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    數(shù)學(xué)思想方法,理解性學(xué)習(xí)的綠色通道

    2017-09-05 13:08:35葉海英潘旭東
    關(guān)鍵詞:數(shù)與形理解力數(shù)學(xué)思想方法

    葉海英 潘旭東

    [摘 要]數(shù)學(xué)思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容,數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)與應(yīng)用,能有效促進(jìn)學(xué)生理解性學(xué)習(xí)。提高學(xué)生的理解力能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)與理解?!皵?shù)與形”是“數(shù)學(xué)廣角”里的內(nèi)容,教師在教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化過(guò)程,讓學(xué)生真切地體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的魅力。

    [關(guān)鍵詞]數(shù)與形;數(shù)學(xué)思想方法;理解力

    [中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068(2017)23-0008-04

    【目標(biāo)預(yù)設(shè)】

    1.通過(guò)觀察與思考,讓學(xué)生充分感知數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系。

    2.在問(wèn)題解決的過(guò)程中讓學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

    3.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。

    【教學(xué)流程】

    一、回顧形與形、數(shù)與數(shù)的聯(lián)系,引發(fā)學(xué)生思考

    師:我們是怎樣推導(dǎo)平行四邊形面積公式的?

    生1:把平行四邊形沿著一條高剪開后,拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,求出長(zhǎng)方形的面積就得到平行四邊形的面積。

    師:怎么計(jì)算+?

    生2:先通分,轉(zhuǎn)化成同分母后再計(jì)算。

    師(小結(jié)):把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形,是形與形的轉(zhuǎn)化;把異分母分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù),是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化。無(wú)論是形與形的轉(zhuǎn)化,還是數(shù)與數(shù)的轉(zhuǎn)化,都是為了方便我們解決問(wèn)題。那么數(shù)與形能不能互相轉(zhuǎn)化,數(shù)與形之間有沒(méi)有關(guān)系呢?今天這節(jié)課我們就一起來(lái)研究“數(shù)與形”。

    【評(píng)析】通過(guò)復(fù)習(xí)推導(dǎo)平行四邊形面積公式的方法及異分母分?jǐn)?shù)加減法的方法,喚起學(xué)生的認(rèn)知,讓學(xué)生明白形與形之間和數(shù)與數(shù)之間都可以互相轉(zhuǎn)化。此時(shí),教師自然地提出問(wèn)題,引發(fā)學(xué)生思考:數(shù)與形能不能互相轉(zhuǎn)化,它們之間有沒(méi)有關(guān)系?讓學(xué)生圍繞這一基本問(wèn)題展開探究和學(xué)習(xí)。

    二、體會(huì)形中有數(shù)、數(shù)中有形,數(shù)形相關(guān)

    1.探究圖形對(duì)應(yīng)的數(shù),體會(huì)形中有數(shù)

    師:你發(fā)現(xiàn)圖1中四個(gè)圖形之間的規(guī)律了嗎?請(qǐng)用數(shù)或式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

    (學(xué)生思考,教師巡視并收集三種不同的表達(dá)方式,然后全班交流)

    生1:我是用數(shù)“1、4、9、16”來(lái)表示的。第一個(gè)圖形有1個(gè)小正方形,第二個(gè)圖形有4個(gè)小正方形,第三個(gè)圖形有9個(gè)小正方形,第四個(gè)圖形有16個(gè)小正方形。

    生2:我是從正方形的邊長(zhǎng)入手找規(guī)律的。一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,那第一個(gè)圖形就是(1×1),第二個(gè)圖形就是(2×2),后面兩個(gè)圖形分別是3×3和4×4。

    生3:我用算式“1,1+3,1+3+5,1+3+5+7”來(lái)表示。第一個(gè)圖形用“1”表示,第二個(gè)圖形是在第一個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了3個(gè)小正方形,第三個(gè)圖形是在第二個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了5個(gè)小正方形,第四個(gè)圖形是在第三個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了7個(gè)小正方形。

    師(追問(wèn)):你們能理解生3給出的規(guī)律嗎?第四個(gè)圖形中的1、3、5、7分別是什么?請(qǐng)指一指。

    (教師結(jié)合學(xué)生的發(fā)言,用不同顏色的筆在圖形中標(biāo)記3、5、7對(duì)應(yīng)的位置)

    師:這幾種觀察規(guī)律的角度有什么不一樣的地方?

