用命題的方法研究函數(shù)的奇偶性

張卉

【摘要】“新課改”與上海“二期課改”以來，在高中階段使學生掌握一定的數(shù)學方法、形成一定的數(shù)學思維顯得愈發(fā)重要.函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的基本性質(zhì)之一，函數(shù)的奇偶性的教學案例不勝枚舉.本文將展現(xiàn)筆者作為職初教師的“另類”“函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性”教學案例——引領(lǐng)學生用命題的方法研究函數(shù)的奇偶性，以期與廣大數(shù)學教育工作者交流分享.

【關(guān)鍵詞】命題；函數(shù)的奇偶性；教學案例；反思

一、教材分析

“函數(shù)的基本性質(zhì)：奇偶性”是上海教育出版社高中一年級第一學期數(shù)學教材中的第3章“函數(shù)的基本性質(zhì)”中的第4節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的第一個主要內(nèi)容.函數(shù)是高中數(shù)學的重點和難點，函數(shù)的思想貫穿于高中數(shù)學.本節(jié)課是在“函數(shù)的運算”的基礎(chǔ)上，進一步開始研究系統(tǒng)函數(shù)的四個基本性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、最值、零點）中的第一個——奇偶性.它一方面，能深化學生對高中的函數(shù)概念的理解，另一方面，也為今后研究函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容打下基礎(chǔ).

二、學情分析

學生在初中已初步認識了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等，進入高中后掌握了函數(shù)的概念及運算，會建立簡單的函數(shù)關(guān)系，能用“描點法”作圖.學生對本節(jié)知識的學習有了一定基礎(chǔ)并充滿期待.學習完函數(shù)的奇偶性之后，學生會對后續(xù)的函數(shù)的單調(diào)性等內(nèi)容的學習更有心得.學生在完整學習完函數(shù)的基本性質(zhì)后會對函數(shù)的認識更加系統(tǒng)化.

三、教學目標

1.理解函數(shù)的奇偶性的定義及圖像特征，會判斷一些函數(shù)的奇偶性.聯(lián)系命題了解非偶函數(shù)、非奇函數(shù)的定義.

2.掌握證明函數(shù)的奇偶性的方法，能應用函數(shù)的奇偶性解決一些簡單的問題.

3.在研究函數(shù)的奇偶性的過程中，形成數(shù)形結(jié)合、類比歸納、嚴謹推理的數(shù)學思維.

四、教學重難點

1.教學重點：函數(shù)的奇偶性及圖像特征.

2.教學難點：判斷函數(shù)的奇偶性的方法.

五、教學方法

本節(jié)課的教學內(nèi)容主要分為偶函數(shù)的概念教學與奇函數(shù)的概念教學兩部分，其中對于證明一個函數(shù)不具有奇偶性的內(nèi)容，筆者另辟蹊徑，通過采用命題的方法與學生一起給出非偶函數(shù)與非奇函數(shù)的定義來研究.

對于偶函數(shù)的概念教學筆者主要采用了心理學理論的概念形成模式（具體例子→觀察共性→抽象本質(zhì)→形成定義→強化概念→概念應用→形成概念域），主要采用啟發(fā)式教學法.而對于奇函數(shù)的概念教學筆者則主要引導學生采用類比的方法，自主探究、獨立完成.

六、教學反思

（一）分清易混淆的概念，體會證明函數(shù)奇偶性的真諦

本節(jié)課設計中的難點就是如何使學生理解與掌握證明一個函數(shù)沒有奇偶性的方法.作為職初教師，筆者在設計時查閱大量資料，都將采用的方法稱為“舉反例”.然而在第1章“集合和命題”后學生已經(jīng)知道“舉反例”指的是舉出滿足命題的條件但不滿足命題的結(jié)論的例子，這顯然和我們用來證明一個函數(shù)沒有奇偶性的方法不一樣.

為使學生在學習函數(shù)的奇偶性時不產(chǎn)生上述概念的混淆，筆者經(jīng)過數(shù)日思考發(fā)現(xiàn)可通過研究偶函數(shù)（奇函數(shù)）的定義得到的四個命題的真假性得到非偶函數(shù)（非奇函數(shù)）的定義來證明一個函數(shù)沒有奇偶性.實際教學后，學生普遍能明了偶函數(shù)、非偶函數(shù)、奇函數(shù)、非奇函數(shù)的定義并理解利用定義來完成相關(guān)的函數(shù)的奇偶性的證明問題，也沒有與“舉反例”的方法相混淆.故而，本節(jié)課雖然創(chuàng)新性地增加了概念，但對學生認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學體系的合理性與完整性來說是有極大裨益的.

（二）注重數(shù)學知識與認知結(jié)構(gòu)的正確遷移

在高中數(shù)學的概念教學中，我們尤其應該注意數(shù)學知識與認知結(jié)構(gòu)的內(nèi)在聯(lián)系與遷移.在教學中，教師應該有意識地體現(xiàn)正確的認知遷移，使得學生能夠“溫故而知新”，循序漸進地完善認知結(jié)構(gòu).

在函數(shù)的奇偶性的教學中，很多教師會將學生熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)和學生將要熟悉的冪函數(shù)、“耐克函數(shù)”、常值函數(shù)等常見初等函數(shù)選入例題供學生研究其奇偶性，這就是體現(xiàn)認知遷移的非常好的舉措.另外，在本教學案例中，筆者也將高一學生剛剛掌握的命題、充要條件等內(nèi)容融入函數(shù)的奇偶性的教學，也不失為進行數(shù)學知識與認知結(jié)構(gòu)的正確遷移的一個可行的嘗試.

（三）在問題引領(lǐng)下，調(diào)動學生的主動思維

上?！岸谡n改”以來，在高中階段使學生掌握一定的數(shù)學方法、形成一定的數(shù)學思想顯得愈發(fā)重要.這些數(shù)學方法與數(shù)學思想的建構(gòu)都離不開學生的主動思維.學生的主動思維的發(fā)生，進而數(shù)學方法的習得與數(shù)學思想的形成都應該在問題的引領(lǐng)下.

美國數(shù)學家哈爾莫斯曾說過：“問題是數(shù)學的心臟.”問題能調(diào)動學生學習的積極性，驅(qū)動學生不斷反省，進而改善自己的認知結(jié)構(gòu).因此，本節(jié)課筆者設計了7個問題，層層深入、螺旋遞進地引導學生經(jīng)歷完整的研究函數(shù)的奇偶性的過程，從中獲得證明數(shù)學問題的一般方法，提煉出最為精妙的數(shù)形結(jié)合、類比歸納、嚴謹推理的數(shù)學思維.endprint