數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下一線教師的應(yīng)對之策

徐宏

[摘 要] 當(dāng)前，核心素養(yǎng)是教育熱點. 在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)背景下，作為一線教師該如何應(yīng)對？結(jié)合初中幾何最值的教學(xué)，筆者認(rèn)為教師應(yīng)著眼學(xué)生可持續(xù)發(fā)展，應(yīng)有一定的課程統(tǒng)整意識，同時應(yīng)努力提升自己的專業(yè)素養(yǎng)，做一名研究型教師.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；一線教師；幾何最值

2014年3月，《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務(wù)的意見》頒布，提出核心素養(yǎng)這一概念：“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”. 2016年9月13日，《中國學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》發(fā)布，以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎(chǔ)、自主發(fā)展、社會參與3個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學(xué)精神、學(xué)會學(xué)習(xí)、健康生活、責(zé)任擔(dān)當(dāng)、實踐創(chuàng)新6大素養(yǎng)，具體細(xì)化為國家認(rèn)同等18個基本要點. 核心素養(yǎng)具體到學(xué)科核心素養(yǎng)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）出現(xiàn)了10個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》正在修訂中，專家組提出了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的6種成分：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析. 在這些背景之下，作為一線教師該如何應(yīng)對？筆者現(xiàn)結(jié)合初中幾何最值的教學(xué)談?wù)勛约旱恼J(rèn)識.

教師應(yīng)著眼于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展

“將軍飲馬”問題屬于最基本的幾何最值問題，有兩種最基本的形式，A，B兩點在直線的異側(cè)（如圖1）， 或者A，B兩點在直線的同側(cè)（如圖2），在直線l上求一點P，使PA+PB最小.

如圖1，連接AB，與直線的交點即為點P；如圖2，當(dāng)A，B兩點在直線的同側(cè)時，作點A關(guān)于直線l的對稱點A′，連接A′B，與直線的交點即為點P.

教學(xué)中如果著眼于應(yīng)試和學(xué)生成績，那么就可以告訴學(xué)生，這是模型，這是結(jié)論，遇到同類型問題就是這樣做，然后就是各種背景中的不斷練習(xí).

（1）如圖3，正方形ABCD中，AB=2，P是對角線AC上任意一點，若M是AB邊上的中點，則PM+PB的最小值是______.

（2）如圖4，菱形ABCD的邊長為2，E為AB中點，P為對角線AC上任意一點，則PE+PB的最小值是______.

（3）如圖5，等邊三角形ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，EM+CM的最小值為______.

（4）如圖6，圓O的半徑為2， MN是圓O的直徑，∠AMN=30°，點B是弧AN的中點，P是MN上一動點，則PA+PB的最小值為______.

學(xué)生在這樣不斷地練習(xí)中成績是可以出來的，但數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能出來嗎？基于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展，著眼于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，應(yīng)教給學(xué)生的不只是模型和結(jié)論，更多應(yīng)是數(shù)學(xué)的思想，數(shù)學(xué)的思考. 正如鄭毓信教授所言：數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo)則應(yīng)是幫助學(xué)生學(xué)會思維，并能逐步養(yǎng)成“理性精神”，教師應(yīng)關(guān)注自己的教學(xué)是否真正促進(jìn)了學(xué)生更為積極地去進(jìn)行思考，并能逐步學(xué)會想得更清晰、更全面、更深入、更合理.

在教學(xué)“將軍飲馬”問題時，對于圖1的情況，應(yīng)側(cè)重學(xué)生的直觀想象這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，然后注重邏輯推理這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 如圖1，取異于P點的另一點Q，構(gòu)成△ABQ. 理由是公理：“兩點之間，線段最短”，或者說“三角形兩邊之和大于第三邊”. 對于圖2的情況，要強調(diào)這一類幾何最值問題的解決之道：轉(zhuǎn)化思想. 利用“軸對稱”將此問題轉(zhuǎn)化為圖1的情況，問題就得到解決.

（2015年·河南卷）如圖7，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上的點A，C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F. 點D，E的坐標(biāo)分別為（0，6），（-4，0），連接PD，PE，DE.

（1）請直接寫出拋物線的解析式；

（2）小明探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進(jìn)而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值. 請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進(jìn)一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且“使△PDE的周長最小”的點P也是一個“好點”. 請直接寫出所有“好點”的個數(shù)，并求出△PDE的周長最小時“好點”的坐標(biāo).

第（3）問中幾何最值把“將軍飲馬”問題中的直線變成了拋物線，就無法做軸對稱轉(zhuǎn)化，只是熟記模型和結(jié)論的同學(xué)就會束手無策. 但掌握“道”（轉(zhuǎn)化思想）的同學(xué)就能根據(jù)第（2）問，PD可以向PF轉(zhuǎn)化，PE+PD=PE+PF+2，轉(zhuǎn)化為PE+PF的最小值，當(dāng)E，P，F(xiàn)三點共線時（如圖8）取得線段和的最小值.

