點(diǎn)擊運(yùn)算 鏈接思維

姚晶晶

[摘 要]運(yùn)算能力，并不僅僅是計(jì)算技能的代名詞，更是數(shù)學(xué)能力的核心。 以“隔位退位減”的教學(xué)為例，在培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力時(shí)，教師要有一雙慧眼，這樣才能夠“看”到數(shù)感、符號(hào)感、幾何直觀、推理能力、應(yīng)用能力、模型思想，甚至是創(chuàng)新能力。

[關(guān)鍵詞]運(yùn)算能力；隔位退位減；數(shù)學(xué)思維；核心素養(yǎng)

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）32-0004-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》提出的10個(gè)關(guān)于核心素養(yǎng)的關(guān)鍵詞當(dāng)中，運(yùn)算能力似乎顯得稀疏平常，并不華麗，但是它在小學(xué)數(shù)學(xué)中所起到的作用卻是不容低估的。常常有教師問：“在小學(xué)階段，學(xué)生數(shù)學(xué)核心能力主要體現(xiàn)在哪里？”從數(shù)學(xué)能力的研究歷史來看，“運(yùn)算能力”一直被作為數(shù)學(xué)能力的核心。瑟斯頓通過因素分析，將人的智力分解為7種基本因素，其中第3項(xiàng)是數(shù)學(xué)能力，而他對(duì)數(shù)學(xué)能力的解釋即是“進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算”的能力。王權(quán)對(duì)小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，通過因素分析得出小學(xué)生數(shù)學(xué)能力結(jié)構(gòu)的四種因素，其中包括“運(yùn)算速度”，由此，運(yùn)算能力作為數(shù)學(xué)能力的核心有著深厚的研究基礎(chǔ)。

從學(xué)科關(guān)鍵能力的厘定要求來看，運(yùn)算能力只有是其他學(xué)科沒有的，是本學(xué)科“獨(dú)有”的，方能稱之為這門學(xué)科的關(guān)鍵能力。從學(xué)科關(guān)鍵能力的含義來看，運(yùn)算能力涵蓋著抽象、推理、建模等基本的數(shù)學(xué)思想，具體表現(xiàn)為能根據(jù)參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)特點(diǎn)靈活運(yùn)算，解決實(shí)際問題時(shí)能合理選擇算法等方面。

培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，最關(guān)鍵的要素是什么？有人說是單純的數(shù)值計(jì)算，也就是我們常說的技能操作，這是對(duì)運(yùn)算能力的一種最樸素，也最表面的理解，其實(shí)，運(yùn)算技能≠運(yùn)算能力。曹培英先生認(rèn)為：運(yùn)算能力是一種綜合能力，運(yùn)算能力是運(yùn)算技能與邏輯思維能力的一種獨(dú)特的結(jié)合；運(yùn)算能力不是能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的加、減、乘、除，而是與觀察能力、記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力以及想象能力等有關(guān)的，由低級(jí)到高級(jí)的綜合能力。

那么，在這個(gè)最容易發(fā)生機(jī)械操作的內(nèi)容領(lǐng)域里，計(jì)算教學(xué)怎樣才能啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的生成？下面以“隔位退位減”（蘇教版教材二年級(jí)下冊(cè)、人教版教材三年級(jí)上冊(cè)）的教學(xué)為例。

一、問題引入：處理好“情境式”與“數(shù)學(xué)式”的關(guān)系，讓思維有“根”

計(jì)算教學(xué)的課堂導(dǎo)入，主要有兩種方式：情境式和純數(shù)學(xué)式。近年來，計(jì)算教學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)流程就是從創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境開始，由實(shí)際問題引出計(jì)算問題。隨著有效教學(xué)研究的深入，一線教師逐步發(fā)現(xiàn)，如果每一課都采用“教師創(chuàng)設(shè)情境——學(xué)生提出問題——獨(dú)立思考算法——反饋交流算法——自主選擇算法”的標(biāo)準(zhǔn)流程，久而久之，師生都會(huì)覺得上課索然無(wú)味。

