的關系嗎？④式子中能不能含有求知數(shù)？⑤如果含有求知數(shù)，那么這種式子又稱為什么？這樣讓學生帶著問題操作天平、討論并解決以上問題，順利得出了方程的概念。

4. 從概念的發(fā)生過程引入新概念

數(shù)學中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進行這類概念的教學時，可以采用演示活動的直觀教具或演示畫圖說明的方法去揭示事物的發(fā)生過程。

例如，圓的概念的引出前，可讓同學們聯(lián)想生活中見過的年輪、太陽、五環(huán)旗、圓形跑道等實物的形狀，再讓學生用圓規(guī)在紙上畫圓，也可用準備好的定長的線繩，將一端固定，而另一端帶有鉛筆并繞固定端旋轉一周，從而引導同學們自己發(fā)現(xiàn)圓的形成過程，進而總結出圓的特點：圓周上任意一點到圓心的距離相等，從而猜想歸納出圓的概念。這種方法生動直觀，體現(xiàn)了運動變化的觀點和思想，同時，引入的過程又自然地、無可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。

（二） 數(shù)學概念的形成

引入概念，僅是概念教學的第一步，要使學生獲得概念，還必須引導學生準確地理解概念，明確概念的內涵與外延，正確表述概念的本質屬性。為此，教學中可采用一些具有針對性的方法。

1. 對比與類比

對比概念，可以找出概念間的差異；類比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相似之處。例如，學習“分式”概念時，可以與“分數(shù)”概念進行對比與類比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點與相同點。用對比或類比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內涵，防止舊概念對學習新概念產生的負遷移作用的影響。

2. 恰當運用反例

概念教學中，除了從正面去揭示概念的內涵外，還應考慮運用適當?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|屬性，尤其是讓學生通過對比正例與反例的差異，對自己出現(xiàn)的錯誤進行反思，更利于強化學生對概念本質屬性的理解。用反例去突出概念的本質屬性，實質是使學生明確概念的外延從而加深對概念內涵的理解。凡具有概念所反映的本質屬性的對象必屬于該概念的外延集，而反例的構造，就是讓學生找出不屬于概念外延集的對象，顯然，這是概念教學中的一種重要手段。

例如講解分式的概念時，可舉下例進行辨析：在下列各式1-xx，1+1y，a-ba，x（x+3）2，5+xπ+1，a+b4 中，是分式的是哪幾個？通過對各代數(shù)式的比較，深刻理解分式的概念。

3. 合理運用變式

依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學生對概念本質屬性的正確理解。因此，在教學中應注意運用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫概念的本質屬性。一般來說，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。

例如學了“垂直”概念后，學生往往認為只有豎直方向和水平方向的“⊥”才是垂直，而其他方向的“⊥”就不是垂直。這時教師可適當出一些不同位置的垂直關系，通過變式練習，學生對“垂直”概念的理解自然會深刻得多、全面而系統(tǒng)得多。

（三） 數(shù)學概念的鞏固

鞏固是概念教學的重要環(huán)節(jié)。心理學原理認為：概念一旦獲得，如不及時鞏固，就會被遺忘。

1. 注意及時復習

概念的鞏固是在對概念的理解和應用中去完成和實現(xiàn)的，同時還必須及時復習，鞏固離不開必要的復習。

例如，在學習了“倒數(shù)”的概念以后，讓學生完成下列練習：

（1）數(shù)a的倒數(shù)是1a嗎？

（2）任何數(shù)都有倒數(shù)嗎？

（3）一個不為零的數(shù)與它的倒數(shù)的積是多少？

（4）什么數(shù)的倒數(shù)仍是它本身？

（5）一個不為零的數(shù)的倒數(shù)一定比這個數(shù)大還是小呢？

（6）一個不為零的數(shù)的倒數(shù)的倒數(shù)是什么？

對于這些問題，教師要啟發(fā)、引導學生準確完成上述練習，加深對“倒數(shù)”的理解，自然就鞏固了“倒數(shù)”的概念。

2. 重視應用

在概念教學中，既要引導學生由具體到抽象，形成概念，又要讓學生由抽象到具體，運用概念，學生是否牢固地掌握了某個概念，不僅在于能否說出這個概念的名稱和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應用，通過應用可以加深理解，增強記憶，提高數(shù)學的應用意識。例如，學習最值問題時，聯(lián)系實際舉例：用100米長的細繩，怎樣圍成一個一邊靠墻的四邊形雞舍，使雞舍面積最大？通過這個問題可幫助學生深刻理解最值問題，從而提高解決實際問題的能力，加強數(shù)學的應用。

