淺談函數(shù)思想在解不等式中的應用

陳燕

摘 要：研究數(shù)學問題時經常要用到許多數(shù)學思想方法，函數(shù)思想被滲透到教學和解題的各個方面。函數(shù)思想其實就是在解題中構造常用函數(shù)，從而利用函數(shù)的性質解題。在解不等式的相關問題時利用函數(shù)可以找到解決問題的突破口，某些不等式沒有現(xiàn)成的解法時，需要構造合適的函數(shù)，通過觀察求出不等式的解。

關鍵詞：函數(shù)思想；不等式；圖象

一、函數(shù)思想在解一元一次不等式中的應用

例題1：解一元一次不等式2x-1>0

思路一：利用傳統(tǒng)方法，根據(jù)不等式的性質將系數(shù)化成1，

可得x>■。

如果利用函數(shù)的思想如何看待這個問題呢？

思路二：將2x-1看成關于x的一次函數(shù)y=2x-1。這樣上面的問題可以理解為，當自變量取什么值的時候，保證因變量的值大于0。借助一次函數(shù)的圖像，由圖形直接觀察得到原不等式的解集。如下圖所示：

由圖1可以發(fā)現(xiàn)：當自變量x>0.5時，函數(shù)圖像位于x軸的上方對應的y>0；

當自變量x<0.5時，函數(shù)圖像位于x軸的上方對應的y<0。

也就是說當x>0.5時，2x-1>0。則原不等式的解集為x>0.5

因此對于只含有一個未知數(shù)x的不等式都可以轉化成形如

f（x）>0或f（x）<0的不等式，左邊關于x的式子，可以看成以x為自變量的函數(shù)。

二、函數(shù)思想在解一元二次不等式中的應用

求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）時，將左式看成是一個關于x的函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），這個不等式相當于在問，當自變量取何值時有對應的y>0。做出二次函數(shù)的圖像進行觀察，位于x軸上方的圖像滿足y>0，圖形對應的自變量的取值范圍就是該不等式的解。

例題2：解不等式2x2+3x-2>0

分析：先畫出這個不等式對應的函數(shù)圖像如下：

由圖像觀察可知，當x>0.5或者x<-2時，函數(shù)圖像位于x軸的上方，對應的y>0也就是2x2+3x-2>0。

因此2x2+3x-2>0的解為：x>0.5或者x<-2。

這些是我們常見的不等式，下面看看其他不等式的求解過程。

三、函數(shù)思想在其他不等式中的應用

例題3：解不等式ex>x+1。

分析：將不等式化成標準形式ex-x-1>0，這個不等式不是常見不等式，沒有具體的解法，也沒有現(xiàn)成的公式可以套答案，現(xiàn)在用函數(shù)的思想解不等式。將左式設成一個新的函數(shù)f（x）=ex-x-1，畫出函數(shù)的圖像，觀察哪部分函數(shù)的圖像位于x軸的上方，對應哪一部分的自變量。按照這個思路對f（x）=ex-x-1先找出對應的圖像，但是這個函數(shù)不是我們接觸過的初等函數(shù)，畫圖難度較大，方法不可行。

如果不變形，還是利用函數(shù)的觀點如何理解這個不等式呢？

可以將不等式ex>x+1，左右兩邊看成兩個函數(shù)f（x）和g（x），這個不等式的解可以理解為當自變量滿足什么條件時，可以保證左邊的函數(shù)值大于右邊的函數(shù)值。

從圖3觀察中可得，當x>0，f（x）位于g（x）的上方，對應的

f（x）>g（x），即ex>x+1。

則不等式ex>x+1的解集為x>0。

因此，在求解與不等式有關的問題時，借助函數(shù)的思想數(shù)形結合，可以迅速得到問題的解。解不等式的關鍵是根據(jù)題目的環(huán)境進行合適的變形，構造出常見的函數(shù)模型，通過圖形求出不等式的解集。

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編輯 謝尾合