優(yōu)化初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的實(shí)踐與思考

●童桂恒 (金華市第四中學(xué)，浙江 金華 321000)

優(yōu)化初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的實(shí)踐與思考

●童桂恒
(金華市第四中學(xué)，浙江 金華 321000)

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中一類(lèi)基本的也是十分重要的課型.一堂高效的復(fù)習(xí)課不僅有利于學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).反思當(dāng)前數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中存在的一些低效乃至無(wú)效的教學(xué)行為，復(fù)習(xí)課要從“選、講、練”這3個(gè)維度去平衡把握，通過(guò)“精選問(wèn)題、分層施教、變式拓展”等方法，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效之目的.

復(fù)習(xí)教學(xué)；變式教學(xué)；分層教學(xué)；教學(xué)反思

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課是數(shù)學(xué)教學(xué)中一類(lèi)基本的也是十分重要的課型，要從“選、講、練”這3個(gè)維度去平衡把握，要關(guān)注數(shù)學(xué)思維方法的訓(xùn)練，掌握數(shù)學(xué)的解題方法，同時(shí)也要注意糾正兩種傾向：一是要避免“重思路引導(dǎo)，輕有效的鞏固訓(xùn)練”；二是要避免“重策略探討，輕必要的糾錯(cuò)過(guò)關(guān)”．一節(jié)課的內(nèi)容不要貪多，復(fù)習(xí)時(shí)既要重視每年必考的重點(diǎn)內(nèi)容和相關(guān)典型問(wèn)題，強(qiáng)化主干知識(shí)的訓(xùn)練[1]，又要把握好重點(diǎn)內(nèi)容與雙基內(nèi)容的復(fù)習(xí)時(shí)間與力度，反復(fù)訓(xùn)練，力求全面掌握，教后還要有跟進(jìn)的題目加以鞏固.

1 精選例題，方法變式

一道典型的例題，不僅具有鞏固所學(xué)知識(shí)的作用，更有優(yōu)化思維品質(zhì)的功能.因此，在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展方法變式，在掌握通性通法的基礎(chǔ)上，深刻分析命題條件的特殊性，讓學(xué)生在問(wèn)題的解決過(guò)程中對(duì)命題條件有本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到會(huì)解一類(lèi)題目的目的．

圖1

例1[2]如圖1所示，在△ABC中，AB=AC，P為BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D，E,CF為AB邊上的高線(xiàn)．求證：PD+PE=CF.

分析 該例是平面幾何中的一個(gè)典型問(wèn)題，一般采用常規(guī)解法，即截長(zhǎng)補(bǔ)短法．但是，通過(guò)詳細(xì)分析發(fā)現(xiàn)，題設(shè)條件中包含著等腰三角形以及垂線(xiàn)段等特殊條件，因此，我們不禁要問(wèn)：通過(guò)這些條件能否使證法更加簡(jiǎn)單呢？

證法1[2](截長(zhǎng)法)如圖2所示，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥FC于點(diǎn)H，易證四邊形DPHF為矩形.因此，PD=FH.

同理，易證Rt△PEC≌Rt△CHP，從而PE=CH，進(jìn)一步得

PD+PE=FH+CH=CF.

圖2 圖3

證法2[2](截長(zhǎng)法)如圖3所示，過(guò)點(diǎn)D作DK∥BC交CF于點(diǎn)K，則四邊形DPCK是平行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)知，PD=CK，DK=PC.因?yàn)镈K∥BC，所以

∠FDK=∠B=∠PCE.

又因?yàn)椤螪FK=∠CEP=90°,所以

Rt△DFK≌Rt△CEP,

因此，F(xiàn)K=PE，進(jìn)一步有

PD+PE=CK+FK=CF.

證法3 (補(bǔ)短法)如圖4所示，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DP，交DP的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,則四邊形DGCF是矩形，從而FC=DG=PD+PG.進(jìn)一步有∠PCG=∠B=∠ACP,因此，Rt△PGC≌Rt△PEC,從而PG=PE，于是FC=PD+PE.

圖4 圖5

證法4 (面積割補(bǔ)法)如圖5所示，聯(lián)結(jié)AP.因?yàn)?/p>

而且S△PAB+S△PAC=S△ABC,所以

又因?yàn)锳B=AC，所以PD+PE=CF.

