冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其收斂性的探討

蔡瑾

【摘要】本文通過(guò)討論冪級(jí)數(shù)在求和過(guò)程中所得到的函數(shù)與冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)之間的關(guān)系，給出求冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的方法。

【關(guān)鍵詞】?jī)缂?jí)數(shù) 和函數(shù) 收斂半徑 收斂區(qū)間 收斂域

【Abstract】We discuss the relation between power series and sum function in the paper and give a method to find the sum function.

【Key words】power series； sum function；radius of convergence；convergence domain

【中圖分類號(hào)】O151.21 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）43-0127-02

引言

冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)及其收斂性的討論，無(wú)疑在教學(xué)上及其應(yīng)用上都是值得重視的，它是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中最簡(jiǎn)單、最便于討論、應(yīng)用上最廣泛的一類級(jí)數(shù)。但往往把冪級(jí)數(shù)在求和過(guò)程中所得到的函數(shù)與冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)混為一談，且在收斂區(qū)間端點(diǎn)處的和還得應(yīng)用數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和。為此，本文討論冪級(jí)數(shù)在求和過(guò)程中所得的函數(shù)與冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)之間的關(guān)系，從而具體地給出求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的方法。

1.定理及證明

定理1.1 如果冪級(jí)數(shù)■a■x■的收斂區(qū)間為（-R，R），且■a■R■收斂，則冪級(jí)數(shù)■a■x■在[0，R]上一致收斂。（證明略詳

見(jiàn)[1]）

定理1.2 如果冪級(jí)數(shù)■a■x■在收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)收斂于F（x），且■a■R■收斂，則■a■R■=■F（x）

證明：由于■a■x■的收斂區(qū)間為（-R，R）且■a■R■收斂，則■a■x■在[0，R]上一致收斂。所以對(duì)任意的？著>0，存在N，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任意x∈[0，R]，都有■a■x■<ε，■a■R■<ε

令M=■a■·n·R■而■a■R■-■a■x■

=x-R·a■+a■（R+x）+a■（R■+Rx+x■）+…+aN（R■+xR■+…+x■

≤x-R·（■a■·n·R■）=M·x-R<ε

只要取δ=■，當(dāng)-δ

■a■x■-■a■R■=■a■x■-■a■R■+■a■x■-■a■R■

≤■a■x■-■a■R■+■a■x■+■a■R■<ε+ε+ε=3ε

所以 ■■a■x■=■a■R■

而■a■x■在（-R，R）內(nèi)收斂于F（x），即■a■R■=■F（x）。

例1 求F（x）=■■在收斂區(qū)間的和函數(shù)，并求■■的值。

解 冪級(jí)數(shù)F（x）=■■的收斂半徑R=1。

對(duì)x·F（x）逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次，得

[x·F（x）]"=[■■]'=■x■=■

對(duì)■由0到x逐項(xiàng)積分兩次，得

x·F（x）=■-ln（1-x）dx=（1-x）[ln（1-x）-1]

所以F（x）=■[ln（1-x）-1]，由于■■收斂，根據(jù)定理2，可知■■=■■[ln（1-x）-1]=1

定理1.3 如果冪級(jí)數(shù)■a■x■收斂區(qū)間為（-R，R），且■a■（-R）■收斂，則冪級(jí)數(shù)■a■x■在[-R，0]上一致收斂。

定理1.4 如果冪級(jí)數(shù)■a■x■在收斂區(qū)間（-R，R）內(nèi)收斂于F（x），且■a■（-R）■收斂，則■a■（-R）■=■F（x）。

例2 求F（x）=■■在收斂區(qū)間的和函數(shù)，并求■■的值。

解 冪級(jí)數(shù)F（x）=■■的收斂半徑R=1，在收斂區(qū)間內(nèi)逐項(xiàng)微分兩次，得F"（x）=■x2n-2=■

再將F"（x）由0到x逐項(xiàng)積分兩次，得

F'（x）=■■dx=■[ln（1+x）-■ln（1-x）]

F（x）=■[■ln（1+x）-■ln（1-x）]dx=■xln■+■ln（1-x2）

由于■■收斂，所以

■■=■[■xln■+■ln（1-x2）]=ln2

定理1.5 如果冪級(jí)數(shù)■a■x■在收斂區(qū)間（-R，0）∪（0，R）上收斂于F（x），且F（x）在x=0點(diǎn)無(wú)定義，則■F（x）=a0

事實(shí)上，■a■x■的收斂半徑是R，則它在（-R，R）上連續(xù)，便有：

■F（x）=■■a■x■=■a■x■|x=0=a0

例3 求冪級(jí)數(shù)■■在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)F（x），

并驗(yàn)證■F（x）=■■|x=0=■

解：設(shè)F（x）=■■，0

對(duì)x2F（x）=■■兩邊逐項(xiàng)微分，得

[x2F（x）]'=■xn+1=■

對(duì)上式兩邊積分，得

x2F（x）=■■dx=-x-ln（1-x）

所以F（x）=-■

而■■的收斂區(qū)間為（-1，1），且■■發(fā)散，■■收斂，所以

■■=■-■=1-ln2

■F（x）=■-■=■=■■|x=0

因此冪級(jí)數(shù)■■在收斂域[-1，1）上的和函數(shù)為

S（x）=1-ln2 x=-1-■ 0

2.求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的方法

若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，設(shè)F（x）為冪級(jí)數(shù)■a■x■在求和過(guò)程中得到的函數(shù)，其定義域?yàn)镈'，S（x）為冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)，其定義域?yàn)镈，顯然D'？哿D？哿[-R，R]。

定理2.1 若冪級(jí)數(shù)■a■x■在R處收斂，且F（x）在R處有定義，則F（x）在R處左連續(xù)。

定理2.2若冪級(jí)數(shù) ■a■x■在-R處收斂，且F（x）在-R處有定義，則F（x）在-R右連續(xù)。

這兩定理可由定理1.2，定理1.4證得。

由此可見(jiàn)，如果冪級(jí)數(shù)■a■x■在求和過(guò)程中所得到的函數(shù)在收斂域內(nèi)的端點(diǎn)及零點(diǎn)有定義，則冪級(jí)數(shù)在求和過(guò)程中所得到的函數(shù)與冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)相等，如果冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的端點(diǎn)或零點(diǎn)無(wú)定義，則冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)是冪級(jí)數(shù)在求和過(guò)程中所得到的函數(shù)的連續(xù)延拓函數(shù)。

在求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)時(shí)，可按照以下幾步進(jìn)行：

1 先求出冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R，從而確定其收斂域D

2對(duì)冪級(jí)數(shù)求和，確定F（x），x∈D'

3求F（x）在D的連續(xù)延拓函數(shù)S（x），這里的S（x）為冪級(jí)數(shù)■a■x■在收斂域D上的和函數(shù)

3.結(jié)束語(yǔ)

本文給出了求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的方法，意在直接利用求和過(guò)程中所得到的函數(shù)，對(duì)于收斂區(qū)間端點(diǎn)的和，不必再轉(zhuǎn)化為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，我們還可以進(jìn)一步去研究，如何把數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]紀(jì)樂(lè)剛.《數(shù)學(xué)分析》上海，華東師大出版社.1994.5。

[2]邢航、劉春杰.微積分在級(jí)數(shù)求和上的應(yīng)用，阜新高專學(xué)報(bào)，1994，11（2）

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)》北京，高等教育出版社.2006.7。