郭 勇， 謝建華

(西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031)

微尺度懸臂管的空間彎曲振動-非線性運動方程及尺度效應

郭 勇， 謝建華

(西南交通大學 力學與工程學院，成都 610031)

具有圓環(huán)形橫截面的微尺度懸臂輸液管可以同等地向空間各方向產(chǎn)生彎曲振動。按照歐拉-伯努利梁理論，在分析管道上點的位移及相關(guān)幾何關(guān)系的基礎上，考慮Lagrange應變張量所給出的幾何非線性，基于修正的偶應力理論計算了管的應變能，運用Hamilton原理建立了微尺度懸臂輸液管的空間彎曲振動的非線性動力學方程。研究了無量綱材料長度尺寸參數(shù)對系統(tǒng)動力學性質(zhì)的影響，結(jié)果表明，尺度效應增大管道的臨界流速，并使得穩(wěn)定的平面周期運動(空間周期運動)在整個質(zhì)量比區(qū)間上占的比例越大(小)。

微尺度懸臂管；空間彎曲振動；偶應力理論；Lagrange應變張量；周期運動

輸液管道是一種重要的工程結(jié)構(gòu)，在實際應用中，管道橫截面通常被設計成圓環(huán)形，從而可以同等地向空間各方向彎曲。在宏觀管研究方面，Lundgren等[1]用力平衡法推導了輸液管道的空間振動方程。Bajaj等[2]研究懸臂管的空間振動，運用嚴格的方法將無窮維系統(tǒng)降階為限制在不變流形上的三個方程，在此基礎上論述了管道平面周期運動、空間周期運動及環(huán)面運動的存在性、穩(wěn)定性。Wadham-Gagnon等的工作推進了懸臂管空間非線性振動問題的研究。Wadham-Gagnon等[3]用Hamilton原理推導了具有彈簧約束和終端質(zhì)量的懸臂輸液管的空間彎曲振動方程。Pa?doussis等研究了中間支承彈簧對懸臂管的三維運動的影響。Modarres-Sadeghi等研究了自由端附有質(zhì)量塊的懸臂管的空間動力學行為。文獻[4-5]還討論了作伽遼金離散時所取模態(tài)數(shù)對問題結(jié)果的影響。Ghayesh等[6]首次考慮支承彈簧和末端質(zhì)量塊同時存在時懸臂管的空間運動。Chang等[7]研究了具有末端附加質(zhì)量的懸臂管的受迫振動。

隨著科學技術(shù)的發(fā)展，管道的特征尺寸可以設計得越來越小，在文獻[8]中，圓型微管的內(nèi)徑已達1～100 μm的數(shù)量級。微尺度管道廣泛應用于微機電力學系統(tǒng)以及微流體的傳輸，例如微流管已應用于諧振器的設計及藥物的注射[9-10]，微流管噴頭已應用于微小平面的書寫及打印等等[11-12]。為給實際應用提供理論基礎，有必要對微尺度流管的動力特性及穩(wěn)定性進行深入的研究。Fleck等[13-15]的工作表明，微結(jié)構(gòu)具有尺度依賴行為。因此，不能直接對微尺度管應用宏觀管理論，需要借助非經(jīng)典的連續(xù)介質(zhì)力學理論對其加以描述。實驗觀測表明，對于微結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)、彎曲等，由Yang等[16]所修正的偶應力理論能夠成功地估計其尺度效應?；谠摾碚?，微梁的自由振動[17]、強迫振動[18]、屈曲[19]、參數(shù)振動[20]等相繼得到研究。在微尺度流管研究方面，Wang等[21-22]分別在輸液管的歐拉梁模型和Timoshenko梁模型假設下建立微管的線性振動方程，考察了不同微尺度情形下流速對管道固有頻率的影響。文獻[23]研究微管的空間彎曲振動的線性方程，不僅考慮了管材料的微尺度效應，還引入了管內(nèi)流體的微尺度因素。Yang等[24]考慮軸向拉伸所導致的幾何非線性，基于修正的偶應力理論研究了微管的平面振動。Hosseini等[25]考慮懸臂微管平面振動的穩(wěn)定性問題，研究了微尺度效應對系統(tǒng)頻率、臨界流速的影響，發(fā)現(xiàn)相同條件下，微管較之于宏觀管具有更大的頻率及更高的臨界流速。Bahaadini等[26]進一步研究了耗散等因素對科學儀黏彈性碳納米懸臂管穩(wěn)定性的影響。Tang等[27]研究了兩端固支曲管的空間非線性振動。

