張量

作用[1-2].張量(也稱超矩陣)在醫(yī)療診斷及圖像處理等領(lǐng)域有重要作用[3-5].1995年文獻(xiàn)[6]闡述了實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上有關(guān)矩陣特征值反問題的研究進(jìn)展;2016年文獻(xiàn)[7]討論了自共軛四元數(shù)循環(huán)矩陣的特征值反問題;2005年祁力群教授在文獻(xiàn)[8]提出了超對(duì)稱張量特征值的概念;2019年文獻(xiàn)[9]利用Moore-Penrose廣義逆討論了四元數(shù)代數(shù)上Sylvester張量方程的可約解;2021年文獻(xiàn)[10] 基于Einstein積討論了復(fù)數(shù)域上關(guān)于張量的

50025)結(jié)構(gòu)張量在圖像處理、醫(yī)學(xué)降噪和彈性摩擦等問題中有著重要應(yīng)用價(jià)值.[1-4]尤其是H-張量,因其在數(shù)值分析上的重要作用,其理論、性質(zhì)及迭代算法受到眾多學(xué)者的廣泛研究.[5-10]同時(shí),多元偶次齊次多項(xiàng)式在諸多問題中有著廣泛的應(yīng)用,[11-18]其正定性的判定受到越來越多的關(guān)注.本文借助H-張量來判定齊次多項(xiàng)式的正定性,并用數(shù)值算例表明了所得結(jié)論的有效性．1 預(yù)備知識(shí)用R(C)表示實(shí)(復(fù))數(shù)集,N=[n]={1,2,…,n} .m階n維實(shí)(復(fù))張量

)0 引言以四階張量為主要展現(xiàn)形式的數(shù)據(jù)廣泛存在于各種實(shí)際問題中，例如不同患者在不同藥物劑量下的EGG數(shù)據(jù)、各種視頻數(shù)據(jù)、單鏡頭的人臉識(shí)別問題等.尤其視頻數(shù)據(jù)作為四階張量的表現(xiàn)形式，引起了廣大學(xué)者的注意，如視頻壓縮[1]、視頻恢復(fù)[2]、視頻分類[3]等.數(shù)字圖像壓縮技術(shù)在多媒體、通信、醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.我們知道，奇異值分解(SVD)[4]和非負(fù)矩陣分解[5]在圖像壓縮理論中非常重要.與灰度圖像相比，彩色圖像和視頻具有更多的信息和識(shí)別特征，對(duì)彩

東學(xué)院)0 引言張量是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，近代物理和力學(xué)的發(fā)展促進(jìn)了它的充實(shí)與完善.它的應(yīng)用也越來越廣泛.在文獻(xiàn)[1]中作者在光學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用張量研究了反射線；在文獻(xiàn)[2]中作者在材料力學(xué)中應(yīng)用張量研究了彈性問題；在文獻(xiàn)[3]中作者在Dirac場(chǎng)的重正化提出了張量和Casimir效應(yīng)；還有核物理等方面的應(yīng)用[4].該文將張量以線性空間來描述，進(jìn)而建立泛函分析相應(yīng)結(jié)構(gòu)，尤其是將再生核概念引入到張量中去.再生核本是泛函分析中一種正定的積分核[5]，從某種意義上看，

天水741001張量是數(shù)值多重線性代數(shù)的主要研究對(duì)象， 其在量子力學(xué)、 心理測(cè)量學(xué)、 化學(xué)計(jì)量學(xué)、 信號(hào)處理、 高階統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域有重要應(yīng)用[1-3]． 張量是向量和矩陣的高階推廣， 它的許多性質(zhì)與矩陣情形類似， 但也有很大不同[4]． 張量相關(guān)問題的研究要比矩陣情形復(fù)雜得多． 目前， 在張量分解、 張量的低秩逼近、 張量互補(bǔ)問題、 張量特征值問題和張量方程等方面已有諸多研究成果[4-9]． 本文考慮基于Einstein積[10]的一類張量方程的求解問題．若張

