一題多變，看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像
2017-09-01 12:05鄭榮坤
數(shù)學(xué)教學(xué)通訊·高中版 2017年8期
[摘 要] 對一道函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像題多變、錯(cuò)解、多解的研究，幫助學(xué)生識函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，理解數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應(yīng)用.
[關(guān)鍵詞] 函數(shù)圖像；圖像變換；圖像應(yīng)用
函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像是高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)》的高頻考點(diǎn)，多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)于歷年各地考卷中. 因此，高三數(shù)學(xué)教師要重視“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像”的教學(xué)，力爭讓學(xué)生熟悉掌握函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，圖像變換、應(yīng)用.
[?] 典例：看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像
典例：已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）A>0，ω>0，φ
<在一個(gè)周期內(nèi)的圖像如圖1所示，求y=f（x）的解析式.
圖1
考點(diǎn)分析：由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖像，確定函數(shù)解析式.
危險(xiǎn)解法：由圖像容易看出，振幅A=2，周期T=-
-=4π，ω==，由于ω>0，所以角速度ω=.
將
，0代入函數(shù)解析式，得×+φ=kπ（k∈Z），解得φ=kπ-（k∈Z）.
因?yàn)棣?lt;，所以k=1，φ=. 因此，f（x）=2sin
+.
危險(xiǎn)原因：上面解法看似很嚴(yán)密，危險(xiǎn)出在何處？如果把“φ<”改為“φ<π”，那么φ的值為多少？學(xué)生的答案：k=1，φ=或者k=0，φ=-. 實(shí)際上，把“φ<”改為“φ<π”答案不變，仍為φ=，而同學(xué)們使用上述解法就產(chǎn)生了增根，所以才說上述解法是“危險(xiǎn)解法”，給定的φ取值范圍變大，根的個(gè)數(shù)就增多.
解法1（代零點(diǎn)求φ）：因?yàn)?/p>
，0是函數(shù)的遞減零點(diǎn)，所以將
，0代入函數(shù)解析式，得×+φ=2kπ+π（k∈Z），解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因?yàn)椤唉?lt;π”，
所以k=1，φ=.
解法2（代波峰點(diǎn)求φ）：將
，2代入函數(shù)解析式，得×+φ=2kπ+（k∈Z），
解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因?yàn)棣?lt;，所以φ=.
解法3（五點(diǎn)法求φ）：將-
，0代函數(shù)解析式，由于點(diǎn)-
，0相當(dāng)于正弦函數(shù)“五點(diǎn)法”作圖中的第一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，所以×
-+φ=2kπ（k∈Z），解得φ=2kπ+（k∈Z）. 因?yàn)椤唉?lt;π”，所以k=0，φ=.
評注：振幅A：看函數(shù)圖像的波峰（或波谷）；角速度（角頻率）ω：看函數(shù)圖像周期；求初相φ既是難點(diǎn)也是易錯(cuò)點(diǎn)，求法兩種：“代點(diǎn)法”、“五點(diǎn)法”. “代點(diǎn)法”可以選擇代零點(diǎn)，也可以選擇代波峰或波谷點(diǎn)，并且代波峰點(diǎn)可以得到ωx+φ=2kπ+（k∈Z），代波谷點(diǎn)可以得到ωx+φ=2kπ+（k∈Z），不管代波峰點(diǎn)還是波谷點(diǎn)都比較容易. 但代零點(diǎn)，給定φ的大范圍，很容易產(chǎn)生“增根”. 如果要避免產(chǎn)生“增根”，那么務(wù)必先判斷此零點(diǎn)所在區(qū)間的單調(diào)性. 代單調(diào)遞減區(qū)間上的零點(diǎn)，可以得到ωx+φ=2kπ+π（k∈Z）；代單調(diào)遞增區(qū)間上的零點(diǎn)，可以得到ωx+φ=2kπ（k∈Z）. 顯然，“代零點(diǎn)”比“代波峰或波谷點(diǎn)”麻煩，因此，建議選擇代波峰或波谷點(diǎn)求φ，“五點(diǎn)法”也不錯(cuò).
