淺析數(shù)形結合方法在高中數(shù)學中的應用

楊巖

摘要：隨著中學教學的改革，培養(yǎng)學生能力、提高教學質量成為中學教師的教學的重點。數(shù)學思想是學生在解答數(shù)學問題的精髓所在，所以培養(yǎng)學生的數(shù)學思想能力，更是高中數(shù)學老師教學任務的重中之重。數(shù)形結合的方法是數(shù)學思想中最為重要的方法之一，掌握此種方法有助于學生熟練的解決數(shù)學中的諸多問題。

關鍵詞：數(shù)學思想；數(shù)形結合；高中教學

【中圖分類號】G633.6

引言：

中學階段主要的數(shù)學研究對象可以分為數(shù)與形兩大部分，這兩大部分是數(shù)學領域中最為基本同樣也是最為古老的研究對象，可以說，一切與數(shù)學問題有關的研究，都是圍繞數(shù)與形展開的，而且它們在一定條件下也是可以相互轉化的。數(shù)形結合的實現(xiàn)，通常涉及此類數(shù)學問題：函數(shù)與圖像的對應關系、實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系、曲線與方程的對應關系、等式或代數(shù)式的幾何意義，以幾何元素和幾何條件為背景建立的概念，如三角函數(shù)、復數(shù)等。

1.數(shù)形結合方法的意義

數(shù)形結合是數(shù)學中非常重要的思想和解決問題常用的方法，數(shù)形結合根據數(shù)學問題的條件和結論之間的內在聯(lián)系，分析其代數(shù)含義的同時，又揭示了其幾何直觀。數(shù)形結合方法在解題的過程中應用十分廣泛，它給我們解決問題帶來一個全新的思路，由形想數(shù)，利用“數(shù)”來研究“形”的各種性質，尋求規(guī)律，可以從不同的角度培養(yǎng)思維的靈活性，簡化解題的思路。用此方法常常可以使所要研究的問題化難為易，化繁為簡，思維廣闊。

2.數(shù)形結合方法在高中數(shù)學中的應用策略

2.1等價策略

教師在課堂講授時就要強調數(shù)形結合方法中“數(shù)”與“形”的轉換是必須等價的。而學生在做題過程中首先考慮用代數(shù)還是用圖形解題比較簡單，然后開始數(shù)與形的轉換，在這個轉換過程中應注意等價，例如由函數(shù)畫在平面直角坐標系下的圖象，每一個函數(shù)值要做到在圖象上有唯一對應的點，即函數(shù)圖象表示與數(shù)量關系要具有一致性。而由圖象確定數(shù)量關系，要找到函數(shù)圖象當中的一些特殊點，將它們通過等價轉換為數(shù)量關系，然后列出等價的函數(shù)關系式從而快速解出問題。

2.2雙向策略

教師在講授過程中針對同一題，展示數(shù)與形的不同解題方法，學生也會慢慢培養(yǎng)用數(shù)形結合解題的習慣。對代數(shù)的抽象特點與幾何圖形直觀特點分別進行探究，它們在解題時各有優(yōu)勢，相互互補著。若所做的數(shù)學題計算比較簡便，畫圖比較繁瑣時，我們就擇優(yōu)選取代數(shù)計算的方法，以便縮短做題時間，而且也可以得出更準確的結果。應題而異，優(yōu)勢互補的運用。熟練掌握不是一朝一夕的事，這需要一個長期積累的過程。

3.數(shù)形結合方法在高中數(shù)學中的應用舉例

3.1數(shù)形結合方法在三角函數(shù)中的應用

例1：求 的正弦、余弦、正切值。

y

0 x

P（1，y）

解析：在 △PAO中，AO=1，則r=|OP|=2，|AP|= ，即p（1，- ）。由定義可知 .

3.2數(shù)形結合方法在同角三角函數(shù)關系教學中的應用

例2：已知 且 是第四象限角，求sin ，cos .

0 | x

|

_ _ _ _ _ _ _ _ |p（x，y）

解：由定義結合圖知，角 終邊上的點為（2，- ）。|OP|= ，所以

。

4.正確引導學生熟練掌握數(shù)形結合方法

4.1在學習概念時滲透數(shù)形結合方法

任何數(shù)學知識的學習都是從學習概念開始的。要想深入的理解概念，必須要對概念進行形成、理解以及應用三個階段的學習。經歷了這三個階段的學習后才能夠做到對概念的真正把握。所以說，滲透數(shù)形結合思想的最好方式就是概念教學過程。

基于數(shù)形結合的方法來進行概念本質的研究，不僅可以幫助學生對概念進行完整的理解，還能進一步鞏固數(shù)形結合的思想方法，由此幫助學生形成對概念的深刻認識。例如在理解雙曲線的定義時，只需借助于三角形兩邊之差小于第三邊這一性質，就能對雙曲線的定義有深刻的理解。再例如，在均值定理中：對于兩個正數(shù)來說，其幾何平均數(shù)小于其算術平均數(shù)。在學習這個定理時，只要給出兩個數(shù)的幾何表示即可，即兩個正數(shù)的算術平均數(shù)可用兩條線段長度之和的一半來表示，兩正數(shù)的幾何平均數(shù)可由線段表示（由直角三角形的射影定理知）。通過分析，學生對這一個概念有了感性上的認識，記憶加深，而且還培養(yǎng)了其構圖方面的能力。在理解概念的同時，對于數(shù)型結合的思想，學生必然會有更多的認識?；跀?shù)來構思形，通過形來推理數(shù)，使數(shù)形和諧統(tǒng)一，形成自覺運用意識。

4.2在解題中引導學生使用數(shù)形結合的方法

現(xiàn)在的課堂教學提倡以學生為主，教師引導的導學式的教學方式。使學生在主動的探究、合作交流的過程中掌握基本知識，著重培養(yǎng)學生的探究能力，創(chuàng)造能力。當下，學生僅僅理解基本知識已經不能夠滿足現(xiàn)代教育培養(yǎng)目標。所以，在求解數(shù)學題時不僅要求學生有數(shù)學基礎扎實，更要求學生在解題過程中解題思想明確。在實際的解題中，教師要指導學生數(shù)形結合的思想方法對問題進行全方位和多角度的思考，對不同的解題思路進行探討，以做到觸類旁通。

在抽象的數(shù)量關系和生動的幾何直觀之間，可以說是各有所長。幾何直觀通過抽象的數(shù)量具有了直觀的形象，不僅思路清晰，而且具體簡便；數(shù)量關系賦予了直觀圖形以理性支撐，不僅令人信服而且顯得內容豐富。在實際的解題中，要有意識的將兩者結合在一起，這可以大大的提升我們解決問題和分析問題的能力，還可以激發(fā)出創(chuàng)新的意識。

5.總結

數(shù)形結合思想是中學數(shù)學一種重要的數(shù)學思想方法，在高中數(shù)學中有著廣泛應用，在解題中使用數(shù)形結合方法，可以增強解決問題的靈活性。在以后的數(shù)學教學中，我們要注意多體現(xiàn)數(shù)形結合思想方法。

參考文獻

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