本文嘗試通俗解釋張量，讓張量學(xué)習(xí)者能抓住學(xué)習(xí)的主線。關(guān)鍵詞：張量; 通俗解釋1 前言張量屬于代數(shù)的范疇，是文獻(xiàn)中最復(fù)雜、最容易混淆的基本數(shù)學(xué)概念之一。即使是在維基上搜索“張量”一詞，也要小心消除歧義。作為一個(gè)讀者，如果你不理解第一個(gè)關(guān)于張量的解釋，那么在閱讀第三個(gè)解釋之后，你似乎理解了一點(diǎn)，然后在閱讀第五個(gè)解釋之后，你發(fā)現(xiàn)還有上百個(gè)解釋是不同的。大部分工科學(xué)生懼怕張量的學(xué)習(xí)，為此，本文嘗試通俗解釋張量，讓他們學(xué)習(xí)張量時(shí)能盡快入門。2 正文我們?cè)谡n堂上進(jìn)行了

· ·×JM實(shí)張量集合，CI1×···IN×J1×···×JN為I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM復(fù)張量集合，QI1×···IN×J1×···×JN為I1×· · ·IN×J1×· · ·×JM四元數(shù)張量集合，SSRI1×…×IN為I1×… ×IN實(shí)超對(duì)稱張量集合，SSQI1×…×IN為I1×… ×IN四元數(shù)超對(duì)稱張量集合；對(duì)于A∈CI1×…×IN×J1×…×JN，Re(A) ，Im(A) 和A+分別表示張量A的實(shí)部、虛部和廣義逆。四元數(shù)是Wi

武漢430074張量作為向量和矩陣的高階擴(kuò)展，同時(shí)能夠保留數(shù)據(jù)的高維結(jié)構(gòu)，適合用來表示自然中具有多維特征的數(shù)據(jù)。張量已經(jīng)在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，包括信號(hào)處理［1-2］、計(jì)算機(jī)視覺［3-4］、神經(jīng)科學(xué)［5］和機(jī)器學(xué)習(xí)［6］。然而實(shí)際采集到的高維數(shù)據(jù)通常是遭到破壞或有部分缺失的，對(duì)于這種情況，可以根據(jù)已觀測(cè)到的部分?jǐn)?shù)據(jù)來恢復(fù)其缺失部分，這就是張量補(bǔ)全研究。本文研究的低秩張量補(bǔ)全問題是通過張量分解獲得的潛在低秩表達(dá)與數(shù)據(jù)低秩的特性，利用數(shù)據(jù)空間中數(shù)據(jù)的低秩關(guān)

619）0 引言張量填充（TC）問題是張量研究中最活躍的熱點(diǎn)之一.張量填充可以應(yīng)用于很多領(lǐng)域，如圖像恢復(fù)［1，2］、數(shù)據(jù)挖掘［3］、信號(hào)處理、機(jī)器學(xué)習(xí)［4］、高階網(wǎng)絡(luò)鏈接分析［5］等.張量填充問題可以表述為如下形式：其中A，Γ都是n-模張量，且每個(gè)模的大小相同，rank（A）表示張量A的某種秩，PΩ是集合Ω上的正交投影，Ω是基數(shù)為m的隨機(jī)子集，其中m是采樣元素的個(gè)數(shù).當(dāng)（i1，i2，…，in）∈Ω時(shí)，PΩ（A）的第（i1，i2，…，in）個(gè)元素等于Γi1i

析的發(fā)展，人們對(duì)張量的研究日益增加. 目前，有關(guān)張量的研究成果已較為豐富[1-5]. 此處所提的張量也可以稱作超矩陣，相比于矩陣元素有2個(gè)下標(biāo)，張量元素的下標(biāo)個(gè)數(shù)可以大于2個(gè). 鑒于矩陣與張量之間的聯(lián)系，許多矩陣?yán)碚撝械膬?nèi)容已被推廣到張量上進(jìn)行研究，如嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣[6]、特征值[1]、正定性[1]和Perron-Frobenius定理[7]等.方陣的子直和是矩陣和的一種推廣，F(xiàn)ALLAT 和 JOHNSON[8]給出了方陣子直和的定義，并對(duì)其性質(zhì)進(jìn)行研

用[2-5].而張量互補(bǔ)問題則是一種特殊形式的互補(bǔ)問題.生活中很多問題都可以歸結(jié)為張量互補(bǔ)問題，如 Huang和 Qi[6]將n人非合作博弈重新定義成張量互補(bǔ)問題，并應(yīng)用光滑型算法得出了數(shù)值結(jié)果，這在管理科學(xué)中是一個(gè)有趣的應(yīng)用.給定一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其是否有解或有唯一解，一般情況下是不容易弄清楚的.迄今張量互補(bǔ)問題解的存在性、唯一性、有界性以及誤差界在很多文獻(xiàn)中都有研究[7-12].Song 和 Qi[8]討論了（嚴(yán)格）半正張量涉及的張量互補(bǔ)問題解的存在性，以