證法5 (三角函數(shù)法)如圖1所示，因?yàn)椤鱌BD，△PCE和△BCF均為直角三角形，所以

PD=PBsinB，PE=PCsinC，F(xiàn)C=BCsinB.

又因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠C，sinB=sinC，因此

PD+PE=PBsinB+PCsinC=

(PB+PC)sinB=

BCsinB=FC.

證法6[2](比例化歸法)如圖1所示，容易證明Rt△PBD∽R(shí)t△CBF,從而

(1)

因?yàn)锳B=AC，所以∠B=∠ACB，從而Rt△PCE≌Rt△CBF,因此

(2)

式(1)+式(2),得

因此

PD+PE=CF.

反思 證法1～3采用的是通法，即求證“一條線(xiàn)段等于另外兩條線(xiàn)段的和”問(wèn)題，是解決該問(wèn)題的基本策略[2]；證法4～6則通過(guò)挖掘其特殊性，在解題過(guò)程中有機(jī)滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想.例如：由高線(xiàn)想到“面積割補(bǔ)法”(證法4)；由等腰三角形的特殊性質(zhì)——兩底角相等想到“三角函數(shù)法”(證法5)；由3個(gè)相似三角形想到比例化歸法(證法6).在方法的變式中，學(xué)生的思維得到了發(fā)散，在證法的反思中，學(xué)生的能力分層得到了體現(xiàn)，教學(xué)的效果自然就得到了優(yōu)化.

2 橫聯(lián)縱拓，題目變式

在初三復(fù)習(xí)教學(xué)中，根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)，設(shè)置題目變式，橫向通過(guò)類(lèi)比聯(lián)想，縱向通過(guò)拓展延伸，“充分挖掘知識(shí)之間的聯(lián)系，激活學(xué)生頭腦中原有的相關(guān)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)”[3]，從而建構(gòu)起新的知識(shí)、方法網(wǎng)絡(luò)．

圖6

例2[4]如圖6所示，在△ABC中，分別作它的內(nèi)角平分線(xiàn)CE和外角平分線(xiàn)CF，求∠ECF的度數(shù).

這是浙教版課標(biāo)教材七年級(jí)下冊(cè)第1.2節(jié)“三角形的角平分線(xiàn)和中線(xiàn)”第11頁(yè)作業(yè)題第4題.當(dāng)學(xué)生完成此題的解答后，教師可以通過(guò)橫聯(lián)縱拓、問(wèn)題分層，使不同水平的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上得到不同的發(fā)展.也可以通過(guò)橫向類(lèi)比聯(lián)想，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去思考、畫(huà)出圖形，并引導(dǎo)學(xué)生歸納、總結(jié)，最后得到3種不同類(lèi)型的圖形(如圖7～9)，它們所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)問(wèn)題分別是[4]：

問(wèn)題1 三角形不在同一頂點(diǎn)處的內(nèi)角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)的夾角問(wèn)題(如圖7).

問(wèn)題2 三角形兩條內(nèi)角平分線(xiàn)的夾角問(wèn)題(如圖8).

問(wèn)題3 三角形兩條外角平分線(xiàn)的夾角問(wèn)題(如圖9).

圖7 圖8 圖9

對(duì)于上述3個(gè)問(wèn)題，教師可根據(jù)圖形繼續(xù)提出問(wèn)題：“在圖7～9中的∠CPB與∠A之間，分別有著怎樣的關(guān)系？”學(xué)生的思維再次被激發(fā).

通過(guò)對(duì)問(wèn)題1～3的變式訓(xùn)練，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維能力，以及他們的創(chuàng)新意識(shí).如果以上述問(wèn)題為背景，在原圖形的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題結(jié)論的規(guī)律作進(jìn)一步的探究(即縱向拓展延伸)，那么學(xué)生不僅會(huì)一題，而且會(huì)一類(lèi)，從而培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)遷移的能力和應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.

問(wèn)題4 如圖10，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分線(xiàn)與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1;∠A1BC的平分線(xiàn)與∠A1CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2;…;∠A2 010BC的平分線(xiàn)與∠A2 010CD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A2 011，則∠A2 011為_(kāi)_____.

