線性代數(shù)中行列式與矩陣的比較

王振+++尤蘭

【基金項目】鹽城工學(xué)院人才引進(jìn)項目（XKR2011022）。

【中圖分類號】O151.22-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）35-0003-02

行列式和矩陣是線性代數(shù)中最先介紹的兩個基本概念，貫穿整個線性代數(shù)課程。但部分同學(xué)在學(xué)完了線性代數(shù)之后，對它們的符號、性質(zhì)及應(yīng)用卻依然沒有搞清楚，往往混淆。多年來已有一些作者對這一對概念進(jìn)行分析，但由于這兩個概念在線性代數(shù)的每個部分都需要用到，所以詳細(xì)地、多角度地分清這兩個基本概念，對學(xué)好、用好線性代數(shù)這門課程非常必要。文獻(xiàn)[1，2]對這行列式與矩陣從概念與性質(zhì)角度已做了部分辨析，下面筆者擬從概念、運算、化簡、應(yīng)用四個方面對這兩個概念進(jìn)行剖析，給出它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，串起線性代數(shù)中大部分內(nèi)容，希望能對線性代數(shù)的教與學(xué)提供一個參考。

1.概念的比較

1.1行列式與矩陣概念的區(qū)別

由行列式和矩陣的定義可知，雖然行列式與矩陣表面上都是將一些數(shù)按行按列排成數(shù)表，再在兩邊加上一個符號的形式，但這兩個概念是完全不同的。

首先，兩邊所加的符號不同：行列式兩邊用豎線“||”，而矩陣兩邊用圓括弧 “（ ）”或方括弧“”[ ]。其次，形狀不同：行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，但矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以不相等。再次，意義不同：n階行列式是由n個數(shù)a（1≤i，j≤n）按規(guī)定的運算法則所確定的一個數(shù)，而m行n列矩陣是由m×n個數(shù)aij（1≤i≤m，1≤j≤n）按行按列排成的一個數(shù)表。

故兩個表面不一樣的行列式，它們的值卻可能相等；而兩個矩陣相等則要求必須是同型矩陣且相同位置元素相等，所以兩個不同型的零矩陣是不相等的。

1.2與行列式、矩陣相關(guān)的一些概念

當(dāng)A是方陣（行數(shù)=列數(shù)）時，有對應(yīng)的行列式|A|，稱為方陣A陣的行列式；當(dāng)A不是方陣時，沒有對應(yīng)的行列式。

在一般m×n矩陣A中，任取k行與k列（k≤m，k≤n），位于這些行列交叉處的k個元素，不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為A的一個k階子式。當(dāng)A是方陣時，由A的行列式|A|的各個元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的伴隨矩陣，其中余子式Mij均是將|A|中的第i行，第j列劃去所得到的n-1階行列式。

2.運算的比較

將若干行列式（矩陣）按某種法則處理得到一個新的行列式（矩陣），稱為行列式（矩陣）的運算.行列式與矩陣在同類運算過程中所滿足的性質(zhì)并不相同。

2.1 轉(zhuǎn)置運算

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，而矩陣與它的轉(zhuǎn)置矩陣不一定相等。若A=A時，稱A為對稱矩陣，此時A一定是方陣。

2.2 數(shù)乘運算

數(shù)與行列式相乘，等于用數(shù)乘以行列式的某一行（列）中所有元素；而數(shù)與矩陣相乘，等于用數(shù)乘以矩陣中的所有元素。當(dāng)矩陣A是n階方陣時，設(shè)λ為數(shù)，則。

2.3 加法運算

若行列式的第i行（列）的元素都是兩數(shù)之和，則行列式可以表示為兩個行列式之和，參見[3]中第一章第五節(jié)性質(zhì)5。而矩陣的加法是對兩個同型矩陣，將相同位置上的元素相加。若A，B為同階方陣，則|AB|=|A||B|

2.4 乘法運算

兩個行列式相乘就是它們的值相乘，結(jié)果是一個數(shù)，并不是將行列式中的元素直接相乘得到一個新的行列式。而兩個矩陣相乘要求前一個矩陣的列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等，結(jié)果是一個新的矩陣。

2.5 交換兩行（列）

行列式交換兩行（列）行列式要變號；而矩陣交換兩行（列），前后兩個矩陣不一定相等，它們之間是等價的關(guān)系。

3.行列式化簡為上（下）三角形行列式與矩陣化簡為行階梯形（行最簡形）矩陣的比較

無論是行列式還是矩陣，都有以下三種初等變換：交換第i，j兩行（列）；將第i行（列）乘以某個非零數(shù)k；將第j行（列）乘以某個數(shù)k加到第i行（列）上去。

利用這三種初等變換及相關(guān)性質(zhì)，可以將一個行列式化為一個上（下）三角形行列式，從而算得行列式的值；也可以將一個矩陣化為一個行階梯形矩陣或行最簡形矩陣，從而求出相關(guān)問題。這兩種化簡的思路相同，但在具體化簡過程中又要注意一下區(qū)別：在行列式化簡過程中，可以僅使用行變換化簡，但使用列變換也是允許的，且前后兩個行列式之間用“=”連接，表示前后始終要保持相等；而在矩陣的化簡過程中，只允許使用行變換，且前后兩個矩陣之間用“～”或“→”連接，表示前后兩個矩陣僅是等價關(guān)系，一般并不相等。