    生4:生1從小正方形的數(shù)量來(lái)觀察,生2從圖形的邊長(zhǎng)來(lái)觀察,生3是從圖形增加的個(gè)數(shù)來(lái)觀察的。

    師(小結(jié)):同一組圖形,盡管觀察的角度不同,但是我們都找到了數(shù)的影子。

    2.探究算式對(duì)應(yīng)的圖形,體會(huì)數(shù)中有形

    師:生3給出的規(guī)律比較難理解,我們?cè)龠M(jìn)一步研究。

    師:沿著1+3+5+7這個(gè)規(guī)律繼續(xù)思考,1+3+5+7+9+11+13對(duì)應(yīng)的圖形會(huì)是什么樣子的?

    (學(xué)生小組討論后交流)

    生5:對(duì)應(yīng)的是邊長(zhǎng)為7的正方形。因?yàn)椋?3+1)÷2=7,所以得到邊長(zhǎng)為7的正方形。

    生6:因?yàn)?+3=4,就是2的平方;1+3+5=9,就是3的平方。以此類推,“1、3、5、7”4個(gè)數(shù)相加的和是4的平方,“1、3、5、7、9”5個(gè)數(shù)相加的和是5的平方,“1+3+5+7+9+11+13”中有7個(gè)數(shù),就是邊長(zhǎng)為7的正方形。

    師:請(qǐng)?zhí)顚懀?)=102。

    生7:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=102,答案是從1開始的連續(xù)10個(gè)奇數(shù)相加。

    師:回顧剛才的探究過(guò)程,我們?cè)趫D中想到了數(shù),在數(shù)中想到了圖,那數(shù)與形有關(guān)系嗎?

    生(齊):有。

    師:是的,數(shù)中有形、形中有數(shù),數(shù)與形之間確實(shí)有關(guān)系,那么到底有怎樣的關(guān)系呢?我們繼續(xù)探究。

    【評(píng)析】教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度觀察同一幅“正方形方格圖”,通過(guò)看一看、說(shuō)一說(shuō)、比一比、想一想等活動(dòng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官,讓學(xué)生體會(huì)“形”中有“數(shù)或算式”,然后引導(dǎo)學(xué)生想象1+3+5+7+9+11+13這個(gè)式子對(duì)應(yīng)的圖形是什么樣子,讓學(xué)生感悟“數(shù)或算式”也可以用“形”來(lái)表示,初步感知數(shù)與形的完美結(jié)合。這一環(huán)節(jié)中,學(xué)生在觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、想象、推理等過(guò)程中經(jīng)歷“數(shù)與形”的對(duì)應(yīng)、轉(zhuǎn)化和結(jié)合,實(shí)現(xiàn)了多種數(shù)學(xué)基本思想和方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透,使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的魅力。

    三、體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助

    生2:我發(fā)現(xiàn)后面還有一個(gè)省略號(hào),說(shuō)明后面還有很多很多的數(shù),有無(wú)數(shù)個(gè)這樣的數(shù)相加。

    師:和是多少呢?

    (大多數(shù)學(xué)生感到茫然)

    師:沒(méi)感覺(jué)是嗎?我們可以借助圖形找找感覺(jué)。

    (請(qǐng)學(xué)生拿出教師課前發(fā)的練習(xí)紙,紙上畫了一個(gè)圓形、一個(gè)正方形和一條線段)

    師:請(qǐng)從一個(gè)圓形、一個(gè)正方形和一條線段中任選一個(gè),然后在你選擇的圖形中找到它的,在的基礎(chǔ)上加上它的,再加上它的,按算式的要求一直加下去,看看能不能找到和是多少。先獨(dú)立操作,然后小組交流,最后派代表展示。

    生3:我先把一個(gè)圓形平均分成2份,找到其中的一份涂上顏色,再把另外一份平均分成2份,也就是整個(gè)圓形的,然后繼續(xù)平分,一直加到。如果再一直加下去,空白部分會(huì)越來(lái)越小,但是總有一點(diǎn)點(diǎn)空出來(lái)。

    生4:我是利用線段來(lái)找的,一直加下去,和會(huì)越來(lái)越接近1,但不等于1。

    師:我用正方形來(lái)演示。

    師(一邊演示一邊問(wèn)):按這樣的規(guī)律加下去,和是多少?