史寧中教授等專家在即將發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）中這樣描述數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的. 著名的日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏說過：“作為知識的數(shù)學(xué)出校門不到兩年就忘了，唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思想、研究的方法和著眼點等，這些隨時隨地地發(fā)生作用，使人終身受益. ”所以作為一線教師不僅僅要關(guān)注學(xué)生現(xiàn)在的成績，更應(yīng)該著眼于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，著眼于數(shù)學(xué)思想，著眼于學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展，讓學(xué)生不論是現(xiàn)在還是將來都會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維來思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言來表達(dá)世界.

教師應(yīng)有課程統(tǒng)整的意識

“胡不歸”問題屬于古老的幾何最值問題，生活中可類比“最佳下水點”問題. 如第六屆“學(xué)用杯”全國數(shù)學(xué)知識應(yīng)用競賽第15題：（1）如圖9①，某邊防巡邏隊在一個海濱浴場岸邊（岸邊看成是直線AC）的A點處發(fā)現(xiàn)海中的B點有人求救，便立即派一名救生員前去營救. 救生員在岸上跑的速度為6米/秒，在水中游泳的速度為2米/秒. 若該名救生員最優(yōu)方案應(yīng)是先沿岸邊跑到點D處，再跳入海中游向點B，則最佳下水點D在什么位置時（或滿足什么條件）能最快到達(dá)點B進(jìn)行營救？（2）如圖10①，若某邊防巡邏隊是在離岸邊（直線AC）一定距離的E點處發(fā)現(xiàn)海中的B點有人求救，則該名救生員的最佳下水點D在什么位置時（或滿足什么條件）能最快到達(dá)點B進(jìn)行營救？

對于問題（2），可以利用物理學(xué)的知識給出解釋. 人從岸上點E跑到岸邊點D，再在水里游泳到點B，由于跑步速度和游泳速度不一樣，因此在岸上和水里的前進(jìn)路線不可能是一條直線，這就相當(dāng)于光線從一種介質(zhì)進(jìn)入另一種介質(zhì)，求光線的最短傳播路徑問題.

這種物理的解釋比數(shù)學(xué)的解釋更加貼切、直觀、準(zhǔn)確，有助于加深學(xué)生對于問題本質(zhì)的理解. 不同學(xué)科知識的聯(lián)系、結(jié)合也是當(dāng)前教育的流行趨勢，STEM教育正逐漸步入各國課堂，教師應(yīng)順應(yīng)教育趨勢，具備課程統(tǒng)整的意識. 上海市教育學(xué)會會長尹后慶在2016年“STEM+教育上海峰會”上做了“學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)與STEM+教育”為題的匯報，他指出，科學(xué)教育與國家的科學(xué)發(fā)展密切相關(guān)，目前青少年科學(xué)教育正面臨著——掌握科學(xué)技術(shù)知識，但不了解科學(xué)研究、技術(shù)倫理，解決這一問題需要科學(xué)教育從簡單的知識傳授到素養(yǎng)培育的轉(zhuǎn)型，開展以科學(xué)素養(yǎng)培育為導(dǎo)向的教學(xué). 以學(xué)科素養(yǎng)培育為導(dǎo)向的教學(xué)應(yīng)該創(chuàng)設(shè)兩種課程，一是學(xué)科課程，二是跨學(xué)科，也就是綜合性課程. 鐘啟泉教授也在《人民教育》撰文指出，統(tǒng)整課程是培養(yǎng)學(xué)生素養(yǎng)較為理想的模式.

作為一線教師要積極參與到國家課程改革中，不但要能熟悉理解教材，更要能創(chuàng)造性地統(tǒng)整各種教育教學(xué)資源，引領(lǐng)學(xué)生去享受探索知識的樂趣；不但要對所教的學(xué)科有較深的造詣，而且要能夠超越學(xué)科，具備課程統(tǒng)整能力；不但要善于“教”，還要善于從“學(xué)”的角度去構(gòu)建新型的教學(xué)模式.

教師應(yīng)努力提升專業(yè)素養(yǎng)

某天我區(qū)初中數(shù)學(xué)教師QQ群中有人拋出了這樣一個幾何最值問題：如圖11，平面直角坐標(biāo)系中，已知邊長為4的正三角形ABC，點A和B分別在x軸正半軸和第一象限角平分線上滑動，點C在第一象限，求OC的最大值.

