利用GeoGebra軟件輔助初中函數(shù)教學(xué)案例的研究

聶霞

[摘 要] 本文利用GeoGebra軟件引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一次函數(shù)的探究實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納、推理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，體會(huì)和學(xué)會(huì)探索問題的一般方法.

[關(guān)鍵詞] GeoGebra軟件；使用；函數(shù)；教學(xué)案例

引言

初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)的出現(xiàn)，大力加強(qiáng)了信息技術(shù)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)以學(xué)生動(dòng)手為主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，目的是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)技術(shù)去認(rèn)識(shí)問題和解決實(shí)際問題的能力. 一方面，這一整合有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解以及數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提高；另一方面，也增加了學(xué)習(xí)時(shí)間和學(xué)習(xí)難度. 所以，要用好新課標(biāo)，必須采取有別于傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式. 在新課標(biāo)的教學(xué)中，利用信息技術(shù)為數(shù)學(xué)思想方法注入更多、更廣泛的內(nèi)容，能使學(xué)生擺脫繁重的、乏味的數(shù)學(xué)演算和數(shù)值計(jì)算，能促進(jìn)數(shù)學(xué)同其他學(xué)科之間的結(jié)合，從而使學(xué)生有時(shí)間去做更多的創(chuàng)造性工作，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)某一數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探究，從而引入、猜想、歸納、驗(yàn)證，使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)建構(gòu)過程，逐步掌握認(rèn)識(shí)事物、發(fā)現(xiàn)真理的方式和方法，培養(yǎng)創(chuàng)造能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng). 在新課標(biāo)教學(xué)實(shí)踐中，筆者利用GeoGebra軟件采用驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)和設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué).

GeoGebra軟件使用簡(jiǎn)介

GeoGebra軟件是由美國(guó)佛羅里達(dá)州亞特蘭大大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Markus Hohenwarter設(shè)計(jì)的，它是集代數(shù)、幾何與微積分于一體的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)教育軟件. GeoGebra 能夠做到幾何圖形與代數(shù)方程的同步變化，展示數(shù)學(xué)對(duì)象動(dòng)態(tài)生成的全過程，是一款專門為中學(xué)數(shù)學(xué)教育設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，且入門容易，操作簡(jiǎn)單方便，有著強(qiáng)大的圖形和圖像功能. 打開GeoGebra軟件窗口，如圖1， 菜單上方為工具欄，有各種繪圖工具和輔助工具，左側(cè)有一個(gè)“代數(shù)區(qū)”，用來顯示所輸入的代數(shù)表達(dá)式，中間有一個(gè)“繪圖區(qū)”，可使用繪圖工具在繪圖區(qū)中利用鼠標(biāo)作圖，也可在命令欄中輸入命令，在繪圖區(qū)繪圖. 右側(cè)可顯示“電子表格區(qū)”，通過“查看”菜單可顯示出. 每個(gè)單元格都對(duì)應(yīng)相應(yīng)的名稱，不但可以輸入數(shù)值，還可以輸入數(shù)學(xué)對(duì)象，在電子表格中輸入的數(shù)學(xué)對(duì)象會(huì)在繪圖區(qū)中給出相對(duì)應(yīng)的圖像，并以單元格的位置名稱命名. 下側(cè)是命令列，可直接輸入代數(shù)式及相關(guān)函數(shù). GeoGebra軟件能夠同時(shí)處理代數(shù)與幾何功能，若利用工具欄在繪圖區(qū)畫出圖形，則代數(shù)區(qū)就會(huì)出現(xiàn)對(duì)應(yīng)的方程表達(dá)式. 反過來，若利用命令列輸入代數(shù)方程式，則繪圖區(qū)便出現(xiàn)對(duì)應(yīng)圖形，代數(shù)區(qū)也顯示出相應(yīng)的表達(dá)式. 若代數(shù)式參數(shù)發(fā)生改變，則繪圖區(qū)的圖形也會(huì)隨之改變，反之亦可. 它把幾何圖形和代數(shù)式的關(guān)系動(dòng)態(tài)地結(jié)合在一起. 對(duì)于GeoGebra軟件的詳細(xì)使用說明，可以點(diǎn)擊菜單中的 “幫助”，通過聯(lián)網(wǎng)查看相關(guān)的教程或者進(jìn)入GeoGebra論壇進(jìn)行學(xué)習(xí).

一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)探究

（一）驗(yàn)證型實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建

1. 研究問題

非洲大草原上一只矯健的野兔遇到了一只饑餓的豺，野兔的奔跑速度恒為每秒4.5米，豺的奔跑速度恒為每秒5米. 遇到時(shí)，二者僅相距5米，假定二者同時(shí)起跑.