2]獨(dú)立地引入了張量的特征值.文獻(xiàn)[3]引入一致超圖的鄰接張量表示, 并推廣了簡單圖上的若干譜結(jié)論.定義1設(shè)G為n個(gè)點(diǎn)v,v,…,v上的m-一致超圖, 其鄰接張量定義為m階n維張量(G)=(a…), 其中根據(jù)非負(fù)張量的Perron-Frobenius定理, 如果為不可約或弱不可約非負(fù)張量, 則它的譜半徑ρ()是的特征值, 并且對(duì)應(yīng)唯一的正特征向量(在相差一個(gè)常數(shù)倍意義下), 且有(1)在文獻(xiàn)[9]中, 作者定義了一般張量的譜對(duì)稱性, 并利用張量的廣義跡給出

×…×Im-維復(fù)張量的全體.例如,m-階I1×I2×…×Im-維復(fù)張量A=(ai1i2…im),其元素ai1i2…im∈C且下標(biāo)滿足對(duì)于張量S=(ai1i2…im),T=(bj1j2…jm)∈CI1×I2×…×Im,其外積S·T=(ui1i2…imj1j2…jm)∈CI1×I2×…×Im×I1×I2×…×Im定義為ui1i2…imj1j2…jm=ai1i2…imbj1j2…jm.本文考慮基于Einstein積的張量線性系統(tǒng)A*nX=B，(1)這里A,B∈C

132013)張量的特征值問題有重要的應(yīng)用背景，如在盲源分離[1]、磁共振成像[2-3]、分子構(gòu)象[4]等方面都有重要應(yīng)用.其中，非負(fù)張量的特征值和特征向量有許多研究結(jié)果[5-8].本文給出一個(gè)具有一般形式的非負(fù)張量譜半徑(最大特征值)的估計(jì)不等式.1 定義及基本結(jié)果如果ai1i2…im≥0，ij=1，2，…，n，j=1，2，…，m，則稱為非負(fù)張量.我們記所有m階n維非負(fù)張量的集合為.一個(gè)m階n維張量=(δi1…im)稱為單位張量，如果定義1[5-6]對(duì)

海200444)張量常微分方程的初值問題[1]可以表述為式中，A和Y0是給定的常張量.該張量常微分方程的解為式中， exp((t-t0)A)就是著名的張量指數(shù)函數(shù).對(duì)于給定的常張量A， 張量指數(shù)一般表示為如下的級(jí)數(shù)表達(dá)式:在文獻(xiàn)[1]中， 式(3)被用來近似計(jì)算或者逼近張量指數(shù)， 即式中， 截?cái)嗟淖罡唔?xiàng)nmax滿足本研究提出了一種張量廣義逆Thiele 型連分式插值方法， 用來近似計(jì)算式(2)中的張量指數(shù)函數(shù).該方法可以看作矩陣廣義逆Thiele 型連分式

30052)非負(fù)張量是非負(fù)矩陣的重要推廣，關(guān)于其特征值和特征向量有許多研究結(jié)果[1-7].張量的特征值問題有重要的應(yīng)用背景，如在盲源分離[8]、磁共振成像[9-10]、分子構(gòu)象[11]等方面都有重要應(yīng)用.本文利用張量的有向圖，研究一類非負(fù)張量譜半徑的上下界，其結(jié)果改進(jìn)了此類非負(fù)張量譜半徑上下界估計(jì)的相應(yīng)結(jié)論.1 基本定義和定理如果ai1i2…im≥0，稱為非負(fù)張量.2005年，Qi[12]和Lim[1]分別定義了張量的特征值.定義1對(duì)于m階n維張量和一個(gè)向

模Tucker積張量秩的一些性質(zhì)張雙，韓樂（華南理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510640）張量Tubal秩的定義不止一種，但本質(zhì)上是用離散傅立葉變換矩陣對(duì)原始張量做三模Tucker積得到一個(gè)復(fù)張量，這個(gè)復(fù)張量所有前片秩的最大值就是張量Tubal秩．借助三模Tucker積從代數(shù)角度研究三階張量Tubal秩的計(jì)算，并給出原始張量與變換后的復(fù)張量之間CP秩、Tucker秩的關(guān)系．Tucker積；Tubal秩；CP秩；Tucker秩1　引言及預(yù)備知識(shí)在計(jì)算機(jī)視