不妨比較一下兩種不同的方式。第一種是用課本中的情境進(jìn)行導(dǎo)入：“二年級(jí)同學(xué)畫了204幅兒童畫，一年級(jí)同學(xué)比二年級(jí)同學(xué)少畫108幅。一年級(jí)同學(xué)畫了多少幅？”這種導(dǎo)入方式只是借助一個(gè)現(xiàn)實(shí)情境的外殼來得到算式而已，起到的是“敲門磚”的作用，對(duì)啟發(fā)思維、助推學(xué)習(xí)并無(wú)幫助。第二種，從一個(gè)純數(shù)學(xué)的題組引入：“這里有兩道計(jì)算題，請(qǐng)你在計(jì)算的過程中體會(huì)一下它們有什么不同。”隨后出示兩道計(jì)算題“①214-108；②204-108”讓學(xué)生試做?！罢n伊始，疑已生”，學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)與新知的比較當(dāng)中，直接對(duì)準(zhǔn)了問題的“靶心”，即認(rèn)知難點(diǎn)：個(gè)位不夠減，要向十位退1，而十位又是0，該怎么辦？顯然，在比較和探索的過程中實(shí)現(xiàn)著新知向舊知“同化”的過程，無(wú)論學(xué)生的探索是否成功，是否正確，他們的大腦已經(jīng)把前面所學(xué)的連續(xù)退位減（個(gè)位不夠減，要向十位退1，而十位夠退）的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和新知進(jìn)行關(guān)聯(lián)。此外，學(xué)生在嘗試過程中所遇到的真實(shí)困難和阻礙，也為后面的課堂會(huì)診提供了寶貴的生成性資源，同樣是課堂上珍貴的學(xué)習(xí)材料。

值得注意的是，對(duì)于“現(xiàn)實(shí)情境”，也需要辯證地看待。比如從一個(gè)情境當(dāng)中能夠獲取多個(gè)有價(jià)值的計(jì)算問題，且算式之間有所聯(lián)系，能夠有所生長(zhǎng)的計(jì)算問題，教師不應(yīng)當(dāng)排斥。如估算教學(xué)，要培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)，很大程度上是離不開實(shí)際情境的。又如，教學(xué)“0.15×3=？”時(shí)，以現(xiàn)實(shí)題材為載體，如“買3支單價(jià)為0.15元的鉛筆”，學(xué)生就能容易想到采用不同單位的不同算法；若沒有情境，教師直接出示算題，則已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)會(huì)使大多數(shù)學(xué)生自覺地先算“15×3”，再添上小數(shù)點(diǎn)，并提出如何確定積的小數(shù)部分位數(shù)的猜想?？梢?，不同的角度，會(huì)給學(xué)生帶來不一樣的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累和體驗(yàn)。用何種方式來打開計(jì)算教學(xué)，要視具體情況而定，這樣才能在真正意義上實(shí)現(xiàn)“殊途同歸，各顯神通”的教學(xué)效果。

二、計(jì)算原理：處理好“理”與“法”的關(guān)系，讓思維有“據(jù)”

曹培英先生指出：在任何計(jì)算教學(xué)中，算理和算法是運(yùn)算能力的“一體兩翼”（如圖1所示），尤其在小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩者相輔相成，不可偏廢。

在本單元的計(jì)算教學(xué)當(dāng)中，依然是以計(jì)數(shù)器為主要教學(xué)工具幫助學(xué)生理解和掌握算理和算法?！案粑煌宋粶p”，不僅涉及兩次退位，且中間一位為0，要求學(xué)生在這半直觀半抽象的計(jì)數(shù)器上完成這一系列復(fù)雜而煩瑣的運(yùn)算過程，顯然極具難度和挑戰(zhàn)性。

有兩位教師是這樣處理的：第一位教師在教師用的大教具計(jì)數(shù)器上親自操作，對(duì)于個(gè)位上珠子不夠的部分，就讓學(xué)生在頭腦里想象后再獨(dú)立完成操作。第二位教師則預(yù)感到操作活動(dòng)會(huì)陷入僵局，因此直接免去了實(shí)踐操作環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀看課件演示過程（如圖2）。很顯然，這兩種方式下，學(xué)生只是操作活動(dòng)的“旁觀者”。試想，一個(gè)無(wú)法親身參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的行為如何能讓學(xué)生積累相關(guān)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？又如何能讓學(xué)生深刻感知算理與算法的和諧統(tǒng)一？endprint

面對(duì)這樣一個(gè)復(fù)雜的教學(xué)環(huán)節(jié)，我巧妙地找到了應(yīng)對(duì)的辦法：在黑板上畫了一個(gè)簡(jiǎn)易的計(jì)數(shù)器的模型平面圖（如圖3），通過用磁性“五角星”放在不同的數(shù)位上代表不同的數(shù)值，這樣就擺脫了計(jì)數(shù)器的局限性（只能撥10個(gè)）——超出10個(gè)的部分要么在頭腦中想象，要么只能依靠看課件演示來輔動(dòng)理解。這一創(chuàng)造性的 “換珠”操作，將復(fù)雜的心智活動(dòng)、思維參與活動(dòng)巧妙地落到實(shí)處，讓學(xué)生真正實(shí)現(xiàn)“手中有珠，心中有數(shù)”，讓學(xué)生在親身操作過程中運(yùn)用抽象的位值原理深刻地理解“換珠”的緣由，積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

在接下來的對(duì)比中，教師應(yīng)該彰顯自己的引導(dǎo)作用。

師：通過陳米奇同學(xué)的兩次操作，你們有沒有感覺到“214-108”和“204-108”這兩題之間是存在一些聯(lián)系的？它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)各是什么？