[?] 變式：看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換
變式1：要得到函數(shù)y=2sin
+
的圖像，只需將函數(shù)y=2sin
-
圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向______單位長度. （ ）
A. 向左平移π
B. 向右平移π
C. 向左平移
D. 向右平移
考點(diǎn)分析：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖平移變換.
錯(cuò)誤解法：由函數(shù)解析式y(tǒng)=2sin
+
得y=2sin
+
=2sin
+-
，
所以函數(shù)y=2sin
-
圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移單位長度.
錯(cuò)誤原因：利用畫圖工具畫出函數(shù)圖像，從圖像就容易看出上面的變換是錯(cuò)誤的.
解法1（待定法）：設(shè)f（x）=2sin
-
，則f（x+α）=2sin
（x+α）
-，0≤α<2π. 由（x+α）-=+，解得α=π. 因?yàn)榘押瘮?shù)f（x）圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移π單位長度，就得到函數(shù)f（x+π）的圖像，故本題正確選項(xiàng)為A.
解法2（配湊法）：設(shè)f（x）=2sin
-
，由于2sin
+
=2sin
+-
=2sin
（x+π）
-=f（x+π）. 因?yàn)榘押瘮?shù)f（x）圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移π單位長度，就得到函數(shù)f（x+π）的圖像，故本題正確選項(xiàng)為A.
解法3（平移波峰點(diǎn)法）：因?yàn)樵c(diǎn)附近的波峰點(diǎn)平移情況，與函數(shù)整體圖像的平移情況一致.所以，對于函數(shù)y=2sin
-
，令-=，解得x=，波峰點(diǎn)A坐標(biāo)為
，2；對于函數(shù)y=2sin
+
，令+=，解得x=. 波峰點(diǎn)B坐標(biāo)為
，2. 觀察兩個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)附近的兩波峰點(diǎn)平移情況，由于從點(diǎn)A
，2平移到點(diǎn)B
，2：縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移π單位長度. 故本題正確選項(xiàng)為A.
解法4（排除法）：函數(shù)圖像的變換方向：y=2sin
-
?y=2sin（+
. 觀察兩個(gè)函數(shù)解析式，不難發(fā)現(xiàn)：-?+，向左平移（“負(fù)變正”即“小變大”），故排除選項(xiàng)B、D. 再觀觀察兩個(gè)函數(shù)解析式，不難發(fā)現(xiàn)：從-到，平移單位長度；而-與+中x系數(shù)都為，所以平移π單位長度，排除C. 故本題的正確選項(xiàng)為A.
思考1：（1）函數(shù)y=2sin
+
的圖像如何變換，使得函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱？
（2）函數(shù)y=2sin
+
的圖像如何變換，使得函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱？
評注：不管是“待定法”還是“配湊法”，實(shí)質(zhì)上都是研究f（x）與f（x±α）函數(shù)解析式的關(guān)系.設(shè)變換前函數(shù)為y=f（x），變換后函數(shù)為y=f（x±α）.使用“待定法”或“配湊法”，求函數(shù)f（x±α）中α的值.就y=f（x+α）而言，若α>0，則向左平移α單位長度；若α<0，則向右平移α單位長度，而秒殺“函數(shù)圖像左右平移變換”選擇題的方法有：“平移波峰點(diǎn)法”、“排除法”.不管采用哪種方法，“函數(shù)圖像左右平移變換”要特別注意函數(shù)解析式中x的系數(shù).采用“待定法”、“配湊法”、“平移波峰點(diǎn)法”都可以快速求解思考1，參考答案為：（1）縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移或向右平移單位長度；（2）縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左平移或向右平移單位長度.
變式2：已知函數(shù)f（x）=2sin
+
，則下列說法正確的是
（ ）
A. f（x）的周期為4π
B. f（x）圖像的對稱軸為x=2kπ+，k∈Z
C. f（x）圖像的對稱中心為2kπ
-，0，k∈Z
D. f（x）在區(qū)間
，上單調(diào)遞增
考點(diǎn)分析：函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖像翻折變換，求三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào).