1-11]研究了張量、張量方程和四元數(shù)張量方程，其中何卓衡等研究了四元數(shù)代數(shù)上的張量分解和張量方程[9]以及得到了一種涉及η-Hermicity的耦合系統(tǒng)Sylvester-type四元數(shù)張量方程的通解[10]；王卿文等得到了四元數(shù)Sylvester張量方程的最小二乘解[11]. 本文利用四元數(shù)張量的復(fù)表示來討論四元數(shù)張量方程A*NX=B相容性條件及其通解.1 幾個(gè)定義和引理定義 1[12]對(duì)于四元數(shù)張量張量A和B的Einstein積*N定義為定義2[8]

這些數(shù)據(jù)大多都以張量的形式表示，特別以張量的高階形式表示，例如：三階張量有彩色圖片、灰度視頻等；四階張量有彩色視頻、帶時(shí)間序列的灰度視頻等。因此基于張量數(shù)據(jù)的機(jī)器學(xué)習(xí)方法成為研究學(xué)者們廣泛探討的問題，同時(shí)也涌現(xiàn)出了大量針對(duì)張量數(shù)據(jù)(三階及以上)學(xué)習(xí)的算法，支持張量機(jī)算法就是其中之一。支持張量機(jī)是主要針對(duì)張量數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)的算法，是支持向量機(jī)從向量空間到張量空間理論和方法的推導(dǎo)?；谥С窒蛄繖C(jī)的學(xué)習(xí)框架，Tao等人結(jié)合交替投影的思想以及多線性代數(shù)的運(yùn)算，提出了有監(jiān)

18)0 引 言張量方程是矩陣方程的自然推廣，在許多工程和科學(xué)計(jì)算領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，例如數(shù)據(jù)挖掘[1]、數(shù)值偏微分方程[2]和張量互補(bǔ)問題[3]等。與矩陣方程相比，高階張量的出現(xiàn)導(dǎo)致張量方程中的相關(guān)函數(shù)呈高次特性。此時(shí)，張量方程解的存在性和有效數(shù)值算法設(shè)計(jì)均需針對(duì)所涉及的張量結(jié)構(gòu)進(jìn)行研究和設(shè)計(jì)。在系數(shù)張量為非奇異M-張量和正常數(shù)向量(即每一分量均為正實(shí)數(shù))的情形時(shí)，已經(jīng)證明張量方程存在唯一正解[2]，并利用張量結(jié)構(gòu)性質(zhì)設(shè)計(jì)出許多有效算法用于求此正解[4-5]

引言m階n維實(shí)張量是包含了nm個(gè)實(shí)數(shù)的多維數(shù)組，可以表示為：其中[n]={1,2,…,n}。記所有m階n維實(shí)張量所構(gòu)成的集合為 R[m,n]，所有實(shí)向量構(gòu)成的集合為 Rn。近年來，源于科學(xué)與工程計(jì)算，出現(xiàn)了如下多線性方程組：(1)(2)其中xi表示x的第i個(gè)分量。2016年，Ding[1]證明了當(dāng)b>0，為-張量時(shí)，方程(1)有唯一正解，并研究了方程(1)的數(shù)值解。2017年，Han[2]提出了求解-張量方程的同倫算法。2017年，Li等[3]運(yùn)用張量的

10007）結(jié)構(gòu)張量作為一種提取圖像方向和結(jié)構(gòu)信息的分析工具，已經(jīng)被成功地應(yīng)用于計(jì)算機(jī)視覺的各個(gè)領(lǐng)域，如紋理分析[1]、特征檢測(cè)[2]、光流計(jì)算[3]、圖像去噪等[4,5]。在上述應(yīng)用中，分析結(jié)果的準(zhǔn)確性和對(duì)噪聲的魯棒性是對(duì)結(jié)構(gòu)張量的主要要求。結(jié)構(gòu)張量是二階矩矩陣的光滑形式(以下簡稱張量)?，F(xiàn)有的研究重點(diǎn)是研究出先進(jìn)的張量濾波方法，從而得到各種張量。傳統(tǒng)的線性結(jié)構(gòu)張量[1]采用高斯等線性濾波技術(shù)對(duì)張量進(jìn)行平滑處理。盡管線性濾波對(duì)噪聲有很強(qiáng)的魯棒性，但它往往

