符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的擬移位及Smale馬蹄模型表示

李二林,陳芳躍,胥海云

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)的擬移位及Smale馬蹄模型表示

李二林,陳芳躍,胥海云

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院,浙江 杭州 310018)

給出了雙邊符號(hào)序列空間上的一種擬移位映射,通過構(gòu)造一個(gè)同胚映射,證明這種擬移位映射與傳統(tǒng)的移位映射拓?fù)涔曹?同時(shí),這個(gè)擬移位仍可由Smale馬蹄模型來(lái)表示.

雙邊符號(hào)空間；Smale馬蹄；擬移位映射；Cantor三分集；拓?fù)涔曹?/p>

0 引 言

1 符號(hào)序列空間的一個(gè)擬映射

σ(…x-2x-1·x0x1x2…)=(…x-2x-1x0·x1x2…)

(1)

其中xi∈{0,1},i∈Z.現(xiàn)定義一種新的擬移位映射：

(2)

(3)

即ζ(X)的第i個(gè)位置的取值為

(4)

其中,“×”為通常的乘法運(yùn)算.

在∑2上定義距離為

(5)

“東方彝風(fēng)”酒店并不是對(duì)純粹彝族民居的一種簡(jiǎn)單表現(xiàn)，跟之前所出現(xiàn)過對(duì)民居符號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單復(fù)制的設(shè)計(jì)理念具有較大的區(qū)別。項(xiàng)目設(shè)計(jì)人員在前期十分細(xì)致的研究了地方特色，對(duì)彝族傳統(tǒng)文化進(jìn)行了過濾，提取其中的精華，并與現(xiàn)代民居要素之間形成有機(jī)融合。從施工技術(shù)、材料以及構(gòu)造等方面進(jìn)行了全方位分析與研究，使彝族特色與東方元素之間充分結(jié)合。

設(shè)η∶∑2→∑2為映射：

(6)

進(jìn)一步有：

圖與σ拓?fù)涔曹椊粨Q圖

2 擬移位映射的Smale馬蹄表示

在歐式平面R2中取一個(gè)單位正方形M=I×I,定義一個(gè)從M到R2的在內(nèi)同胚映射f∶M→R2如下：先把M沿水平方向線性拉長(zhǎng)λ倍,再沿豎直方向壓縮λ倍,得到一個(gè)λ單位長(zhǎng)和1/λ單位寬的長(zhǎng)方形,然后把這個(gè)長(zhǎng)方形中間部分扭轉(zhuǎn)一下,再?gòu)澢神R蹄形狀放在M上,幾何馬蹄變換如圖2所示.

圖2 幾何馬蹄變換圖

顯然,映射f將M中的長(zhǎng)方形M1=ADGE和M2=FHCB分別映射到長(zhǎng)方形M1′=A′E′G′D′和M2′=C′H′F′B′,這個(gè)映射是局部線性的.當(dāng)λ=3時(shí),即有

(7)

(8)

或

(9)

若x∈C,則x的展開式(8)或式(9)中可以使xi(或x-i)≠1.

(10)

即(x,y)∈Λ對(duì)應(yīng)一個(gè)雙向無(wú)窮序列,(x,y)～(…x-2x-1·x0x1x2…)xi∈{0,2},i∈Z,這種對(duì)應(yīng)是一一的,稱這個(gè)對(duì)應(yīng)是Λ的點(diǎn)的符號(hào)表示.即h∶Λ→∑2,可以證明h是Λ到∑2的同胚映射.

由式(7)和式(10),對(duì)于(x,y)∈Λ,有

(11)

3 結(jié)束語(yǔ)

本文定義了一個(gè)擬移位映射,并且通過∑2上的一個(gè)同胚映射,嚴(yán)格證明了這個(gè)擬移位映射與傳統(tǒng)的移位映射是拓?fù)涔曹椀?有趣的是,這種擬移位可以由Smale馬蹄映射的局部線性表示,同時(shí)也可以用三進(jìn)制小數(shù)來(lái)刻畫.本文的思路及方法在部分符號(hào)空間的自映射及動(dòng)力系統(tǒng)的研究中都有一定的參考價(jià)值.這種擬移位映射能否刻畫其它復(fù)雜的映射,有待進(jìn)一步探討.

[1]PALIS J, MELO W D. Geometric theory of dynamical systems[M]. New York: Springer-Verlag, 1982:115-181.

[2]THOMPSON J M T, STEWART H B, TURNER R. Nonlinear Dynamics and Chaos[J]. International Journal of Bifurcation & Chaos, 1997,7(4):787-788.

[3]張筑生.微分動(dòng)力系統(tǒng)原理[M].北京:科學(xué)出版社,1987:152-180.

[4]周作領(lǐng).符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?1997:71-86.

[5]HIRSCH M W, SMALE S, DEVANEY R L. Discrete Dynamical Systems, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos[M]. Oxford:Elsevier,2013:329-359.

[6]ARROYO D, ALVAREZ G. Application of Gray codes to the study of the theory of symbolic dynamics of unimodal maps[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2014,19(7):2345-2353.

[7]BROER H W, TAKENS F. Preliminaries of dynamical systems theory[J]. Handbook of Dynamical Systems, 2010,3:1-42.

[8]樊慶菊.幾類系統(tǒng)的混沌性研究[D].武漢:華中科技大學(xué),2010.

[9]CHEN F Y, CHEN F J. Model shift and strange attractor on M?bius strip[J]. Applied Mathematics & Mechanics, 2003,24(7):845-852.

[10]YANG X S, TANG Y. Horseshoes in piecewise continuous maps[J]. Chaos Solitions & Fractals, 2004,19(4):841-845.

[11]麥結(jié)華.用5-進(jìn)制小數(shù)描述Smale馬蹄映射[J].科學(xué)通報(bào),1993,38(21):1932-1935.

Model Shift Mapping of Symbolic Dynamical System and Expression of Smale Horseshoe Model

LI Erlin, CHEN Fangyue, XU Haiyun

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

A kind of model shift map was given in bilateral symbol space. It is proved that the model shift map topological homomorphism the traditional shift map by constructing a homeomorphism map. Besides, the model shift map can be described by Smale horseshoe.

bilateral symbol space; Smale horseshoe; model shift map; Cantor set; topological conjugacy

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.016

2016-10-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171084)

李二林(1991-),男,河南平頂山人,碩士研究生,動(dòng)力系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).通信作者：陳芳躍教授,E-mail：fychen@hdu.edu.cn.

O189

A

1001-9146(2017)04-0075-04