    生5:無(wú)限接近1,但不等于1。

    生6:加上無(wú)窮無(wú)盡的數(shù)應(yīng)該等于1。

    師:有的同學(xué)認(rèn)為結(jié)果等于1;有的同學(xué)認(rèn)為結(jié)果越來(lái)越接近1,但不等于1,與1差了那么一點(diǎn)點(diǎn)。意見(jiàn)不統(tǒng)一!不著急得到最終的結(jié)果,先來(lái)看看你們?cè)诋媹D中的收獲。通過(guò)畫圖,我們知道了這個(gè)式子的和與幾有關(guān)?

    生(齊):與“1”有關(guān)。

    師:無(wú)論是認(rèn)為等于1,還是認(rèn)為和1差一點(diǎn),起碼我們有了方向——結(jié)果與“1”有關(guān)系。這就是畫圖的好處,它能幫助我們找到一種感覺(jué)、一個(gè)方向。但是,我們還有困惑,結(jié)果到底等于1,還是接近1?你們覺(jué)得畫圖能回答這個(gè)問(wèn)題嗎?

    生(齊):不能。

    師:這就是畫圖的缺陷,它不能準(zhǔn)確地、精細(xì)化地表示結(jié)果。當(dāng)畫圖解決不了問(wèn)題時(shí),我們可以用數(shù)來(lái)進(jìn)行推理。既然“和”與1有關(guān),我們從1開始想。

    師:讓我們回顧剛才的探究過(guò)程。剛開始大家看到這樣一個(gè)算式,不知道等于幾。是誰(shuí)幫助我們找到了感覺(jué),找到了“和”與1有關(guān)系?是的,圖形幫助我們發(fā)現(xiàn),按照這樣的規(guī)律加下去,“和”越來(lái)越接近1,甚至有同學(xué)想到等于1。當(dāng)圖形不能精確地表示出“和”到底是等于1,還是接近1的時(shí)候,誰(shuí)又幫助我們找到了準(zhǔn)確結(jié)果?

    生(齊):數(shù)。

    師:是的,數(shù)又幫助我們通過(guò)推理得出“和”就等于1。你們覺(jué)得數(shù)和形之間有著怎樣的關(guān)系呢?

    生9:密不可分的關(guān)系。

    生10:數(shù)與形可以互相幫助。

    師:關(guān)系非常密切,你中有我,我中有你,互相幫助。其實(shí),在我們以前的學(xué)習(xí)中,就有很多地方都體現(xiàn)了數(shù)形之間互相幫助的特點(diǎn)。

    【評(píng)析】課本的例2是一道無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和問(wèn)題,這道題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常抽象,不易理解。到底和等于多少?在激起學(xué)生的學(xué)習(xí)需求與愿望后,教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形解決問(wèn)題,讓學(xué)生在圖中找答案,學(xué)生借助這些直觀的“形”發(fā)現(xiàn)這個(gè)算式的結(jié)果好像是1,好像又不是1。因?yàn)橥ㄟ^(guò)直觀圖可以看到,無(wú)論怎么分割下去,圖中好像總有“剩余部分”。但就在這個(gè)畫圖的過(guò)程中,學(xué)生借助直觀圖發(fā)現(xiàn)該算式的結(jié)果應(yīng)該與“1”有關(guān)??梢?jiàn),直觀圖給求解抽象算式的任務(wù)指明了大方向。

    師:我們一起回憶,利用長(zhǎng)方形模型可以幫助我們理解分?jǐn)?shù)乘法的算理;利用線段圖可以幫助我們理解分?jǐn)?shù)除法的算理;學(xué)習(xí)幾何知識(shí)時(shí),因?yàn)橛辛硕葦?shù),我們就可以準(zhǔn)確地說(shuō)出89°是一個(gè)銳角,盡管它與直角很像。兩條平行線之間距離都是2cm,說(shuō)明這兩條直線互相平行。這些例子都體現(xiàn)出數(shù)與形之間的互相幫助。

    師:我國(guó)一位非常有名的數(shù)學(xué)家華羅庚很早就說(shuō)過(guò)這樣的話:“數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬(wàn)事休?!睂?shù)、形結(jié)合起來(lái)就能很好地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,數(shù)形結(jié)合也是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想。

    【評(píng)析】教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的與數(shù)形結(jié)合思想相關(guān)聯(lián)的知識(shí),讓學(xué)生感受到“數(shù)與形”并不陌生,使學(xué)生真正體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形、數(shù)形互助的關(guān)系。最后引用數(shù)學(xué)家華羅庚的話,讓學(xué)生和數(shù)學(xué)家產(chǎn)生共鳴,在得到數(shù)學(xué)文化的熏陶的同時(shí)進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值。

    四、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用

    師:你能利用圖3找出(a+b)2和a2+2ab+b2的關(guān)系嗎?