三、 抓住概念中的關鍵詞，講授時注重細化

概念中的一些關鍵詞語非常重要，教學時，教師應盡量采用平實的語言分析、細化關鍵詞語，以學生較易接受的方式呈現(xiàn)出來.這樣就能使學生準確地、深刻地領會那些至關重要的字、詞在概念中的意義，從而提高他們的理解能力。

例如反比例函數(shù)y=1x圖像和性質：當k>0時，在每個象限內，y隨x值的增大而減??；當k<0時，在每個象限內，y隨x值的增大而增大。講這條性質時必須嚴格強調“在每個象限內”。要斟字酌句地對重點字詞進行剖析，讓學生體會數(shù)學語言的嚴謹，同時培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

對幾何概念的教學，除要求學生能正確敘述其意義外，還應要求他們畫出表示概念的圖形，熟練地掌握概念的標注和讀法.概念的標注和讀法要規(guī)范，一些約定俗成的規(guī)矩必須遵循，同時還要將概念的文字語言和圖形語言進行互譯，語、圖、式三者之間要根據需要相互轉化。

四、 應培養(yǎng)學生做到五會：會理解、會記識、會表達、會比較、會舉例

1. 會理解——理解概念要透徹

要記住數(shù)學概念，首先要理解透徹，不能囫圇吞棗，要求在講概念時講清、講透。對課本上的精練的概念應該字斟句酌，幫助學生徹底認清關鍵性的字眼，逐字逐句理解透徹，力求真正弄懂。

如在講授一元二次方程的概念時，可補充下列：當m為何值時，關于x 的方程（m+1）xm2+4m+5+x-5=0是一元二次方程？本題按照一元二次方程定義除了需要條件m2+4m+5=2外，一定不能忘了二次項系數(shù)m+1≠0這一條件，這樣對概念的理解才能更全面，更透徹。

2. 會記識——記識概念要深刻

數(shù)學概念不僅僅要理解，還要對重要的概念、定理、定義、數(shù)學思想方法進行必要的識記。識記應當在理解的基礎上進行，通過理解來幫助記憶，通過記憶來加深理解。

例如：講實數(shù)的絕對值時，既講其代數(shù)定義，又講其幾何定義：“數(shù)軸上表示一個數(shù)的點，它到原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值”，讓學生看著數(shù)軸上的圖示記憶這一概念，從而更好地理解絕對值的非負性。

3. 會表述——表述概念要準確

概念形成之后，應及時讓學生用語言表述出來，以加深對概念的印象，促進內化。語言作為思維的物質載體，教師可從學生的表述中得到反饋信息，了解、評價學生的思維結果。表述概念可以要求學生用自己的語言敘述，可以不按課本原文，按某一個角度表達。

例如：講解同分母分式加減法則：分母不變，分子相加減，可以引導學生換一種表述方式，同分母分式加減法：ac±bc=a±bc。

4. 會比較——比較概念要鑒別

有比較才有鑒別。許多數(shù)學概念相互之間聯(lián)系密切，講新概念時，要聯(lián)系已講的概念，比較它們之間的異同點。例如一元一次不等式與一元一次方程，在“一元”與“一次”上是相同的，不同的是前者含不等號，后者含等號。對于易混淆的概念的最主要區(qū)別要特別強調。

5. 會舉例——運用概念要靈活

在提問數(shù)學概念時，有的學生會按課本內容回答得一字不差，但是要他舉個例子，想了半天卻舉不出來或舉錯例子，更談不上靈活應用了，這說明學生不是真懂。

例如：學習了“三角形的內切圓”后，讓學生試著解決這個問題：“工人師傅要將一塊三角形鐵片加工成一個圓形零件，請你幫他設計：如何才能制作最大面積的零件？”學生分析題意后，發(fā)現(xiàn)了此題的實質：要從三角形余料中剪出一個與三角形三邊都相切的內切圓。再讓學生畫圖驗證。由于把枯燥的概念同學生的生活實際結合起來，對概念的理解就更透徹了，還認識到了數(shù)學的價值，獲得了運用知識的能力。

“授之以魚，不如授之以漁”。教師只有平時重視對數(shù)學概念的教學，才能培養(yǎng)出學生的應變能力，才能讓學生建立起整個初中知識的結構圖，才能讓學生真正學會分析問題、比較問題和解決問題，才能讓學生從茫茫題海中解脫出來，也才能真正做到“快樂數(shù)學”！