科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，張量(超矩陣)作為矩陣的高階推廣，在化學(xué)、醫(yī)學(xué)與神經(jīng)科學(xué)、社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析、高光譜圖像以及人臉識(shí)別等方面都有著廣泛應(yīng)用．張量互補(bǔ)問題(TCP)作為互補(bǔ)問題的一個(gè)特定子類，也引起了廣泛關(guān)注和研究．有許多文獻(xiàn)對(duì)TCP解集的理論性質(zhì)展開研究，包括解的存在性[1-6]、解的全局唯一性[3,7]、解集的有界性[8]和稀疏解的存在性[2]等．Huang和Qi在文獻(xiàn)[9]中給出了張量互補(bǔ)問題的一個(gè)重要應(yīng)用，為TCP的進(jìn)一步研究提供了動(dòng)力．在TCP的研究中，結(jié)

引言與預(yù)備知識(shí)張量特征值是矩陣特征值的推廣,并廣泛應(yīng)用到醫(yī)學(xué)成像、圖像分割和量子計(jì)算等問題中[1-7].令A(yù)=(ai1i2…im),ai1i2…im∈R,Qi[1]給出了如下的張量Z-特征值的定義.定義 1[1]設(shè)A∈R[m,n](m階n維),若存在非零向量x∈Rn和數(shù)λ∈R使得Axm-1=λx,xTx=1,其中則稱λ為張量A的Z-特征值,x為屬于λ的Z-特征向量.令N={1,2,…,n},為了對(duì)張量Z-特征值的性質(zhì)做進(jìn)一步的研究,Wang等[8]給出了

7)Hankel張量在眾多領(lǐng)域中都有著廣泛應(yīng)用，例如數(shù)字信號(hào)處理[1]、自動(dòng)控制[2]、醫(yī)學(xué)影像[3]和地理科學(xué)等。由于其應(yīng)用背景十分廣泛，故而吸引了眾多研究學(xué)者的廣泛關(guān)注，例如張量分解[4-5]、張量譜理論[6-7]、張量方程的求解[8-9]以及張量向量積的快速計(jì)算[10]等，其中Hankel張量特征值的求解是一個(gè)NP問題[11]。本文根據(jù)Hankel張量的結(jié)構(gòu)特性利用Cayley變換對(duì)其特征值進(jìn)行了相關(guān)研究。1 Hankel張量及其張量向量積本節(jié)將介紹

6)1 預(yù)備知識(shí)張量特征值問題在優(yōu)化、圖像處理和高階馬爾科夫鏈等許多科學(xué)領(lǐng)域中都具有重要應(yīng)用[1-12].張量廣義特征值[13]是矩陣廣義特征值的推廣.令A(yù)=(ai1i2im)，ai1i2im∈C(復(fù)數(shù)集).下面給出與本文相關(guān)的幾個(gè)定義.定義1[1]設(shè)A∈C[m,n](m階n維)，若存在非零向量x∈Cn和數(shù)λ∈C使得Axm-1=λx[m-1]，其中，n維向量Axm-1和x[m-1]定義如下：則稱λ為張量A的一個(gè)特征值，x為張量A的屬于λ的特征向量.如果向量

6)1 預(yù)備知識(shí)張量特征值是矩陣特征值的推廣，并廣泛應(yīng)用到醫(yī)學(xué)成像、圖像分割和量子計(jì)算等問題中[1-7].令（實(shí)數(shù)集），Qi在文獻(xiàn)[1]中給出了如下的張量Z-特征值的定義.定義1[1]設(shè)（階維），若存在非零向量和數(shù)使得其中，張量Z-特征值在最佳秩一逼近以及高維統(tǒng)計(jì)中都有著重要的引理1[8]設(shè)，則引理2[9]設(shè)是非負(fù)不可約且弱對(duì)稱的張量，則(A)是張量的正Z-特征值，并且(A)對(duì)應(yīng)的Z-特征向量是正向量.基于引理1和引理2，Wang等在文獻(xiàn)[8]中給出了如下

059)近年來，張量分解得到了越來越多的關(guān)注，取得了大量研究成果。在矩陣的奇異值分解(SVD)向張量分解的擴(kuò)展過程中，Trucker分解或高階奇異值分解(HOSVD)[1]和CANDECOMP/PARAFAC分解(簡稱為CP分解)[2-3]是2種主要的張量分解方法。這2種張量分解方法對(duì)應(yīng)于2種不同的矩陣的秩。Trucker分解/HOSVD對(duì)應(yīng)于矩陣的模-n秩，而CP分解與矩陣或張量的擴(kuò)展所需的秩-1組件的最小數(shù)量對(duì)應(yīng)。Trucker分解是一種高階的主成分分