生1：都是退位減，都有換珠。

生2：“214-108”的個(gè)位不夠減，就用十位上的一顆珠子換了個(gè)位上的10顆珠子?！?04-108”的個(gè)位也不夠減，但是十位上是0，也減不了，所以要先用百位上的一顆珠子換成十位上的10顆珠子。

生3：我有補(bǔ)充?！?14-108”只用換一次，“204-108”換了兩次。

師：你們剛才都提到了“換珠”，什么情況下才需要換珠？換珠時(shí)有條件嗎？

生4：只有不夠減的時(shí)候才要換，而且要大小一樣的才能換，比如1個(gè)十換成10個(gè)一，一個(gè)百換成10個(gè)十。

師：這個(gè)同學(xué)很了不起，他所表達(dá)的“大小一樣的才能換”這個(gè)思想，其實(shí)就是數(shù)學(xué)上經(jīng)常使用的一個(gè)重要方法，叫作“等量代換”（板書，如圖4）。

以上實(shí)踐操作中隱含了數(shù)學(xué)思維，活化了學(xué)生對(duì)算理的理解，自然而又不露痕跡地將算理與算法完美對(duì)接。學(xué)生有效地觸摸到了思維的精確性和思維的邏輯性，對(duì)于“0上有‘點(diǎn)就是9”這一“重要規(guī)則”知其然，也知其所以然。與此同時(shí)，學(xué)生體驗(yàn)了算理理解與算法固化的思維升騰過程，在“一次換珠”與“兩次換珠”的比較辨析中掌握了“換珠”操作背后所蘊(yùn)含的“十進(jìn)制”計(jì)數(shù)原理，擺脫了浮于表面的理解，深刻感悟到“等量代換”這一數(shù)學(xué)思想的重要價(jià)值。

三、鞏固內(nèi)化：處理好“質(zhì)”與“量”的關(guān)系，讓思維有“力”

《人是如何學(xué)習(xí)的》一書中指出：“必須用少量主題的深度覆蓋去替換學(xué)習(xí)過程中對(duì)所有主題的表面覆蓋，這些少量主題使得一些關(guān)鍵概念得到理解。”在計(jì)算教學(xué)中，做習(xí)題并非只為了鞏固計(jì)算技能，多練多做也并非是決定運(yùn)算能力提升的關(guān)鍵因素。因此，習(xí)題的設(shè)計(jì)一定要著眼于學(xué)生能力的提升，把學(xué)生從題海拉出來， “以一當(dāng)十”，發(fā)揮題組教學(xué)的優(yōu)勢(shì)，真正提高學(xué)生的思維能力。

在計(jì)算課上，我沒有讓學(xué)生進(jìn)行大量的習(xí)題訓(xùn)練，而是在教學(xué)例題后，帶領(lǐng)學(xué)生研究一個(gè)“結(jié)構(gòu)化”程度很高的題組，要求男、女生分別完成一組題目。

女生組的題目：①508-282 ②501-282

男生組的題目：①705-395 ② 700-395

要求學(xué)生完成題目后反思：做的兩道題有什么不同？又有什么聯(lián)系？

生1：“508-282”和“501-282”的減數(shù)都是282，被減數(shù)不同，得數(shù)也不一樣。

生2：雖然“508-282”和“501-282”的減數(shù)都是282，但是被減數(shù)508比501多7，所以“508-282”的得數(shù)肯定比“501-282”的得數(shù)也要多7。

生3：我還有補(bǔ)充，這兩道題都是退位減。

……

在學(xué)生充分發(fā)言后，我將問題從“發(fā)散”到“聚合”，引導(dǎo)學(xué)生提煉內(nèi)容中最為核心的要素：“觀察已完成的這6道題，哪些屬于今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容？為什么？”并指名學(xué)生到黑板上圈一圈符合條件的內(nèi)容。

這時(shí)，生1圈了女生組題目的“501-282”后又圈了男生組的兩道題“705-395”和“700-395”，生2補(bǔ)圈了例題的“204-108”。

師（追問）：對(duì)他們?nèi)Φ乃闶?，你們有何評(píng)價(jià)？

生4：不應(yīng)該圈“705-395”。

生5：這不是中間十位上有0嗎，為什么不圈呢？

生6：雖然十位上有0，可是個(gè)位上“5-5”夠減了，不需要再向十位借，而十位上的“0-9”不夠，要向百位退1，所以這里只有一次退位，不存在隔位退位。

師：說說看，你們現(xiàn)在知道了什么？

生（達(dá)成共識(shí)）：知道了十位上有0的不一定就是隔位退位減，還要看個(gè)位夠不夠減，如果夠減就不是，如果不夠減，才要隔一位向百位退1，才算是隔位退位減。