例如，為了計算行列式的值，可以將D化為上三角形行列式如：，所以。而若要將矩陣化為行階梯形矩陣，可采用如下化簡過程：

。

由于這兩個化簡過程思路相同，而部分同學(xué)對行列式與矩陣又沒有搞清楚，因此在計算中就往往會將行列式與矩陣混淆，“=”與“～”混淆，最后得出錯誤結(jié)果。

4.應(yīng)用的比較

在線性代數(shù)中，有許多問題既可以借助于矩陣來解決，也可以用行列式來解決，學(xué)生往往對使用哪一種方法及如何使用搞不清楚。下面我們就來比較一下矩陣與行列式在這些問題中用法的不同。

4.1 求矩陣的逆

給定一個方陣A，若|A|≠0，則A可逆，即存在一個矩陣B，使得AB=BA=E，稱B為A的逆矩陣，記作A。那么如何求A呢？我們有如下兩種方法。

（1）用伴隨矩陣求逆：先計算|A|的值，若|A|≠0，再計算|A|中每個元素的代數(shù)余子式，構(gòu)造伴隨矩陣A，由公式，即得A。

（2）用初等變換求逆：將（A，E）通過初等行變換化為（E，X），則A=X，若（A，E）不能化為形如（E，X）的矩陣，則說明A不可逆。若將A與E放在一列，也可通過初等列變換求逆。endprint

因此用伴隨矩陣求逆需要計算一個n階行列式和n個n-1階行列式，計算量非常大，且易出錯，往往只對一些特殊的矩陣（如階數(shù)≤3的矩陣）采用這種方法，而對一般的可逆矩陣用初等變換求逆就比較簡便。

4.2 求矩陣的秩

給定一個矩陣A，若A中有一個不等于0的r階子式D，且所有的r+1階子式（如果存在的話）全等于0，則D稱為A的最高階非零子式，r稱為A的秩，記為R（A）。那么如何求矩陣的秩呢？

（1）初等變換法：利用若A與B等價，則R（A）=R（B），這個結(jié)論將矩陣A經(jīng)過初等行變換變成行階梯形矩陣B，然后B中非零行的行數(shù)就是A的秩。

（2）定義法：由定義計算A中的子式的值，找出最高階非零子式，從而求出矩陣的秩。

因此求一般矩陣的秩往往使用初等變換法。僅對一些特殊矩陣，如含0較多的或階數(shù)較低的矩陣，考慮使用定義法。

4.3解線性方程組

給定一個n個未知數(shù)m個方程的線性方程組，解方程組是指先判斷方程組是否有解，然后若有解再求出通解，主要有以下兩種求解方法：

（1）矩陣法：對任一線性方程組，均可使用矩陣法解方程組，取增廣矩陣，對作初等行變換，化為行階梯形矩陣，比較R（B）與R。若R（B）

（2）行列式法：僅當(dāng)m=n且系數(shù)行列式時，方可使用行列式法。此時由克萊默法則知方程組有唯一解，其中是把系數(shù)行列式D中第i列的元素用代替后所得到的n階行列式。

注意，若m≠n或m=n但D=0，克萊默法則并不成立。

4.4判斷向量組的線性相關(guān)性

給定一個由m個n維列向量構(gòu)成的向量組，判斷該向量組是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，我們也有兩種方法。

（1）矩陣法：對任一向量組，均可使用矩陣法判斷線性相關(guān)性。即構(gòu)造矩陣A=（），對A作初等行變換，化為行階梯形矩陣B，比較A的秩R（A）（即B中非零行的行數(shù)）與向量的個數(shù)m的大小。若R（A）

（2）行列式法：僅當(dāng)向量的個數(shù)m=向量的維數(shù)n時，方可使用行列式法來判斷向量組的線性相關(guān)性。此時構(gòu)造n階行列式，并計算|A|的值。若|A|=0，則向量組線性相關(guān)；若|A|≠0，則向量組線性無關(guān)。

4.5判斷向量是否可由向量組線性表示

給定向量組A：和向量，如果存在一組數(shù)，使，則稱向量能由向量組A線性表示。

由定義可知求向量由向量組A線性表示的問題，可以轉(zhuǎn)化為線性方程組求解的問題。而非齊次線性方程組求解的問題我們在前面4.3節(jié)已討論過。

4.6求矩陣的特征值與特征向量

設(shè)A是n階方陣，為了計算A的特征值與特征向量，需要先解出的全部解，這些解就是A的全部特征值。然后對每個特征值，求出的通解，其中全部非零解就是A的屬于特征值的特征向量。

在計算A的特征值與特征向量過程中，既需要計算行列式，也需要利用初等行變換解線性方程組。學(xué)生往往在這個地方將作為矩陣做初等行變換，或是將作為行列式來處理，從而引起錯誤。

參考文獻(xiàn)

[1]蔣衛(wèi)華，王紅濱.線性代數(shù)教學(xué)中兩組概念的處理[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2005.21（1）.

[2]郭竹梅.對線性代數(shù)教學(xué)中幾組易混淆概念的分析[J].赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2011.27（8）.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社.2007.