兩個(gè)投資者時(shí)間一致均值—方差投資組合博弈

李靜

[提要] 本文研究簡(jiǎn)單金融市場(chǎng)下兩個(gè)投資者的時(shí)間一致均值-方差投資組合博弈問(wèn)題。投資者投資于包含一種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的金融市場(chǎng)，風(fēng)險(xiǎn)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并且兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間是相關(guān)的。每個(gè)投資者選擇最優(yōu)投資組合策略，使得均值-方差最優(yōu)化。利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，給出相應(yīng)的檢驗(yàn)定理，分別得到兩個(gè)投資者的最優(yōu)投資策略和最優(yōu)值函數(shù)的顯式表達(dá)式。

關(guān)鍵詞：幾何布朗運(yùn)動(dòng)；均值-方差；推廣的HJB方程；投資組合；隨機(jī)微分博弈

中圖分類(lèi)號(hào)：F83 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

收錄日期：2017年6月16日

一、引言

策略選擇問(wèn)題是金融學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)之一。Markowitz最早提出利用數(shù)學(xué)方法解決此類(lèi)問(wèn)題，并給出求解框架。當(dāng)投資者的目標(biāo)收益給定時(shí)，利用方差描述其風(fēng)險(xiǎn)，形成均值-方差投資組合選擇問(wèn)題。由于Markowitz模型是靜態(tài)的一階模型，在現(xiàn)代金融理論中雖然占據(jù)重要地位，但仍具有局限性，因?yàn)樵趯?shí)際金融市場(chǎng)中，投資者的投資策略可能會(huì)隨著時(shí)間變化而發(fā)生變化，因此需要對(duì)連續(xù)時(shí)間模型下的最優(yōu)投資策略選擇問(wèn)題進(jìn)行研究。在連續(xù)時(shí)間問(wèn)題上，Merton做出了重要貢獻(xiàn)。Browne提出連續(xù)時(shí)間模型下兩個(gè)投資者之間的零和微分投資組合博弈問(wèn)題，他們有著不同但相關(guān)的投資機(jī)會(huì)。Chiu與Li和Xie等研究在連續(xù)時(shí)間情況下進(jìn)行資產(chǎn)-債務(wù)的均值-方差投資組合選擇問(wèn)題。Basak和Chabakauri對(duì)金融市場(chǎng)中只有一個(gè)股票和一個(gè)投資者的情形給出最優(yōu)值函數(shù)和最優(yōu)投資策略。本文研究金融市場(chǎng)中有兩個(gè)投資者和三種資產(chǎn)的時(shí)間一致均值-方差投資組合博弈問(wèn)題。

二、模型建立

考慮一個(gè)連續(xù)時(shí)間的簡(jiǎn)單金融市場(chǎng)由三種資產(chǎn)組成，一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)股票資產(chǎn)。市場(chǎng)中的兩個(gè)投資者，A和B，可以對(duì)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行自由投資。但是，對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，投資者A只能對(duì)第一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行投資，而投資者B只能對(duì)第二個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行投資。兩個(gè)投資者的投資期限為T(mén)=[0，T]，T∈（0，∞），并假設(shè)金融市場(chǎng)是無(wú)摩擦的，即交易中沒(méi)有交易費(fèi)用和交易稅，資產(chǎn)是無(wú)窮可分的。兩個(gè)投資者的目標(biāo)是尋找最優(yōu)投資策略使兩個(gè)人的總財(cái)富最大化，且在一定風(fēng)險(xiǎn)厭惡情況下減少財(cái)富波動(dòng)。假設(shè)一個(gè)完備的域流概率空間（？贅，F(xiàn)，P），P是真實(shí)概率，F(xiàn)：={F（t）；t∈[0，T]}滿(mǎn)足通常條件，即F右連續(xù)，P完備。用B表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，其動(dòng)態(tài)價(jià)格過(guò)程如下：

從（49）和（50），可看出，投資者A的最優(yōu)投資策略不僅依賴(lài)于他自己的風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)？酌1，而且依賴(lài)投資者B的風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)？酌2；投資者B的最優(yōu)投資策略同樣依賴(lài)于這兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)2。投資者A的值函數(shù)依賴(lài)B的風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)？酌2，投資者B的值函數(shù)也依賴(lài)A的風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)？酌1。

主要參考文獻(xiàn)：

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