區(qū)間線性不等式系統(tǒng)的代數(shù)解

胡金燕，李 煒，湯立龍

(杭州電子科技大學(xué)運籌與控制研究所，浙江 杭州 310018)

區(qū)間線性不等式系統(tǒng)的代數(shù)解

胡金燕，李 煒，湯立龍

(杭州電子科技大學(xué)運籌與控制研究所，浙江 杭州 310018)

區(qū)間優(yōu)化中，各種解集及其特征是區(qū)間分析與區(qū)間優(yōu)化領(lǐng)域的一個重要的研究課題.通過對實矩陣與區(qū)間向量乘積的中點—半徑的刻畫，在已有結(jié)論的基礎(chǔ)上，給出了求解區(qū)間線性不等式組代數(shù)解的方法.最后，通過識別函數(shù)給出區(qū)間線性不等式組代數(shù)解的一個充要條件.

區(qū)間線性不等式組；代數(shù)解；識別函數(shù)

0 引 言

近年來，許多學(xué)者對區(qū)間線性系統(tǒng)的各種解集進(jìn)行了深入的研究[1-3].文獻(xiàn)[4-5]研究了區(qū)間線性方程組的代數(shù)解以及其特征，文獻(xiàn)[6-7]定義了區(qū)間線性方程組的識別函數(shù)，利用識別函數(shù)給出了區(qū)間線性方程組有區(qū)間解的充要條件及相關(guān)性質(zhì).然而，區(qū)間線性不等式組的代數(shù)解及其特征還沒有得到研究.根據(jù)文獻(xiàn)[8]，本文針對區(qū)間線性不等式組的代數(shù)解進(jìn)行了討論，給出了求解區(qū)間線性不等式組代數(shù)解的等價條件，從而得到判斷區(qū)間線性不等式組有無代數(shù)解的一個充要條件.

1 代數(shù)解

全體m×n維區(qū)間矩陣的集合記為IRm×n，n維區(qū)間向量的集合記為IRn.

Oliver B.等[5]提出了利用區(qū)間上下界來刻畫AxI的形式，但未給出證明.本文中，為了應(yīng)用方便，利用中點—半徑形式來刻畫AxI，進(jìn)而推出中點—半徑形式等價于文獻(xiàn)[5]中所刻畫的上下界形式.

證明 設(shè)A∈Rm×n，xI∈IRn，記

由于

而

證明 由區(qū)間向量中點和半徑的定義易知

由定義1以及引理1得：

定理1 設(shè)A∈Rm×n，xI∈IRn，bI∈IRm，從而AxI≤bI等價于

(1)

例 求AxI≤bI的代數(shù)解，其中

在信息技術(shù)支持下進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)問題導(dǎo)向式和諧課堂教學(xué)，其內(nèi)容的基本依據(jù)依然是現(xiàn)有教材。教材是教育部門根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)基本情況擬定的相對科學(xué)的和諧課堂教學(xué)書籍，教師在進(jìn)行和諧課堂教學(xué)活動前，應(yīng)先制定和諧課堂教學(xué)計劃，將教學(xué)的主要內(nèi)容篩選出來，并針對性地制作與信息技術(shù)、設(shè)備相匹配的和諧課堂教學(xué)課件、道具等。

解 由式(1)求得

故最后計算出代數(shù)解為

2 識別函數(shù)

Sergey P.S.[6]利用Oettli-Prager不等式推導(dǎo)出了刻畫區(qū)間線性方程組弱解特性的識別函數(shù)，下面給出區(qū)間線性不等式組代數(shù)解的識別函數(shù).

定義3 設(shè)區(qū)間向量xI∈IRn，矩陣A∈Rm×n，區(qū)間向量bI∈IRm.稱函數(shù)Uss∶IRn×Rm×n×IRm→R為區(qū)間線性不等式系統(tǒng)AxI≤bI代數(shù)解的識別函數(shù)

證明 首先證明必要性.設(shè)xI∈IRn，由于xI是AxI≤bI的代數(shù)解，因此可知xΔ≥0.由引理1可知

因此在xΔ≥0下，由定理1知AxI≤bI等價于

(2)

(3)

有

(4)

(5)

因此，

即

因此根據(jù)式(2)、式(3)和式(4)可證得

AxI≤bI

故由代數(shù)解的定義可知xI∈IRn是AxI≤bI的代數(shù)解.證畢.

有了識別函數(shù)和它的性質(zhì)，可以利用識別函數(shù)的性質(zhì)來檢驗區(qū)間線性系統(tǒng)的可解性，也可以利用識別函數(shù)的性質(zhì)來研究區(qū)間線性系統(tǒng)的相關(guān)性質(zhì).

3 結(jié)束語

本文討論了區(qū)間線性不等式組的代數(shù)解，給出了求解方法，定義了識別函數(shù)，并利用識別函數(shù)給出了如何判斷一個區(qū)間向量是區(qū)間線性不等式組代數(shù)解的一個充要條件.本文只研究了AxI≤bI的代數(shù)解，而更為一般的區(qū)間系統(tǒng)即AxI+ByI=bI，CxI+DyI≤dI，xI≥0I的代數(shù)解的特征是一個值得繼續(xù)深入研究的內(nèi)容.

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Algebraic Solutions to Interval Linear Inequality Systems

HU Jinyan, LI Wei, TANG Lilong

(InstituteofOperationsandControl,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Interval optimization’s solutions set and its characterizations are important research topic in the field of interval analysis and interval optimization. In this paper, by means of the description of the midpoint-radius characterization of real matrix and interval vector product, which methods for solving algebraic solution of interval linear inequalities is given on the basis of existing results. Finally, it gives a necessary and sufficient condition for the algebraic solution of interval linear inequalities by recognizing functional.

interval linear inequality; algebraic solution; recognizing functional

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.017

2016-08-04

國家自然科學(xué)基金資助項目(61673145，U1509217)；浙江省自然科學(xué)基金資助項目(LY14A010028)；浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新活動計劃(新苗計劃)資助項目(2016R407079)

胡金燕(1990-)，女，安徽淮南人，碩士研究生，數(shù)學(xué)規(guī)劃.通信作者：李煒教授，E-mail:weili@hdu.edu.cn.

O221

A

1001-9146(2017)04-0079-04