于軍鋒
【關鍵詞】 數(shù)學教學;概念類比;結(jié)構(gòu)類比;性質(zhì)類比
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 C
【文章編號】 004—0463(2017)18—0112—01
中學數(shù)學課程標準指出,要重視學生能力的培養(yǎng),使學生逐步學會分析、綜合、歸納、類比等重要的思想方法。在各種邏輯推理方法中,類比思想方法是富于創(chuàng)造的一種方法。這是因為它可以跨越各個種類進行不同類事物的比較,可以比較本質(zhì)的特征,也可以比較非本質(zhì)的特征,因而具有較強的探索和預測作用。根據(jù)高中生的抽象邏輯思維從經(jīng)驗型向理論型急劇轉(zhuǎn)化的特點和高中數(shù)學教材的特點,教學中恰當?shù)貞妙惐确椒?,不僅能突出問題的本質(zhì),提高教學質(zhì)量,而且還有助于培養(yǎng)學生的思維品質(zhì),提高學生分析問題和解決問題的能力。下面,筆者就高中數(shù)學中的類比教學,談些自己的體會和看法。
一、概念類比
數(shù)學概念是數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的基礎,是數(shù)學方法的載體。數(shù)學概念教學是數(shù)學教學的重要環(huán)節(jié),也是進行能力訓練的主要渠道。實踐證明,通過概念類比,可以使概念更清晰,加深對概念的理解,并可以發(fā)現(xiàn)新規(guī)律,揭示新知識,從而培養(yǎng)學生的學習能力。
例如 我們把平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點的軌跡叫橢圓。這兩個定點叫橢圓的焦點,兩焦點間的距離叫橢圓的焦距。設M為平面內(nèi)的一動點,則有MF1+MF2=2a。
類比橢圓定義,那么把平面內(nèi)與兩個定點F1,F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)(小于F1F2)的點的軌跡叫什么?從而得到雙曲線的定義,即MF1-MF2=2a.
二、結(jié)構(gòu)類比
在解題的過程中應要求學生不拘一格,以發(fā)散的思維來分析問題形式。問題情境發(fā)生了根本性的變化,兩個對象在表面上毫無共同之處,但通過觀察或者創(chuàng)造條件,使兩者存在共同點,這種類比不是一種簡單模仿,而是一種具有創(chuàng)造性的做法。類比相同和相近的數(shù)學結(jié)構(gòu),能鍛煉學生的邏輯思維能力、自主思維能力、發(fā)散思維能力以及合情推理能力。
例如 等差數(shù)列求和方法為倒序相加法,由此結(jié)構(gòu)特點,我們還可以求如下的問題:若f(x)=,求f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值。只要利用f(n)+f(1-n)=,結(jié)合倒序相加法,即可得到答案。
若函數(shù)f(x)=,求f(1)+f(2)+f()+f(3)+f()+f(4)+f()的值。只要利用f(x)+f()=1,結(jié)合倒序相加法,即可求得答案。通過類比等差數(shù)列求和解答函數(shù)問題,更進一步體現(xiàn)了知識的相互關聯(lián)性,考查了學生的轉(zhuǎn)化化歸思想,并培養(yǎng)了學生分析問題、解決問題的能力。
三、性質(zhì)類比
在數(shù)學教學中常常運用類比推理,抓住其發(fā)生過程、內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面的相似性來研究問題。性質(zhì)研究是高中數(shù)學的主要內(nèi)容,也是高考的重點考查內(nèi)容。而研究性質(zhì)的最好方法就是類比推理,它是一種創(chuàng)造性的思維活動。隨著新課標的實施,創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是新教材所特別強調(diào)的。在學習過程中,讓學生獨立思考、自主探索,從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識,是當務之急。而類比思維不僅能夠幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論,而且常能幫助我們尋找解題思路。數(shù)學家歐拉說過:“類比是偉大的引路人”。在解決某些數(shù)學問題時,若能合理地運用“類比”,對數(shù)學學習是十分有益的。性質(zhì)類比主要是知識內(nèi)部的類比,考查知識的內(nèi)部聯(lián)系。
例如 設AB是橢圓+=1,(a>b>0)的不垂直于對稱軸的弦,M為AB的中點,O為坐標原點,則kABkOM=-,即就是kAB和kOM的乘積是一個與A和B的位置無關的定值,那么對雙曲線-=1(a>0,b>0)是不是有相似的性質(zhì),并推理證明。
設A(x1,y1),B(x2,y2),則中點坐標M(x0,y0),得kAB=,kOM=,kABkOM=。因為A,B兩點在雙曲線上,則-=1,-=1,且x0=,y0=,兩式相減就可得出結(jié)論。
性質(zhì)類比是比較常見的,除了在圓錐曲線中出現(xiàn),也在數(shù)列的性質(zhì)中有考查。性質(zhì)類比有利于學生綜合素質(zhì)的培養(yǎng),其題型靈活多變,方法獨特。
總之,在高中數(shù)學教學中,教師運用類比教學不僅有助于提高自身的數(shù)學教學水平,還有助于培養(yǎng)學生的思維能力、分析問題及解決問題的能力、探究能力以及創(chuàng)新能力,從而提高數(shù)學綜合素養(yǎng)。
編輯:謝穎麗endprint