關(guān)注的研究問題。張量是高維數(shù)據(jù)的自然表示，張量緊湊表可以大幅降低原始數(shù)據(jù)維數(shù)，且能非常近似地恢復(fù)原數(shù)據(jù)。文中根據(jù)張量緊湊表示概念提出張量迭代Tucker-ALS算法，并將該算法應(yīng)用至視頻壓縮中，取得較好的壓縮效果。通過測(cè)試序列仿真并運(yùn)用BD-rate比較方法進(jìn)行壓縮性能評(píng)估，相比于目前成熟的H.264算法，文中所提出的迭代Tucker-ALS算法在低碼率時(shí)性能有所改善，對(duì)于紋理類視頻性能改善顯著。張量分解；張量迭代Tucker-ALS算法；視頻壓縮動(dòng)態(tài)紋理

)嚴(yán)格半正長方形張量互補(bǔ)問題解的估計(jì)于 雯，凌 晨(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)針對(duì)長方形張量，定義了一個(gè)連續(xù)正齊次算子和一個(gè)常量，證明了長方形張量為嚴(yán)格半正的充要條件是此常量為正.在此基礎(chǔ)上，得到了嚴(yán)格半正長方形張量互補(bǔ)問題解的上下界.張量；長方形張量；嚴(yán)格半正張量；張量互補(bǔ)問題；解的估計(jì)0 引 言張量互補(bǔ)問題是線性互補(bǔ)問題[1]的推廣和非線性互補(bǔ)問題的特例，n人非合作博弈問題可被轉(zhuǎn)化成張量互補(bǔ)模型表述并求解[2].自2014年文獻(xiàn)

30033)二階張量的特征問題王 帥， 楊恩孝(長春光華學(xué)院基礎(chǔ)教研部，吉林長春 130033)本文對(duì)二階張量的特征值與特征向量(函數(shù))展開研究，并在此基礎(chǔ)上研究了對(duì)稱二階張量的特征值與特征向量，得到了一些較理想的結(jié)果．通過線性變換找到了在不同基底下的二階張量的特征．二階張量；特征值問題；線性變換1 二階張量概念與運(yùn)算(采用Einstein求和約定).既然是物理量和幾何量,它們表述的事實(shí)就應(yīng)該與坐標(biāo)系的選取無關(guān)， 這就是張量的不變性.但在不同坐標(biāo)系下,它們

港999077）張量CP分解、半正定張量和范德蒙張量徐常青1，祁力群2（1.蘇州科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 蘇州215009；2.香港理工大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)系，中國 香港999077）張量，又稱超矩陣，是矩陣的高階推廣。首先介紹張量基本概念（包括張量的特征值和張量的行列式等）和張量的基本運(yùn)算（主要是張量乘積），重點(diǎn)介紹張量秩-1分解、半正定張量、Hankel張量和Vandermonde張量的最新研究進(jìn)展。張量；張量分解；Hankel張量；Vandermonde張

求解。眾所周知，張量特征值互補(bǔ)問題與其特征值問題關(guān)系密切，而后者不可以在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)求得。著名的Gerschgorin型(圓盤)定理刻劃矩陣的特征值估計(jì)，在數(shù)值分析中有重要應(yīng)用。張量特征值是2005年提出的新概念[1]，張量特征值互補(bǔ)問題是矩陣特征值互補(bǔ)問題和張量特征值問題的推廣，也與一類非線性的微分包含問題密切相關(guān)，引起了廣泛關(guān)注[2]。與矩陣特征值問題不同，張量特征值計(jì)算是NP-難問題，張量特征值及其個(gè)數(shù)計(jì)算遠(yuǎn)比矩陣情形復(fù)雜。但與矩陣類型相似，張量特征

最先介紹并研究了張量的特征值.在最近幾年，非負(fù)張量的最大特征值問題備受關(guān)注.Chang等在文獻(xiàn)[3]中將P－F定理從非負(fù)矩陣推廣到了非負(fù)不可約張量上，并且將非負(fù)不可約矩陣的Collatz最小最大值定理也推廣到了非負(fù)不可約張量上.在文獻(xiàn)PF定理的進(jìn)一步結(jié)果[4]中，Yang等進(jìn)一步的證明了非負(fù)張量Perron－Frobenius定理，并且給出了張量的譜半徑的定義，更進(jìn)一步在文獻(xiàn)[5]中將文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]的一些結(jié)論從非負(fù)不可約張量推廣到了非負(fù)弱不可約張量