    生1:(a+b)2表示大正方形的邊長(zhǎng)乘邊長(zhǎng),就是大正方形的面積,把這個(gè)大正方形分割成四個(gè)部分,其中有兩個(gè)部分都是正方形,面積分別是a2和b2,另外兩個(gè)部分是長(zhǎng)方形,它們面積相等,面積的和是2ab,因此可以推導(dǎo)出(a+b)2=a2+2ab+b2。

    師:圖4是同樣的一個(gè)正方形,如果這樣分割,你能求出這個(gè)圖形的面積嗎?

    生2:面積是c2+2ab。

    生3:圖3和圖4的面積相等,得到a2+2ab+b2=c2+2ab,等式兩邊同時(shí)減2ab,得到a2+b2=c2。

    師:通過(guò)數(shù)形結(jié)合,我們得到了初中時(shí)會(huì)學(xué)到的完全平方公式和勾股定理,再一次證明了“數(shù)形結(jié)合百般好”這句話。

    五、課堂小結(jié)

    師:今天學(xué)習(xí)的數(shù)與形,只是幫我們打開了一扇窗,更多數(shù)與形的知識(shí)還在等待同學(xué)們?nèi)ヌ骄?。如果大家有了?shù)與形的意識(shí),相信以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)更精彩。

    【總評(píng)】

    學(xué)生一開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),數(shù)形結(jié)合的思想就一直伴隨他們左右,所以學(xué)生已經(jīng)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本節(jié)課的教學(xué)把數(shù)形結(jié)合的思想作為核心教學(xué)內(nèi)容,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)際意義。

    1.提煉基本問(wèn)題,引領(lǐng)學(xué)生思考

    “提問(wèn)”是教師引領(lǐng)學(xué)生思考的重要手段。本節(jié)課圍繞“數(shù)與形之間有沒(méi)有關(guān)系?”“數(shù)與形到底有怎樣的關(guān)系呢?”這些基本問(wèn)題展開教與學(xué)的互動(dòng),學(xué)生自主探究,在經(jīng)歷觀察、分析、發(fā)現(xiàn)、想象、推理等活動(dòng)后,能夠感受數(shù)與形密不可分的關(guān)系。在學(xué)習(xí)完例2后,教師引領(lǐng)學(xué)生思考:“數(shù)與形有怎樣的關(guān)系呢?”因?yàn)橛辛饲懊娴挠懻摻涣?,學(xué)生的回答十分精彩:“這兩個(gè)是相互依賴的關(guān)系”“相互牽連的關(guān)系”“密不可分的關(guān)系”“互相幫助的關(guān)系”。

    2.細(xì)化教學(xué)目標(biāo),促進(jìn)學(xué)生感悟

    事實(shí)表明,有效的教學(xué)必然需要將課時(shí)目標(biāo)細(xì)化,讓環(huán)節(jié)目標(biāo)層層落實(shí)、步步深入。本節(jié)課的目標(biāo)分為兩個(gè)層次:第一層次,體會(huì)形中有數(shù)、數(shù)中有形,數(shù)形相關(guān);第二層次,體會(huì)以形助數(shù)、以數(shù)解形,數(shù)形互助。本節(jié)課的目標(biāo)是立體的,聚焦“數(shù)形結(jié)合”思想之外,我們看到了“運(yùn)算能力”“空間觀念”“極限思想”“歸納推理”等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的滲透,看到了“事物是普遍聯(lián)系的”哲學(xué)思想的滲透。隨著環(huán)節(jié)的層層深入,學(xué)生的感悟也是層級(jí)遞進(jìn)的。

    3.精選學(xué)習(xí)素材,豐富學(xué)生體驗(yàn)

    為了讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合,除了教材例題外,教師增加了大量素材,既有以前學(xué)過(guò)的例子,又有新的問(wèn)題,如:“×”“2÷”“平行線之間的距離相等”“89°角”等。通過(guò)多素材、多層次的分析交流,學(xué)生對(duì)于“數(shù)與形有緊密聯(lián)系”的感受更為充分。不僅如此,不同的素材又指向于不同目的,有些是“以形助數(shù)”,有些是“以數(shù)助形”。最后練習(xí)環(huán)節(jié),學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決了初中才學(xué)習(xí)的“完全平方公式”與“勾股定理”。如此巧妙貼切的設(shè)計(jì),令人耳目一新。

    (責(zé)編 金 鈴)

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