一個微分不等式及在CH方程中的應用

肖 崢，魏 龍

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

一個微分不等式及在CH方程中的應用

肖 崢，魏 龍

(杭州電子科技大學理學院，浙江 杭州 310018)

研究一個一階微分不等式，探究滿足該不等式的函數(shù)所具有的性質(zhì)，并將其應用到Camassa-Holm方程的研究中，給出了Camassa-Holm方程解的爆破條件、解的爆破速率和爆破時間的估計.

微分不等式；Gronwall不等式；CH方程；爆破解

0 引 言

微分不等式在微分方程理論和應用領域中大量出現(xiàn)，是研究微分方程解的存在性、有界性、唯一性、穩(wěn)定性等性質(zhì)的重要工具.在最近的研究中，人們發(fā)現(xiàn)一個異于Gronwall不等式的一階二次微分不等式，該不等式在研究微分方程解的性質(zhì)，特別是研究解的爆破行為時起到十分重要的作用[1-3].本文將探究這個不等式，研究滿足不等式的函數(shù)所具有的性質(zhì)，并將這個結(jié)果運用到經(jīng)典的淺水波方程解的性質(zhì)研究中，給出Camassa-Holm(CH)方程解爆破的初始條件，然后得到解的爆破速率和爆破時間估計.在CH方程爆破解的研究中，本文方法不同于以往文獻中的方法，并且得到的解的爆破時間估計是一個新的結(jié)果.

1 一階微分不等式

一些微分不等式在微分方程的研究中占有極其重要的地位，如經(jīng)典的Gronwall不等式y(tǒng)′≤ay+b,常被用來估計微分方程的解的取值范圍[4].本文研究如下一階微分不等式

y′(t)≤-ay2(t)+b.

(1)

一方面，這個不等式在最近的一些研究中經(jīng)常出現(xiàn)；另一方面，它也可被看作是將Gronwall不等式的右端關于y的一次函數(shù)推廣到二次形式的微分不等式.Zhou Y.[1]在2007年最早研究了這個不等式，得到對應的函數(shù)在有限時間內(nèi)爆破并給出爆破時間估計.2016年，Chen R.等[2]提到了這個不等式，但沒給出證明.最近，文獻[3]研究了這類不等式，但省略了這個不等式的證明過程.文獻[3]中的結(jié)果推廣了文獻[1]中的結(jié)果，得到更為精確的爆破時間估計.本文探究了滿足這個不等式的函數(shù)所具有的性質(zhì)，給出了詳細的證明過程，并將其運用到CH方程解的性質(zhì)研究中，得到一些有趣的結(jié)果.下面給出關于微分不等式(1)的結(jié)果.

(2)

證明 引理的證明思想類似于文獻[3]中的引理12的證明.本文給出證明如下：

首先，假設：當t>0,則y′(t)<0成立.

如果上述結(jié)論不成立.由函數(shù)y(t)的連續(xù)性可知，存在t0∈(0,T),對所有的t∈(0,t0),使得y′(t)<0，且y′(t0)=0成立.因為y(t)在(0,t0)上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以有

(3)

但由式(1)結(jié)合式(3)可知,y′(t0)≤-ay2(t0)+b≤-ay2(0)+b<0.這與y′(t0)=0矛盾.故假設成立.

一方面，對t>0,y′(t)<0，結(jié)合式(1)可得

(4)

通過解式(4)，得到

(5)

由這個不等式，不難看出，存在t*>0,使得當t→t*時，y→-∞.

對上述不等式兩端同時在(0,t)積分，得

(6)

注意到t→t*時，y(t)→-∞.因此，由式(6)可知式(2)成立.證畢.

2 在CH方程中的應用

考慮經(jīng)典的淺水波方程——Camassa-Holm方程[5]

(7)

(8)

類似于文獻[8]，引入特征方程

(9)

對于CH方程(7)的爆破解，有如下結(jié)論.

定理 設u0∈HS(R),s>3/2,T為CH式(7)的解的最大存在時間.如果存在一點x0∈R，當初始值滿足

(10)

則方程對應于初始值u0的解u=u(t,x)在有限時間內(nèi)爆破.即存在T*>0,使得當t→T*時，ux(t,x)→-∞.且T*滿足估計

(11)

當t→T*時對應的爆破率為

(12)

注 本文式(10)與文獻[7]的結(jié)果是一致的(見文獻[7]中的定理4.2)，但本文的證明方法與文獻[7]中不同，且本文給出了相應解的爆破速率和爆破時間估計.

(13)

則由式(13)，得到

(14)

運用Young不等式，得到估計

注意到估計式[7]

則由式(14)推出

(15)

(16)

3 結(jié)束語

本文研究了滿足不等式y(tǒng)′(t)≤-ay2(t)+b的函數(shù)所具有的性質(zhì)，并將其運用到CH方程解的性質(zhì)研究中，給出了CH方程的解的爆破需要的初始條件、爆破解的爆破時間和爆破速率估計.分析結(jié)果表明，微分不等式y(tǒng)′(t)≤-ay2(t)+b具有很好的應用價值和應用前景，可以用來研究更多的微分方程解的性質(zhì).

[1]ZHOU Y. Blow-up of solutions to the DGH equation[J]. Journal of Functional Analysis, 2007,250(1):227-248.

[2]CHEN R M, GUO F, LIU Y, et al. Analysis on the blow-up of solutions to a class of integrable peakon equations[J]. Journal of Functional Analysis, 2016,270(6):2343-2374.

[3]WEI L, WANG Y, ZHANG H. Breaking waves and persistence property for a two-component Camassa-Holm system[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2017,445(1):1084-1096.

[4]GRONWALL T H. Note on the derivatives with respect to a parameter of the solutions of a system of differential equations[J]. Annals of Mathematics, 1919,20(2):292-296.

[5]CAMASSA R, HOLM D D. An integrable shallow water equation with peaked solitons[J]. Physical Review Letters, 1993,71(11):1661-1664.

[6]CONSTANTIN A, ESCHER J. Wave breaking for nonlinear nonlocal shallow water equations[J]. Acta Mathematica, 1998,181(2):229-243.

[7]CONSTANTIN A, ESCHER J. Well-posedness, global existence, and blowup phenomena for a periodic quasi-linear hyperbolic equation[J]. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1998,51(5):475-504.

[8]CONSTANTIN A. Existence of permanent and breaking waves for a shallow water equation: a geometric approach[J]. Annales-Institut Fourier, 2000,50(2)：321-362.

A First Order Differential Inequality and Its Application to CH Equation

XIAO Zheng, WEI Long

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

Differential inequalities are widely applied in the study of differential equations. In this paper, we study a new differential inequality and apply it to the classical Camassa-Holm(CH) equation. We obtain the existence of blow-up solution of the CH equation, and the estimates of blow-up time and blow-up rate are derived.

differential inequality; Gronwall inequality; CH equation; blow-up solution

10.13954/j.cnki.hdu.2017.04.022

2016-10-21

肖崢(1990-),女，江西吉安人，碩士研究生，微分方程.通信作者：魏龍副教授，E-mail:alongwei@163.com.

O175

A

1001-9146(2017)04-0099-04