門361005)張量分解在齊次多項(xiàng)式中的應(yīng)用潘珺珺,盧琳璋*(廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)針對(duì)n元m次齊次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,提出了對(duì)應(yīng)的m階n維系數(shù)張量的定義,并應(yīng)用張量分解,給出了該類多項(xiàng)式因子分解的充要條件.證明了該類多項(xiàng)式總是可以寫成若干個(gè)因式之和,因此通過構(gòu)造系數(shù)張量就能得到所需要的因式之和.齊次多項(xiàng)式;張量;TT格式n元m次齊次多項(xiàng)式的研究是一個(gè)古老而有意義的課題.在很多方面有著重要的應(yīng)用,比如,由Qi[1-2]和Lim[3]中提出的

201620)張量與矩陣乘積的遞推算法及相關(guān)問題邢鵬超， 姜健飛(東華大學(xué) 理學(xué)院， 上海 201620)在張量研究中乘法運(yùn)算起著重要的作用，而由于張量的復(fù)雜性,由定義來計(jì)算張量的乘法十分不便.給出一種張量與矩陣相乘的遞推算法，并特別將此算法應(yīng)用于討論四階張量的相關(guān)運(yùn)算,從而得到二元四次型的一種合同標(biāo)準(zhǔn)形,并給出二維四階張量正定性的一個(gè)判定定理.張量乘法； 張量的正定性； 遞推算法這里文獻(xiàn)[3]將四階張量看作一個(gè)從二階張量到二階張量的線性變換,從而張量的

［1］首次提出了張量特征值與張量特征向量的概念，引起了廣泛的關(guān)注．人們相繼提出了許多張量的相關(guān)概念和性質(zhì)，其中對(duì)于特殊張量的研究也十分活躍．Qi Liqun［1］給出了高階張量對(duì)稱的定義，研究了超對(duì)稱張量的性質(zhì)，并 定 義 了 張 量 的 秩［2］．2011 年，Chang 又補(bǔ)充了弱對(duì)稱張量［3］和本原張量［4］的定義．同年，Yang Qingzhi等定義了隨機(jī)張量［5］并給出了相關(guān)性質(zhì)．考慮到隨機(jī)矩陣是隨機(jī)數(shù)學(xué)中研究Markov鏈的有力工具，但在Mar

00072)M-張量的更多性質(zhì)王 翔，楊瑞娟(天津大學(xué) 理學(xué)院 數(shù)學(xué)系，天津300072)在實(shí)際問題中，張量有著非常廣泛的應(yīng)用，因此張量性質(zhì)的研究尤為重要.M-張量是張量的一種，對(duì)超圖研究很有幫助，研究M-張量并得出一些性質(zhì)，定義了超圖的Laplacian張量，舉例說明M-張量的性質(zhì)有利于對(duì)超圖的研究.M-張量；譜半徑；超圖許多科學(xué)領(lǐng)域，我們常常把數(shù)據(jù)表示成高維數(shù)組的形式，這就很自然的提出了張量這個(gè)工具，而高階張量是矩陣的推廣，在實(shí)際問題中有著非常廣泛的應(yīng)

的相關(guān)研究中，矩張量作為一個(gè)二階對(duì)稱張量已被廣泛接受并且得到了成功的應(yīng)用，但對(duì)矩張量為非對(duì)稱矩張量的情況則鮮有提及。理論和實(shí)踐兩方面因素造成非對(duì)稱矩張量在過去的研究中被忽視或遺忘。在震源理論方面，通?；谔烊坏卣鹗堑厍虬l(fā)生于內(nèi)部的震源（內(nèi)源）的前提，從角動(dòng)量守恒得出矩張量必定對(duì)稱的結(jié)論；或者直接從應(yīng)力張量的對(duì)稱性得出矩張量對(duì)稱性的結(jié)論。Takei和Kumazawa曾通過嚴(yán)格的論證指出，非對(duì)稱矩張量是可以合理存在的，與角動(dòng)量守恒并不矛盾。矩張量的對(duì)稱性實(shí)際上