從已有文獻可知，在微尺度輸液管的動力學建模方面，平面或者空間振動的非線性方程均是針對兩端支撐管建立的，對懸臂管的大振幅空間彎曲振動問題，目前似還沒有相應的文獻可以參考，因此在非線性建模方面的工作有待完善，進一步地，尺度效應對系統(tǒng)動力學性質(zhì)的影響有待考察。當考慮微尺度效應的時候，微元體的應變能不能明顯地表示為管的形心線(管橫截面的形心連線)曲率的函數(shù)，因此本文從應變能的基本表達式出發(fā)，結(jié)合運動的幾何分析，運用Hamilton原理建立系統(tǒng)的非線性動力學方程；以此為基礎，研究了尺度效應對管道振動特性的影響。

1 力學模型、位移場及相關(guān)幾何分析

如圖1(a)所示，長為L的微尺度懸臂輸液管，橫截面積為Ap，抗彎剛度為EI，單位長度的質(zhì)量為m，其輸送的流體單位長度的質(zhì)量為M，流速V相對管的形心線為常數(shù)。管的橫截面是具有O(2)對稱性的圓環(huán)(見圖1(b))。

以管道未變形時的形心線為x軸，懸臂端面為yz平面建立參考系oxyz(見圖1(c))，管道作一般的空間彎曲振動(見圖1(d))。取另一個坐標系OXYZ與管道固結(jié)，作為管道上物質(zhì)點的拉格朗日描述，該系在管未變形時與oxyz重合。X的值等于管道橫截面形心離原點的弧長s，因此，為了突出物理意義，以下用(s,Y,Z)代替(X,Y,Z)表示管道上的物質(zhì)點的坐標。

圖1 力學模型Fig. 1 The mechanical model

分析管道上點的位移及相關(guān)的幾何關(guān)系，借此導出它的應變能。本文考慮細長管，根據(jù)歐拉-貝努利梁假設，由j′k′(見圖1(d))確定的圓截面視為剛性的，即在運動過程中不發(fā)生變形。從而管道上某點在任一瞬時的位移包括：其所在的橫截面隨圓心的平移部分及該面繞圓心的轉(zhuǎn)動部分。平移部分容易分析，也就是隨形心線的運動(見圖2(a)中點圈到短劃線圈的平移)。下面分析轉(zhuǎn)動部分。我們知道，圓心固定的剛性圓盤在空間的位置由兩個方面確定：過圓心的法線及繞法線的轉(zhuǎn)動(見圖2(b))。因此，管道上任一橫截面在平移之后的轉(zhuǎn)動部分可以分解為：

(1) 平移后的構(gòu)形繞圓心(具體為繞圖2(a)中的ω軸)旋轉(zhuǎn)至與瞬時構(gòu)形平行(見圖2(c)中的短劃線圈旋轉(zhuǎn)到實線圈)。

(2) 圖2(c)中的實線圈繞過圓心的法線(如圖2(d)所示的τ軸)旋轉(zhuǎn)，直到與瞬時構(gòu)形(粗實線圈)重合。

設管道形心線上一點(s, 0, 0)在t時刻的位置為

r=r(s,t)=(s+u,v,w)

(1)

由歐拉-貝努利梁假設，橫截面在運動的過程中始終垂直于管道形心線的切線，即切線與τ軸重合。剛體繞點的有限轉(zhuǎn)動可以通過剛體繞某條過該點的軸的一次轉(zhuǎn)動實現(xiàn)，從而轉(zhuǎn)動(i)的有限轉(zhuǎn)角方向為

(2a)

單位化以后得

圖2 橫截面的運動Fig. 2 The motions of a cross section

(2b)

轉(zhuǎn)角大小|ω|為轉(zhuǎn)動前后橫截面各自的法線方向i與τ的夾角(見圖3)，滿足關(guān)系

圖3 轉(zhuǎn)角大小|ω|的幾何關(guān)系Fig. 3 The geometrical relation for the rotation

(3)

因為沒有初始外力矩，繞τ軸的轉(zhuǎn)動為零。

雖然有限轉(zhuǎn)動可以用一個有大小、有方向的量描述，但是其不滿足矢量運算，因此不是矢量，即

ω1+ω2≠ω2+ω1

但是轉(zhuǎn)動沿弧長方向的無窮小增量卻是一矢量，滿足矢量運算平行四邊形法則所要求的對易律，即

[ω(s+ds)-ω(s)]

(4)

是一矢量。

由以上轉(zhuǎn)動分析可知轉(zhuǎn)動所導致的截面上點的軸向位移

(5)

至此可以寫出位移場，也就是點(s,Y,Z)的位移

(6)

式中，(u,v,w)為形心線上點的位移，見式(1)。

因為沒有初始軸力，可認為管的形心線在運動中不發(fā)生伸長或壓縮，從而式(7)成立

(1+u′)2+v′2+w′2=1

(7)