問題的源頭是2009年山東省濰坊市中考題，自2009年此題出現(xiàn)后，圍繞它的研究很多，筆者首先根據(jù)近幾年閱讀各種期刊做的筆記，找到了關(guān)于此題的一些研究文章，共11篇文獻(xiàn). 筆者對這些文章進(jìn)行了一番整理，先進(jìn)行研究綜述，分為（1）變式拓展研究，（2）問題本質(zhì)研究，（3）解題方法研究. 然后對其中一篇文獻(xiàn)的解法進(jìn)行了深入剖析，指出其解法錯誤的原因，并且對于題目的改編提出了一些個人意見. 這是筆者對這道幾何最值問題的一番研究，據(jù)此寫成了《一道幾何最值問題的研題歷程及思考》一文，投稿給《上海中學(xué)數(shù)學(xué)》，不久就收到文章錄用通知.

要給學(xué)生講透一道題目，只有教師先理解這個題目，研究這個題目，研究題目的來龍去脈，研究題目的本質(zhì)、變式，研究題目的各種解法. 所以培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，作為教師應(yīng)先努力提升自己的專業(yè)素養(yǎng). 正如《人民教育》2017年第3—4期《基于核心素養(yǎng)的課程改革之關(guān)鍵問題》一文所言：“教師是落實核心素養(yǎng)、實現(xiàn)素質(zhì)教育的關(guān)鍵所在，要充分重視教師的轉(zhuǎn)化作用”.

PISA及TIMSS等國際項目引發(fā)了世界各國對本國學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)狀況的關(guān)注，這些項目的研究結(jié)果影響了一些國家的基礎(chǔ)教育改革. 在經(jīng)過一系列的研究后，人們發(fā)現(xiàn)：提高學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的關(guān)鍵在于教師的專業(yè)素養(yǎng). 國際教育成就評價協(xié)會在完成了三次以評價學(xué)生數(shù)學(xué)和科學(xué)學(xué)科素養(yǎng)為目的的TIMSS國際比較項目后，于2008年組織了TEDS—M項目，這個項目是以評價十五個國家和地區(qū)的22000個職前數(shù)學(xué)教師專業(yè)核心素養(yǎng)為目的的教師知識研究. 研究發(fā)現(xiàn)：在TEDS—M研究項目中的各國數(shù)學(xué)教師的教師知識排名順序和TIMSS 2007中各個國家的學(xué)生數(shù)學(xué)成績的排名順序基本一致. 近年來新興起的這些國際大型教師知識的研究項目不僅開始采用量表直接測量教師知識的水平，對教師知識的考查也從學(xué)科知識、學(xué)科教學(xué)知識擴展到一般教學(xué)知識、教師信念等更廣泛的教師專業(yè)核心素質(zhì)的考查.

作為一線數(shù)學(xué)教師，首要提升的專業(yè)素養(yǎng)就是解題、研題能力. 解題是數(shù)學(xué)一線教師活動的最基本形式，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的必經(jīng)之路，而研題則是教師的成才之道，是專業(yè)成長的催化劑. 波利亞指出：“解題的價值不在于答案本身，而在于弄清是怎樣想到這個解法的，是什么促使你這樣想、這樣做的.”著名數(shù)學(xué)家華羅庚也說過，學(xué)數(shù)學(xué)不解題，如入寶山而空返. 做好數(shù)學(xué)解題、研題，首先要有解題的好胃口. 教材例題、習(xí)題，各地中考題，各種競賽題等等，都要有所接觸. 如南通數(shù)學(xué)名師劉東升老師在暑期一個月就完成了全國各地本年度100多份中考數(shù)學(xué)試卷的解題. 其次是通過數(shù)學(xué)專業(yè)期刊（如《數(shù)學(xué)通報》《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》《中學(xué)數(shù)學(xué)》《中國數(shù)學(xué)教育》等）文章學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題、研題，通過看文章、記筆記、整理資料，在專業(yè)上會成長很多，同時對教學(xué)也很有益處. 還要適應(yīng)教育新技術(shù)，加入研討QQ群、微信群，關(guān)注一些名師的微信公眾號，參與同行們的討論，在交流中成長. 任何一種能力都是在實踐中發(fā)展起來的，數(shù)學(xué)教師的解題、研題能力也是如此. 一線教師只有通過不斷地解題、研題，逐步積累起經(jīng)驗，掌握一定的思想方法，才能提升教師專業(yè)素質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教師的專業(yè)成長.

其次提升的專業(yè)素養(yǎng)就是反思. 著名教育學(xué)家波斯納總結(jié)出教師成長公式，即“經(jīng)驗+反思=成長”. 學(xué)會反思也是發(fā)展PCK（學(xué)科教學(xué)知識）和MTK（面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識）的一條重要途徑. 一線教師只有不斷反思數(shù)學(xué)教學(xué)中遇到的疑難問題，勤于思考、勇于探索，才能成為一名優(yōu)秀的教師.

當(dāng)“核心素養(yǎng)”來敲門，一線教師應(yīng)不忘初心，即心中始終有學(xué)生這個“人”，不斷學(xué)習(xí)，努力提升專業(yè)素養(yǎng)，適應(yīng)教育改革、課程改革.