圖10 圖11

問(wèn)題5 如圖11，在△ABC中，A1B,A1C分別平分∠ABC和∠ACB，A2B,A2C分別平分∠A1BC和∠A1CB,…,A2 011B,A2 011C分別平分∠A2 010BC和∠A2 010CB,則∠A3和∠A有何關(guān)系？你能探究出∠A2 011和∠A的關(guān)系嗎？繼續(xù)下去，若AnB,AnC分別平分∠An-1BC和∠An-1CB，你能用∠A表示出∠An嗎？

圖12

問(wèn)題6 如圖12，在△ABC中，A1B,A1C分別平分△ABC的外角∠DBC和∠ECB，A2B,A2C分別平分∠A1BC和∠A1CB,…,A2 011B,A2 011C分別平分∠A2 010BC和∠A2 010CB,則∠A3和∠A有何關(guān)系？你能探究出∠A2 011和∠A的關(guān)系嗎？繼續(xù)下去，若AnB,AnC分別平分∠An-1BC和∠An-1CB，你能用∠A表示出∠An嗎？

3 精講精練，過(guò)程變式

過(guò)程性變式是指在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，通過(guò)有層次的推進(jìn)，使學(xué)生在分步解決問(wèn)題中，積累多種活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生智力、提高運(yùn)用知識(shí)能力的教學(xué)活動(dòng).復(fù)習(xí)課要做到精講精練是不容易的,“精講”不能理解為“少講”，而是該講的重點(diǎn)、難點(diǎn),關(guān)鍵點(diǎn)要講深、講透；“精練”也不等于“少練”，而是該練的精編或精選題要練足、練全．

1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

2)求證：△ABC是直角三角形；

3)若坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M和點(diǎn)A,B,C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，不必寫(xiě)求解過(guò)程)．

這是一道集代數(shù)(二次函數(shù)、二次方程)、幾何(直角三角形、平行四邊形)等重點(diǎn)知識(shí)于一體的中考試題.如何在講授完該題之后，進(jìn)一步拉長(zhǎng)“知識(shí)鏈”，提出適合于不同層次學(xué)生需求的問(wèn)題，讓他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中積累解題經(jīng)驗(yàn)，這需要教師課前進(jìn)行精心預(yù)設(shè)．

通過(guò)變式1可以清楚地認(rèn)識(shí)到：有些圖形的對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題不一定需要通過(guò)圖形去求解，而是可以通過(guò)挖掘出題目中隱含的規(guī)律，運(yùn)用新的解題方法來(lái)解決．線(xiàn)由點(diǎn)組成，線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)，因此，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即將y用-y替換，x不變；關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，即將x用-x替換，y不變；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即將x用-x替換，將y用-y替換即可[5].

變式2 求△ABC的外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑．

變式3 點(diǎn)G為直角坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，若以點(diǎn)A,B,C,G為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

變式2和變式3是基礎(chǔ)題，初三課堂教學(xué)要有一種保底意識(shí)，通過(guò)問(wèn)題的分層，使一些暫時(shí)基礎(chǔ)較差的學(xué)生也學(xué)有所獲，而對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)也能進(jìn)一步打好知識(shí)基礎(chǔ).

變式4 在△ABC內(nèi)部能否截出面積最大的矩形DEFG(頂點(diǎn)D,E,F,G在△ABC各邊上)？若能，求出在邊AB上的矩形頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

變式5 將△AOC沿y軸對(duì)折后，再繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△CFE(點(diǎn)A與點(diǎn)E對(duì)應(yīng))，判斷點(diǎn)E是否在拋物線(xiàn)上，并說(shuō)明理由．

變式6 設(shè)過(guò)點(diǎn)E的直線(xiàn)交邊AB于點(diǎn)P，交邊BC于點(diǎn)Q，使直線(xiàn)PQ分△ABC的面積為1∶3兩部分？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

變式7 在已知拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得△APC的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△APC的最小周長(zhǎng)．

評(píng)注 課堂教學(xué)要抓中間促兩頭，變式4～7為中檔題，這是復(fù)習(xí)教學(xué)中要下力氣重點(diǎn)抓好的一檔題，使一些暫時(shí)基礎(chǔ)較差的學(xué)生“跳一跳也能摘得到”，而對(duì)基礎(chǔ)較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)，這也是需要認(rèn)真去做的問(wèn)題.