解法：畫出函數(shù)y=2sin
+圖像，在x軸上方的不變，在x軸下方的部分（沿x軸）翻折到上方，就得到函數(shù)f（x）=2sin
+圖像. 觀察圖像容易得出：周期為2π，對稱軸為x=kπ+，k∈Z，沒有對稱中心，在區(qū)間
，上單調(diào)遞增.
故本題的正確答案為D.
思考2：已知函數(shù)f（x）=2sin
+
，則f（x）是否為周期函數(shù)，有沒有對稱軸、對稱中心，f（x）還在區(qū)間
，上單調(diào)遞增嗎？
評注：求解三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào)等： 利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數(shù)圖像”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解.學(xué)生除了熟悉掌握“f（x）=Asin（ωx+φ）”，還要掌握函數(shù)圖像的翻折和對稱變換. 函數(shù)f（x）圖像：翻折變換；函數(shù)f（x）圖像：對稱變換.三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào)等問題，常常利用“形如f（x）=Asin（ωx+φ）的函數(shù)圖像”進(jìn)行數(shù)形結(jié)合求解.上述選擇題就可以利用“排除法”求解，同學(xué)們自己試試. 利用對稱變換不難得到思考2的圖像，利用數(shù)形結(jié)合就可以求出思考2，參考答案為：f（x）不是周期函數(shù)，沒有對稱中心，對稱軸為y軸，在區(qū)間
，上單調(diào)遞增.
[?] 變式：看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像應(yīng)用
變式3：已知f（x）=，則f（x）的定義域?yàn)開_________.
考點(diǎn)分析：由解三角不等式，求函數(shù)定義域.
解法：由2sin
x+-1≥0，解得sin
x+≥.
則2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得4kπ-≤x≤4kπ+，k∈Z.
故f（x）的定義域?yàn)?kπ
-，4kπ
+，k∈Z.
評注：求解“形如f（x）=Asin（ωx+φ）”函數(shù)定義，常為求解三角不等式.只要學(xué)生借助函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，便可以快速解決.上述求解“sin
x+≥”，還可以利用正弦線.
變式4：sin
+cos
≥2a-1在區(qū)間[0，2π]上恒成立，則a的取值范圍為________.
考點(diǎn)分析：由解三角最值，求參數(shù)取值范圍.
解法：由于sin
+cos
=2sin
+
，令f（x）=2sin
+
，
sin
+cos
≥2a-1在區(qū)間[0，2π]上恒成立，只需f（x）min≥2a-1，x∈[0，2π].
由函數(shù)f（x）圖像，解得f（x）min=-（x∈[0，2π]），則-≥2a-1，解得a≤.
故a的取值范圍為-∞
，.
評注：三角不等式恒成立，求參數(shù)取值范圍的問題，常通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值的問題，只要熟悉掌握三角函數(shù)圖像畫法，問題就簡單了. 而上述題目中，也可以令θ=+，畫出y=2sinθ在區(qū)間[0，2π]上圖像，從而求解函數(shù)的最值.
變式5：設(shè)常數(shù)a使方程cos2-sin2-cos=a在區(qū)間[0，4π]上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，則x1+x2+x3=__________.
考點(diǎn)分析：運(yùn)用三角公式進(jìn)行化簡，求解三角函數(shù)的零點(diǎn).
解法：因?yàn)閏os2-sin2-cos=cos-cos
1008π++
=cos+sin=sin
+，所以sin
+=a，即2sin
+
=a.
求方程cos2-sin2-cos=a在區(qū)間[0，4π]上恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1，x2，x3，只需求函數(shù)y=2sin
+
圖像與直線y=a在區(qū)間[0，4π]上恰有三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)x1，x2，x3. 由圖像易知，=，x3=4π.
故x1+x2+x3=5π.
評注：初看題目很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，容易看出，利用三角公式（二倍角公式、誘導(dǎo)公式）化簡方程左邊為2sin
+
=a，由函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖像數(shù)形結(jié)合求解. 可見，求解三角函數(shù)的零點(diǎn)：利用函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）圖像.