（1）分別寫出二者距豺起跑點(diǎn)的距離y與出發(fā)的時(shí)間x的關(guān)系式；

（2）結(jié)合實(shí)際情況，饑餓的豺最多只能堅(jiān)持跑10秒，則誰(shuí)能獲勝？

2. 分析問題

顯然，根據(jù)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的定義及一般形式，我們可以很輕松地寫出二者距豺起跑點(diǎn)的距離y與出發(fā)的時(shí)間x的關(guān)系式：

y=5x（豺）和y=4.5x+5（野兔）

那么，結(jié)合實(shí)際情況，饑餓的豺最多只能堅(jiān)持跑10秒，誰(shuí)能獲勝呢？要想解決這個(gè)問題，我們不妨借助函數(shù)圖像來進(jìn)行研究.

3. 實(shí)驗(yàn)操作步驟與指導(dǎo)

Step1 在GeoGebra軟件的命令窗口中鍵入命令：

>> y=5x

>> y=4.5x+5

于是在代數(shù)區(qū)中便會(huì)顯示出——

直線 f ： y=5x

g ： y=4.5x+5

在繪圖區(qū)中便會(huì)顯示出二者的函數(shù)圖像，如圖2.

從圖中可以看出，二者均單調(diào)遞增，且從圖中可以明顯地看出二者的函數(shù)圖像隨著x的增大而不斷靠攏，最終在x=10（秒）處相交，即豺和野兔之間的距離隨著時(shí)間的推移不斷縮小，并在10秒鐘時(shí)豺?qū)⒁巴貌东@！

4. 實(shí)驗(yàn)結(jié)論的驗(yàn)證

由于豺要將野兔捕獲，則二者距豺原始起跑點(diǎn)的距離y（米）必相等，于是有5x=4.5x+5，即0.5x=5，所以x=10（秒），即豺在第10秒時(shí)將野兔捕獲.

通過以上實(shí)驗(yàn)操作，學(xué)生能觀察出二者的圖像特征，找到二者的變化規(guī)律并最終對(duì)問題進(jìn)行驗(yàn)證.

（二）設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建 1

1. 研究問題

正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖像特征和函數(shù)性質(zhì).

2. 實(shí)驗(yàn)要求與建議

要求：請(qǐng)同學(xué)們自主探索后彼此之間分小組討論研究，填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告表中的相關(guān)內(nèi)容.

建議：在同一圖形窗口界面中將定義域區(qū)間取為[-10，10]，參數(shù)k分為k>0 和k<0進(jìn)行研究. （實(shí)驗(yàn)時(shí)k的值由學(xué)生自己決定）

3. 實(shí)驗(yàn)報(bào)告表的設(shè)計(jì)樣例（如表1）

（三）設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建2

1. 研究問題

k，b對(duì)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0，x∈R）的圖像和性質(zhì)有何影響？

2. 實(shí)驗(yàn)要求與建議

要求：從無序?qū)嶒?yàn)到有序探索，請(qǐng)同學(xué)們彼此之間分小組討論研究，并填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告表中的相關(guān)內(nèi)容.

建議：將定義域區(qū)間取為[-10，10]，k，b兩個(gè)參數(shù)要一個(gè)一個(gè)研究，研究一個(gè)參數(shù)時(shí)，另一個(gè)參數(shù)保持不變.

3. 實(shí)驗(yàn)報(bào)告表的樣例參數(shù)圖像實(shí)驗(yàn)結(jié)論（如表2）

（四）設(shè)計(jì)型實(shí)驗(yàn)的構(gòu)建3

1. 研究問題

k，b對(duì)一次函數(shù)y=kx+b（x∈R）的圖像位置有何影響？

2. 實(shí)驗(yàn)要求與建議

要求：請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立研究，填寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告中的相關(guān)內(nèi)容.

建議：將定義域區(qū)間取為[-10，10]，根據(jù)k，b的符號(hào)變化，探究畫圖.

3. 實(shí)驗(yàn)報(bào)告表的樣例（如表3）

課外實(shí)驗(yàn)探究設(shè)計(jì)樣例

1. 研究問題

探究函數(shù)y=kx+b與y=kx+b的圖像特征和函數(shù)性質(zhì)

命令提示：在GeoGebra中用abs（x）表示函數(shù)x.

2. 實(shí)驗(yàn)報(bào)告表的設(shè)計(jì)樣例（如表4）

結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)新課標(biāo)教材的基本初等函數(shù)的教學(xué)過程中，利用GeoGebra軟件讓學(xué)生在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行自主探究實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生通過觀察、猜想、實(shí)驗(yàn)、歸納、推理、交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，體會(huì)和學(xué)會(huì)探索問題的一般方法，不僅可以使學(xué)生掌握并應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決問題，還可以培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)意識(shí)和大膽猜想、樂于探究的良好品質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)到成功的喜悅.