變式8 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M自點(diǎn)P(0，1)出發(fā)，先到達(dá)對(duì)稱(chēng)軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F),最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C.試確定使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)[6]．

變式9 若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M自點(diǎn)P(0，1)出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)E)，再到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上某點(diǎn)(設(shè)為點(diǎn)F),最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C.試確定使點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置，并求出這個(gè)最短路程的長(zhǎng)[6]．

變式10 若點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)R是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使得以A,B,Q,R為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．

變式11 聯(lián)結(jié)BC，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BCD的面積最大？求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)和△BCD的最大面積．變式12 若平行于x軸的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于點(diǎn)H，K，且以HK為直徑的圓與x軸相切，求此時(shí)圓的半徑．

評(píng)注 變式8～12為稍難題，涉及最值問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、分類(lèi)討論問(wèn)題、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等，都是初中數(shù)學(xué)中最為重要的數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)思想.課堂要有靈動(dòng)，需要對(duì)各層次學(xué)生的尊重，教學(xué)中既要有“保底”意識(shí)，也要有“探究”的勇氣.教師要善于對(duì)已有的問(wèn)題進(jìn)行加工、變式、改造、整合，不斷利用已有經(jīng)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變通推廣、探索引申、提煉升華，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.

總之，“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的優(yōu)化”是一個(gè)永恒的話(huà)題，課堂的有效、高效是我們堅(jiān)持不懈的追求.在復(fù)習(xí)課教學(xué)中，教師要以教材中的經(jīng)典問(wèn)題、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題、新穎別致的中考試題為切入點(diǎn)，充分挖掘典型問(wèn)題的教學(xué)價(jià)值，通過(guò)變式教學(xué)、分層教學(xué)，使不同層次的學(xué)生在原有基礎(chǔ)上都有所提高，使“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念得到體現(xiàn).雖然在目前班級(jí)授課制下，要真正做到教學(xué)面向全體學(xué)生實(shí)施分層教學(xué)、合理有效地進(jìn)行變式教學(xué)難度較大，但仍值得我們繼續(xù)去研究和探索．

[1] 林丹群,莊靜云,陳清華.2011年“華約”自主招生筆試試卷評(píng)析暨2012年備考建議[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué),2011(11):6-11.

[2] 董玉峰.深化教學(xué)改革,構(gòu)建高效課堂[ED/OL].https://wenku.baidu.com/view/562bd566caaedd3383c4d3b7.html,2012-11-27.

[3] 張國(guó)富.精制精導(dǎo),點(diǎn)燃學(xué)生心智——淺談一道源于課本的考題及其變式[J].青少年日記:教育教學(xué)研究,2013(7):40.

[4] 龍普云.從幾道中考題說(shuō)開(kāi)[ED/OL].http://www.docin.com,2012-11-13.

[5] 邢成云.題組引領(lǐng) 梯度推進(jìn)——例談?lì)}組梯度復(fù)習(xí)法[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育,2010(Z2):34-37.

[6] 黃小芹.“線(xiàn)段之和最短問(wèn)題”初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2012(8):66-67.

1 直覺(jué)性思維——反思的萌芽

圖1

一般利用重心在向量中的表示形式來(lái)解決.

S△AOE=S△AOD=S△DOE.

易知S△AOD=2S△AOB,S△AOE=3S△AOC,S△DOE=6S△BOC,于是

就題目而言，我們已經(jīng)解決，但如果能再仔細(xì)觀察一下，發(fā)現(xiàn)答案3∶2∶1和題干中3個(gè)向量的系數(shù)比是一樣的，這是巧合還是一般性結(jié)論，直覺(jué)告訴我們不能僅僅滿(mǎn)足于答案，而應(yīng)對(duì)此作進(jìn)一步的反思和研究.

2 直覺(jué)到一般——反思的產(chǎn)生

通過(guò)直覺(jué)，筆者猜想如下的定理：

圖2

證明 延長(zhǎng)AO交BC邊于點(diǎn)D.因?yàn)?/p>

所以

于是

上面證明了點(diǎn)O在△ABC內(nèi)的情況，進(jìn)一步反思：如果點(diǎn)O在△ABC外，是否還有同樣的結(jié)論呢？仿照上面的推理過(guò)程，不難得到如下結(jié)論：

定理2 設(shè)O是△ABC外任意一點(diǎn)，△OBC,△OAC,△OAB的面積分別為S1,S2,S3.