變式6：已知ω>0，函數(shù)f（x）=2sin
ωx+
在區(qū)間
，π上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是（ ）
A.
， B.
，
C. 0
， D. （0，2]
考點(diǎn)分析：求解“形為f（x）=Asin（ωx+φ）的含參函數(shù)”的單調(diào)問題.
解法1（利用三角圖像變換求解）：將得到函數(shù)f（x）=2sinω
x+的圖像，只需把函數(shù)y=2sin
x+
圖像的縱坐標(biāo)不變、橫坐標(biāo)縮短為原來的（ω>0）. 而函數(shù)y=2sin
x+
在區(qū)間
2kπ+，2kπ+
（k∈Z）上單調(diào)遞減，則y=2sin
ωx+
.
在
2kπ
+
，2kπ
+ （k∈Z）上單調(diào)遞減. 因?yàn)閥=2sinω
x+在區(qū)間
，π上單調(diào)遞減，所以
，π為
2kπ
+ ，
2kπ+
（k∈Z）的子集，并且π-≤=（ω>0）?0<ω≤2，則
2kπ
+≤
，
2kπ
+≥π，
0<ω≤2，
解得
4k+≤ω≤
2k+（k∈Z），
0<ω≤2， 則k=0，≤ω≤. 因此，ω的取值范圍是
，.
解法2（利用三角單調(diào)性求解）：令2kπ+<ωx+<2kπ+，k∈Z，
則2kπ
+ +，k∈Z，因?yàn)楹瘮?shù)y=2sinωx +在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞減，所以 ≥ 2kπ +， π≤ 2kπ +，k∈Z，解得4k+≤ω≤4k+，k∈Z. 由于π-≤=（ω>0）?0<ω≤2，則k=0，≤ω≤. 故ω的取值范圍是 ，. 解法3（特殊值排除法）：分析各選項(xiàng)容易發(fā)現(xiàn)，只有D選項(xiàng)中2∈（0，2]. 取ω=2，此時(shí)f（x）=2sin 2x+，不難得到f（x）在區(qū)間 ，π上非單調(diào)遞減，故排除D選項(xiàng)；分析A、B、C各選項(xiàng)容易發(fā)現(xiàn)，只有A選項(xiàng)中1∈ ，，取ω=1，此時(shí)f（x）=2sin x+，不難得到f（x）在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞減，排除B、C選項(xiàng). 故本題的正確選項(xiàng)為A. 思考3：已知ω>0，函數(shù)f（x）=2sinω x+在區(qū)間 ，π上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是________. 評注：變式6是三角函數(shù)的綜合題目，大部分學(xué)生都不會(huì)做.實(shí)際上，求解方法有3種： 利用三角圖像的平移伸縮變換求解、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解、利用“特值排除法”求解.第一種方法是先求函數(shù)y=2sin x+ 單調(diào)區(qū)間，由函數(shù)圖像平移伸縮變換，求出函數(shù)f（x）=2sin ωx+ 單調(diào)區(qū)間，再根據(jù) ，π為其子集列求解；第二種方法是把ωx+看成θ，由y=sinθ的單調(diào)區(qū)間，求y=2sinω x+的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù) ，π為其子集列求解. 而兩種方法的過程中都出現(xiàn)兩個(gè)參數(shù)ω，k，確定k取值是難點(diǎn)，難點(diǎn)從由π-≤確定ω的取值范圍來突破.不管什么難度系數(shù)的選擇題，特殊值排除法都為非常好的方法. 學(xué)生們只要采用第一或第二種方法，就可以解決思考3，參考答案為：0<ω≤. 綜上所述，求解三角函數(shù)的周期、對稱、單調(diào)、定義域、最值、零點(diǎn)等，常利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像，故學(xué)生必須多看函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像. 一題多變猶如望遠(yuǎn)鏡，學(xué)生戴上它就能望過“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖像變換、應(yīng)用”的一片知識汪洋.