“十位上有0”這個(gè)表象確實(shí)容易對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生一定的迷惑性。這里的圈題活動(dòng)，給學(xué)生提供了很好的辨析機(jī)會(huì)，學(xué)生通過交流，有效糾正了原有的模糊乃至錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，在自我的反思與他人的修正中再一次深化對(duì)“隔位退位減”的理解。

四、能力提升：處理好“點(diǎn)”與“面”的關(guān)系，讓思維有“品”

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一個(gè)重要功能，就是使不同層次學(xué)生的腦力當(dāng)量得以提升。什么是腦力當(dāng)量？即，如果某學(xué)科的知識(shí)總量為T，研究者腦力總付出為R，則兩者相比，即為單位知識(shí)所含有的腦力付出，通常稱為腦力當(dāng)量（C），用公式表示為C=R/T。課堂學(xué)習(xí)的目標(biāo)應(yīng)該是有彈性的，既不能純粹從成長(zhǎng)視角出發(fā)，不顧學(xué)情任意拔高學(xué)習(xí)要求，讓大多數(shù)學(xué)生“望題興嘆”，也不能囿于目標(biāo)，讓學(xué)生始終在原地打轉(zhuǎn)，貽誤大好的學(xué)習(xí)時(shí)光，而應(yīng)該從真實(shí)學(xué)情出發(fā)，著力于腦力當(dāng)量的提升，讓不同層次的學(xué)生都能得到發(fā)展。

在課的最后階段，我聚焦本質(zhì)，獨(dú)具匠心，設(shè)計(jì)了幾個(gè)層次的編題練習(xí)，將本課教學(xué)再次推向高潮。endprint

第一層次：任意編一道“隔位退位減”的計(jì)算題，不計(jì)算結(jié)果；

第二層次：用0、1、2、3、4、5六張數(shù)字卡片編一道“隔位退位減”的計(jì)算題，不計(jì)算結(jié)果；

第三層次：用0、1、2、3、4、5六張數(shù)字卡片編一道“隔位退位減”的計(jì)算題，想一想，怎樣編才能使計(jì)算結(jié)果最大？

在第二層次和第三層次的編題過程中，我根據(jù)學(xué)生回答中的所思所想進(jìn)行巧點(diǎn)妙引，讓那些“可遇而不可求”的生成信息成為寶貴的教學(xué)資源。

比如，對(duì)于第二層次編題，一個(gè)學(xué)生寫了“203-45”，全班都贊成，而另一名學(xué)生寫的算式“403-51”引起了很多同學(xué)的反對(duì)。

生1：403-51，雖然被減數(shù)十位上是0，但是個(gè)位上的“3-1”夠減，不需要退位，所以這道題不符合隔位退位減的要求。

師：是啊，能否把他寫的算式稍微改動(dòng)一下使其符合要求呢？

生2：把3和1調(diào)換一下位置就可以了，變成401-53，這樣個(gè)位就不夠減，且十位上是0，符合隔位退位減的要求。

改動(dòng)的環(huán)節(jié)既體現(xiàn)了教師的機(jī)智，也反映了學(xué)生思維的靈活性。

又如，在第三層次的編題中，一名學(xué)生很快就編出“543-102”。

師：你怎么想的？

生1：被減數(shù)最大，減數(shù)最小，它們相差的就大，得到的結(jié)果就是最大的。

師：其他同學(xué)的意見呢？

（一部分學(xué)生同意，一部分學(xué)生不同意）

生2：這樣就不是隔位退位減了。

師：是呀，根據(jù)隔位退位減的含義，該怎樣來編這樣的算式呢？

（學(xué)生思考后給出了不同的答案）

生3：501-234。

生4：502-314。

生5：503-124。

………

交流、探討、辯論在繼續(xù)，學(xué)生的理解和思考也在不斷深入。每一次的修正和改變，每一次的恍然大悟都預(yù)示著他們向最終的真理艱難卻勇敢地前進(jìn)了一步。三個(gè)層次的編題活動(dòng)設(shè)計(jì)極具思維挑戰(zhàn)性，滿足了不同發(fā)展水平學(xué)生的不同需求，學(xué)生開始只是憑著感覺編題，在每一次的交流質(zhì)疑中，逐步尋找到一些有效的策略，最終攻克了最難的那一關(guān)。尤其是最后一個(gè)層次，在探索嘗試的過程中，不僅僅是思維能力的應(yīng)用，更是思維品質(zhì)的充分顯現(xiàn)。交流、探討問題的過程也是全方位培養(yǎng)學(xué)生思維深刻性、全面性、批判性、靈活性、邏輯性和準(zhǔn)確性的過程，稱得上是一次高水準(zhǔn)的思維體操，能使每一位親身經(jīng)歷的學(xué)生的腦力當(dāng)量都得到提升。

（責(zé)編 金 鈴）endprint