1)當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)A在BC的異側(cè)時(shí)，若S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=λ∶u∶v,則

2)當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)B在AC的異側(cè)時(shí)，若S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=λ∶u∶v,則

3)當(dāng)點(diǎn)O與點(diǎn)C在AB的異側(cè)時(shí)，若S△OBC∶S△OAC∶S△OAB=λ∶u∶v,則

筆者從一個(gè)基本題目出發(fā)，通過(guò)反思發(fā)現(xiàn)了一般性的結(jié)論，在教學(xué)中反思能更有效地鞏固基礎(chǔ)，提高知識(shí)和方法的認(rèn)識(shí)水平，通過(guò)有意識(shí)地反思，明確題目所覆蓋的知識(shí)點(diǎn)，思考解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.

3 一般性的延伸——反思的深化

此時(shí)，似乎已經(jīng)完美地尋求到了問(wèn)題的解決方案，愛(ài)思考的學(xué)生往往會(huì)對(duì)問(wèn)題作進(jìn)一步的反思.很多涉及到三角形的四心(重心、內(nèi)心、外心、垂心)和向量結(jié)合的問(wèn)題，能否利用上面的結(jié)論來(lái)建立一個(gè)統(tǒng)一形式？沿著這個(gè)思路繼續(xù)思考問(wèn)題，得到如下的定理：

1)若點(diǎn)O為△ABC的重心，則

λ1∶λ2∶λ3=1∶1∶1；

2)若點(diǎn)O為△ABC的外心，則

λ1∶λ2∶λ3=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C；

3)若點(diǎn)O為△ABC的內(nèi)心，則

λ1∶λ2∶λ3=a∶b∶c；

4)若點(diǎn)O為△ABC的垂心，則

λ1∶λ2∶λ3=tanA∶tanB∶tanC.

前面3個(gè)結(jié)論比較容易得到，下面對(duì)第4)個(gè)結(jié)論進(jìn)行證明.

證明 如圖3，因?yàn)镠是△ABC的垂心，所以

圖3

又因?yàn)樗倪呅蜛EHF的頂點(diǎn)A,E,H,F共圓，所以

∠A+∠BHC=π，

同理可得 ∠B+∠AHC=π，

故S△BHC∶S△CHA∶S△AHB=tanA∶tanB∶tanC.

利用化歸的思想，通過(guò)一步一步反思，把這些看起來(lái)互不相關(guān)的問(wèn)題都統(tǒng)一到一個(gè)形式上.羅增儒老師把解題后缺乏反思的現(xiàn)象比喻為“進(jìn)寶山而空手返”.通過(guò)對(duì)已完成的思維過(guò)程進(jìn)行周密且具有批判性地思考，進(jìn)一步來(lái)探討知識(shí)的內(nèi)涵和外延，從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而提高學(xué)生的元認(rèn)知水平，完善知識(shí)體系.

4 成果應(yīng)用——反思的再認(rèn)識(shí)

通過(guò)以上的反思，學(xué)生的思維能力得到了提升，對(duì)問(wèn)題的理解能力也更加深刻，下面我們把這些反思的成果應(yīng)用到日常的解題中.

解 根據(jù)定理3，因?yàn)镚為△ABC的重心，所以

56a=40b=35c，

即

代入余弦定理，得

故

整理得

則

m∶n∶(1-m-n)=5∶5∶6,

解得

(2016年山東省高中數(shù)學(xué)聯(lián)考試題第5題)

解 因?yàn)镻為△ABC的外心,所以

根據(jù)已知條件，得

sin 2A=sin 2B，

又∠C=120°，從而

于是

故λ=-1.

筆者以一道常見(jiàn)數(shù)學(xué)題目為例，闡述了在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中不斷思考、不斷反思問(wèn)題以達(dá)到不斷優(yōu)化的目的.數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)解題教學(xué)，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要組成部分，在解題教學(xué)過(guò)程“如何引導(dǎo)學(xué)生思考、如何反思”是教師的一項(xiàng)重要工作.若平時(shí)在教學(xué)過(guò)程中能經(jīng)常滲透這種意識(shí)，則學(xué)生會(huì)不斷地實(shí)踐并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思考問(wèn)題，數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)品質(zhì)也定能得到相應(yīng)提升.

2017-06-30

童桂恒(1963-)，男，浙江開(kāi)化人，浙江省特級(jí)教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)09-01-04