泰勒公式在高等數(shù)學中的應用研究

蔡弘毅

【摘 要】在我國，伴隨著教育事業(yè)不斷的向前發(fā)展，相關(guān)教育方面的改革，也在不斷的向前發(fā)展，高等數(shù)學是我們教學重要的組成部分，而這其中的泰勒公式就是高等數(shù)學的重要的理論之一，對于相關(guān)數(shù)學理論的研究是有著非常重大的意義的。對于泰勒公式的研究，我們一定要做到全面深入的了解，對于基本概念和基本原理以及基本的數(shù)學思想要加以掌握，并詳細的分析在運用的過程當中所存在并應注意的問題，這樣才有利于我們研究工作順利的開展。該篇文章對于泰勒公式在高等數(shù)學當中的應用進行重點的分析與探討，以供相關(guān)人員參考。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式；高等數(shù)學；應用與研究

1.前言

泰勒公式，是我們高等數(shù)學當中的基礎知識，雖然很基礎，但是其應用的范圍卻是十分的廣泛的，主要適用于物理和計算機方面，當然，也可以用于數(shù)據(jù)的分析以及最優(yōu)化理論等等數(shù)學的分支當中，所以，對于泰勒公式的研究是十分的重要的。在此基礎之上，該篇文章針對泰勒公式的相關(guān)概念以及思想理念進行講解，然后重點闡述其在高等數(shù)學當中的應用，以作出相應的貢獻。

2.泰勒公式

2.1概念

泰勒公式可以運用若干個的連加式去代表或者表示相應的函數(shù)，這些相加起來的項，則可以通過相應的函數(shù)在某一個點上的導數(shù)，或者是在其臨近的一個點（n+1）次導數(shù)當中求解出來。在高等數(shù)學當中，其泰勒公式就是利用我們相關(guān)函數(shù)在某個相應點附近的取值的應用的公式，只要其函數(shù)夠光滑，我們就能夠在已經(jīng)知道額函數(shù)某個點相關(guān)導數(shù)的數(shù)值的情況之下，運用我們的泰勒公式，求出函數(shù)在這個點上的取值。當x=0時的泰勒公式，我們在一定的程度之上又把它稱之為麥克勞林公式，在進行相關(guān)的應用的時候，一定要記得去注意比較帶皮亞諾余項與帶拉格朗日余項的泰勒公式成立的條件是不同的，并且，我們還還應該去掌握一些初等的函數(shù)的麥克勞林公式，從而在一定的程度之上加深對泰勒公式的理解及其應用。

2.2相關(guān)的思想理念

英國的數(shù)學家泰勒發(fā)明出泰勒公式，而且使其得到了非常廣泛的運用。在我們的日常生活以及數(shù)學研究當中，當我們想要去解決一些數(shù)學當中比較難的問題時，通常就會想到一些比價復雜的函數(shù)，而在此時，泰勒公式就顯得非常的重要了。這是因為泰勒公式本身就具有化繁為簡的功能能力，運用相關(guān)的泰勒公式，可以使得一些復雜的函數(shù)變得簡單化，容易得出結(jié)果。有效的運用泰勒公式在一定的程度之上能夠為我們快速的去解決問題，也利于數(shù)學進一步的研究以及學生學習也就是說，泰勒公式的相關(guān)理念，就是簡單化，明了化，而且易于我們掌握。

3.泰勒公式在高等數(shù)學當中的應用研究

我們都知道，泰勒公式在許許多多的方面都得到了廣泛的應用，不僅僅是在求解一些極限值或者是不等式的證明以及近似計算方面，都發(fā)揮著不可替代的作用，而且，對于去求解一些高階的導數(shù)在某一點的數(shù)值和判斷其函數(shù)的極限等等方面，有有著非常重要的作用，以下我們主要對泰勒公式相關(guān)的應用作出一些簡單的概述。

3.1求取極限值

運用泰勒公式去求取極限值的方法是比較的簡單的，而且在求解的過程當中，也比較的方面快捷，比如，求取

，對于該項題目，如果去采用洛必達法進行計算求解

的話，就需要運用6次，比較的繁雜，但是如果僅僅是使用泰勒公式進行求解的話，就顯得容易的多了，下面，我們就簡單

的作出其相應的求解的過程，因為

，故 ，可以得出結(jié)果，原式

= ，這樣看來的話，

其計算過程是十分的簡便的，運用泰勒公式的時候，我們一定要注意一個問題，在計算時，要充分的開展到其分子與分母簡化之后的系數(shù)不是零的階數(shù)就行了。

根據(jù)以上所解所得，我們可以看到，充分的去運用泰勒公式在我們求取極限值當中是起著十分重要的作用的，不但可以將其運算進行簡化，從而簡化計算的步驟，還非常的容易理解，掌握起來也比較的簡單。

3.2判斷相關(guān)函數(shù)的極值

在我們的數(shù)學研究當中，去判斷相關(guān)函數(shù)的極值的方法一般都是：當f'（x）等于零的時候，而且 時，就可以判斷其 就是 的極大值或者是極小值了，但是我們沒有考慮到的是，如果這個時候運用 的話，就沒有辦法判斷出是不是其極值點了，在該種情況之下，我們就可以運用泰勒公式了，該種公式是可以進行快速有效的解決問題的。比如： 在 相關(guān)點x的一、二、三階之處的導數(shù)都是零，運用

便可以得出，當其 大于

等于零時， 在x的位置就取最小值，當其小于零的時候就可以取最大值了。如果 不等于零的情況我們也加以了計算，總之運用泰勒公式就可以簡單快捷的得出想要的結(jié)果，而且非常容易掌握，不難發(fā)現(xiàn)，運用相關(guān)的泰勒公式去判斷其函數(shù)香瓜極致有著十分重要的作用與意義。

3.3高階導數(shù)的求解

主要是運用泰勒公式進行高階導數(shù)的求解，而且我們還可以反過來去求解其相關(guān)高階導數(shù)的數(shù)值，這樣既可以避免我們逐步求解的繁瑣復雜的過程，而且還可以使得求解更加的簡單便捷，還易于掌握。

結(jié)束語

總而言之，泰勒公式在我們相關(guān)的高等數(shù)學的解題方面應用是十分的廣泛的，，有尋求等價無窮小量、求極限以及相關(guān)的不等式證明、乃至近似計算幾方面的應用。該篇文章主要講解泰勒公式的相關(guān)定義以及相關(guān)的理念，從而便于我們對泰勒公式有進一步的了解，而且還重點的去研究了泰勒公式在高等數(shù)學當中，求極限值、判斷其相關(guān)函數(shù)的極限值以及高階導數(shù)方面的一些應用，。我們只有充分的把握住了其泰勒公式基本的概念以及運用的范圍與方法，才可以加深理解和運用，在此，希望該篇文章能夠?qū)ο嚓P(guān)的人員產(chǎn)生一定的影響，并對相關(guān)的數(shù)學研究可以作出一定的貢獻，也希望專業(yè)人員可以多做點評，加以改正，以為更多人員作出貢獻。

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