2 應變能的計算及動能

微尺度結(jié)構(gòu)中微元體的應變能密度表達式和通常彈性力學中給出的不同，其不僅是應變張量的函數(shù)，而且還包括曲率張量對能量的貢獻項，該部分可由一個材料長度尺寸參數(shù)加以刻畫。根據(jù)文獻[16]中的結(jié)論，各向同性線彈性材料區(qū)域Ω內(nèi)的應變能可以寫成

(8)

式中：σ和ε分別為應力張量和應變張量；m、χ分別為偶應力張量的偏部分和對稱曲率張量，其相互間的關(guān)系為

σ=λtr(ε)δ+2Gε

(9)

ε=(1/2)[u+(u)T]+(1/2)u·(u)T

(10)

m=2l2/Gχ

(11)

χ=(1/2)[θ+(θ)T]

(12)

式中：λ、G為Lamé常數(shù)，其中G也就是通常的剪切模量；δ為單位張量；式(10)為Lagrange應變張量，其非線性部分源于管道的大變形；l為表征微尺度效應的材料長度尺寸參數(shù)，取決于材料性質(zhì)；為拉氏梯度算子；u為位移矢量，其分量見式(1)；θ可通過u的旋度表示為

θ=(1/2)curl(u)

(13)

由不可壓縮條件式(7)

(14)

對轉(zhuǎn)角關(guān)系式(3)可以進行如下一系列簡化

(15)

由式(6)，式(9)～式(13)均可計算出，代入式(8)并利用式(14)、式(15)對其進行整理，得應變能

(16)

式中，dv=dsdYdZ(下文中如沒有其它說明，均是如此)。橫向振動相對于管的長度來說是小量，不妨設其為O(ε)階的。幾何大變形意味著方程中的非線性項對系統(tǒng)性態(tài)會有本質(zhì)的影響，但是在平衡態(tài)附近，低階的非線性項才起決定性的作用，因此本文中僅保留了三次非線性項。運用哈密頓原理推導振動方程時，求變分的過程會讓作用量泛函的次數(shù)降低一次，因此在對式(16)的處理中，僅將其保留到四次項，下文關(guān)于動能的推導中亦是如此。

在式(16)中，宏觀部分的勢能為

(17)

利用截面對稱性進一步整理，得

忽略泊松效應，以EI代替上式中的(λ+2G)I，得

(18)

整理微觀部分的勢能，得

(19)

總的勢能為宏觀和微觀兩部分之和

U=U1+U2

(20)

給出動能之前，我們先來研究下面的問題，借此說明下文中宏觀部分勢能U1的變分與文獻[3]中按照彎曲勢能公式得到的結(jié)果一致。

因式(4)是一矢量，考慮轉(zhuǎn)角沿弧長的變化率，其也是一個矢量

(21)

式(1)對s求導，得

r′=(1+u′)i+v′j+w′k

(22)

上文已經(jīng)提到，因為沒有外加扭矩，截面的相對扭轉(zhuǎn)為零，即轉(zhuǎn)角沿弧長的變化率矢量在形心線切方向上的投影為零，即

(23)

管道和管中流體的動能分別為

(24a)

(24b)

3 空間彎曲振動方程的推導

將勢能式(20)及動能式(24a)、式(24b)代入描述管道振動的哈密頓變分方程[28]

(25)

式中：r見式(1)，下標L表示相應的量在管道自由端s=L處的值，點和撇分別代表?()/?t和?()/?s。需要指出的是，在下文對變分的計算中，我們可以導出邊界條件，并且根據(jù)其對式子作了簡化。

對勢能的宏觀部分求變分

8v′w″w?+4v′w′w(4))δvdsdt

(26)

根據(jù)式(23)可導出

(27)

將式(27)代入式(26)

(28a)

式(28a)與文獻[3]中利用公式

計算出的結(jié)果一致，其中為管道形心線的曲率。

將式(27)的第一式代入式(19)(勢能的微觀部分)并對其求變分，得

(28b)

對動能T=Tp+Tf求變分的過程與文獻[3]中的相同，經(jīng)整理，最后得到振動控制方程

(29a)

(29b)

相應的邊界條件為

w(0,t)=w′(0,t)=w″(L,t)=w?(L,t)=0

(30a)

v(0,t)=v′(0,t)=v″(L,t)=v?(L,t)=0

(30b)

引入如下無量綱量

得到式(29a)、式(29b)的無量綱形式為

(31a)

(31b)

相應地，邊界條件式(30a)、式(30b)化成

η(0,τ)=η′(0,τ)=η″(1,τ)=η?(1，τ)=0

(32a)

ζ(0,τ)=ζ′(0,τ)=ζ″(1,τ)=ζ?(1，τ)=0

(32b)

將上面兩式代入式(31a)、式(31b)消除其中的非線性慣性項，整理后得到

(33a)

(33b)

4 尺度效應的影響

設式(33a)、式(33b)的解為

(34)

式中：r取1～n(n為模態(tài)截斷數(shù))；φr(ξ)、ψr(ξ)為懸臂梁的特征函數(shù)；qr(τ)、pr(τ)為兩個橫向上相應的廣義坐標。根據(jù)Galerkin方法，將式(34)代入式(33a)、式(33b)并分別用φr(ξ)、ψr(ξ)乘兩邊，從0～1積分，可得關(guān)于qi,pi的二階常微分方程組

(35)

其中，

令

(36)

將式(35)化成一階形式

(37)

根據(jù)文獻[4]中關(guān)于模態(tài)截斷數(shù)的討論，取n=6。下面給出尺度效應對系統(tǒng)動力學性質(zhì)的影響規(guī)律，包括：①對管道臨界流速、臨界頻率的影響(見圖4)；②對管道周期運動類型的影響(見圖5)。

從圖4可知，無量綱材料長度尺寸參數(shù)l0越大，相應的臨界流速和臨界頻率越大，即尺度效應使得管道更穩(wěn)定。當流速取值在臨界流速曲線右邊時，管道的初始構(gòu)形是穩(wěn)定的；當流速在臨界值附近變化時，管道會發(fā)生顫振，作平面或者空間的周期運動，以η=0為Poincaré截面，相應的ζ值如圖5所示：ζ=0對應系統(tǒng)

作穩(wěn)定的平面周期運動；ζ≠0對應系統(tǒng)作穩(wěn)定的空間周期運動。觀察圖5(a)～圖5(d)的變化規(guī)律可知，無量綱材料長度尺寸參數(shù)l0越大，管道穩(wěn)定的平面周期運動(空間周期運動)在整個質(zhì)量比區(qū)間上占的比例越大(小)。

圖4 臨界流速和臨界頻率Fig. 4 The critical flow velocity and critical frequency

圖5 不同尺度管的穩(wěn)定周期運動的分布Fig. 5 The distribution of stable periodic motion for pipe with different material length scale parameters

5 結(jié) 論

(1) 微尺度效應使得微元體的應變能不能明顯地表示為管的形心線曲率的函數(shù)，本文在分析管道位移場及相關(guān)幾何關(guān)系的基礎上，考慮Lagrange應變張量所給出的幾何非線性，基于修正的偶應力理論計算了管的應變能，對應變能的退化比較表明其中的宏觀部分和已有文獻中的結(jié)論一致。

(2) 運用Hamilton原理建立了微尺度懸臂管的空間彎曲振動的非線性動力學方程，其中，材料長度尺寸參數(shù)對方程的影響得以刻畫，其不僅出現(xiàn)在方程的線性項中，影響諸如頻率、臨界流速等；也出現(xiàn)在方程的非線性項中，影響系統(tǒng)失穩(wěn)后的分岔性質(zhì)。

(3) 具體而言：尺度效應增大管道的臨界流速和臨界頻率，即使得管道更加穩(wěn)定；同時，管道穩(wěn)定的周期運動類型在整個質(zhì)量比區(qū)間的分布也受尺度效應的影響：無量綱材料長度尺寸參數(shù)l0越大，穩(wěn)定的平面周期運動(空間周期運動)在整個質(zhì)量比區(qū)間上占的比例越大(小)。

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Three-dimensionalflexuralvibrationofamicro-scalecantileverpipe-nonlinearequationsofmotionandscaleeffect

GUO Yong, XIE Jianhua

(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

Flexural vibration of a micro-scale cantilever fluid-conveying pipe with annulus cross section can occur in each direction in the three-dimensional space. According to the Euler-Bernoulli beam theory, the displace components of the pipe and the relevant geometrical relations could be analyzed. The geometric nonlinearity, arising from the Lagrange strain tensor, was taken into account. Based on a modified couple stress theory, the strain energy in the pipe was calculated. The nonlinear dynamical equations of three-dimensional flexural vibration for a micro-scale cantilever fluid-conveying pipe were derived by using the Hamilton principle. The effect of the dimensionless material length scale parameter on the dynamics of the system was investigated. It is found that the scale effect increases the critical flow velocity of the pipe and that the larger the dimensionless material length scale parameter is, the wider (narrower) the region of stable planar (spatial) periodic motion is.

micro-scale cantilever pipe; three-dimensional flexural vibration; couple stress theory; Lagrange strain tensor; periodic motion

國家自然科學基金(11572263)

2016-10-18 修改稿收到日期： 2017-02-17

郭勇 男，博士生，1985年生

謝建華 男，博士，教授，1957年生

O322；O326

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.22.011