高中生“數(shù)學化”能力的內(nèi)涵與培養(yǎng)建議

【摘 要】高中生“數(shù)學化”能力是指高中學段的學生能夠運用已經(jīng)掌握的數(shù)學思想、方法和知識去解決生活中碰到的較簡單的實際問題和邏輯地建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)的能力。具體地，可劃分為橫向數(shù)學化、縱向數(shù)學化能力兩個層次。主要培養(yǎng)建議有：創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，激發(fā)學生橫向數(shù)學化的熱情；注重數(shù)學閱讀能力培養(yǎng)，夯實學生橫向數(shù)學化的基礎(chǔ)；加強數(shù)學抽象思維的訓練，突破學生橫向數(shù)學化的難點；完善學生的CPFS結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識點的縱向數(shù)學化；引領(lǐng)學生繪制知識樹，實現(xiàn)章節(jié)知識體系的縱向數(shù)學化；倡導數(shù)學互動與交流，提升學生縱向數(shù)學化層次。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學化能力；橫向數(shù)學化；縱向數(shù)學化

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）43-0024-04

【作者簡介】卓斌，江蘇省宿遷市中小學教學研究室（江蘇宿遷，223800）教研員，正高級教師，江蘇省特級教師。

《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》把“發(fā)展學生的數(shù)學應用意識”作為其基本理念之一，并指出：“開展數(shù)學應用的教學活動符合社會需要，有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，有利于增強學生的應用意識，有利于擴展學生的視野”，因此“應力求使學生體驗數(shù)學在解決實際問題中的作用、數(shù)學與日常生活及其他學科的聯(lián)系，促進學生逐步形成和發(fā)展數(shù)學應用意識，提高實踐能力”[1]。無論是發(fā)展學生的“數(shù)學應用”意識，還是提升學生的“數(shù)學建?！彼仞B(yǎng)，其本質(zhì)都是培養(yǎng)學生把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力，即培養(yǎng)高中生的“數(shù)學化”能力。那么，高中生的“數(shù)學化”能力的內(nèi)涵有哪些？又該怎樣培養(yǎng)高中生的“數(shù)學化”能力呢？本文對這兩個問題進行初步探討，期待得到大家的批評指正。

一、對“數(shù)學化”能力的理解

1.“數(shù)學化”的思想溯源。

“數(shù)學化”思想是荷蘭數(shù)學教育家漢斯·弗賴登塔爾在他的巨著《作為教育任務的數(shù)學》一書中首次提出的。什么是“數(shù)學化”呢？弗賴登塔爾認為，人們在觀察，認識和改造客觀世界的過程中，運用數(shù)學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象并加以整理和組織的過程，就叫作數(shù)學化。簡單地說，數(shù)學地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學化。他指出：“毫無疑問，學生應當學習數(shù)學化；自然先在最低層次，對非數(shù)學事物進行數(shù)學化以保證數(shù)學的應用，接著還應進到下一層次，至少能對數(shù)學事物進行局部組織?！盵2]按照弗賴登塔爾教授的觀點，“數(shù)學化”應該包含兩個層次：（1）對非數(shù)學內(nèi)容進行數(shù)學化，以保證數(shù)學的應用性；（2）對數(shù)學內(nèi)容進行局部的組織。

特萊弗斯和哥弗里等人經(jīng)過進一步研究認為，可在“數(shù)學化”過程中區(qū)分出水平和垂直兩種成分。其中水平成分是將問題運用數(shù)學的方式來陳述，即由現(xiàn)實問題到數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化，是把情景問題表述為數(shù)學問題的過程。垂直的數(shù)學化是運用數(shù)學工具著手處理，即在數(shù)學范疇內(nèi)對已經(jīng)符號化的問題作進一步抽象化處理。這是對弗賴登塔爾的數(shù)學化兩個層次學說的新發(fā)展。

斯托利亞爾提出數(shù)學教學活動三階段模式[3]：（1）“經(jīng)驗材料的數(shù)學組織化”，即借助于觀察、試驗、歸納、類比、概括積累事實材料；（2）“數(shù)學材料的邏輯組織化”，由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系，并在這些概念和體系的基礎(chǔ)上演繹出理論；（3）“數(shù)學理論的應用”即應用理論。其中數(shù)學活動的第一和第三兩個階段的重要性并不低于第二階段。這與弗賴登塔爾的“數(shù)學化”思想不謀而合，有異曲同工之妙。

2.“數(shù)學化”的概念界定。

基于上述研究成果，我們認為高中生的“數(shù)學化”能力是指高中學段的學生能夠運用已經(jīng)掌握的數(shù)學思想、方法和知識去解決生活中碰到的較簡單的實際問題和邏輯地建構(gòu)自己的知識結(jié)構(gòu)的能力。高中生“數(shù)學化”能力包括兩個方面，一方面指橫向數(shù)學化能力，即高中學生具有數(shù)學地解決生活中碰到的較簡單的實際問題的能力；另一方面指縱向數(shù)學化能力，即能夠邏輯地組織所學習的數(shù)學知識，使之結(jié)構(gòu)化、自動化，逐步完善具有較強遷移力的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的能力。一般地，高中生的數(shù)學化能力可用下面框圖表示：

二、高中生“數(shù)學化”能力的培養(yǎng)建議

1.創(chuàng)設恰當?shù)膯栴}情境，激發(fā)學生橫向數(shù)學化的熱情。

心理學研究表明：“思維來自于疑問，意向產(chǎn)生于恰當?shù)膯栴}情境”。教師通過精心設計恰當?shù)膯栴}背景，充分利用學生已有的生活經(jīng)驗，喚醒學生強烈的問題意識，從而使其發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并積極地解決問題。

【案例1】參觀畫展時，為了保護壁畫，通常要在壁畫前方用垂直于地面的透明玻璃墻與觀眾隔開，應該站在何處欣賞壁畫效果最好呢？與參觀者的身高有關(guān)嗎？

如果以觀察壁畫的高度為自變量，以人的身高為參數(shù)，并賦予具體數(shù)據(jù)，可以提出如下數(shù)學問題：圖2是小明觀看壁畫的縱截面示意圖，已知壁畫高度AB是2m，壁畫底端與地面的距離BO是1m，玻璃墻與壁畫之間的距離OC是1m.若小明身高為am（0

在教學實踐中，我們主要通過生活問題、相關(guān)學科問題以及課題學習等途徑創(chuàng)設問題情境，讓學生體驗運用所學的數(shù)學知識解決身邊生活問題的樂趣，感受數(shù)學在解決實際問題中的魅力，從而產(chǎn)生“數(shù)學有用，數(shù)學能用”的數(shù)學應用意識，激發(fā)橫向數(shù)學化的持續(xù)熱情。

2.注重數(shù)學閱讀能力培養(yǎng)，夯實學生橫向數(shù)學化的基礎(chǔ)。

斯托利亞爾認為：“數(shù)學教學也就是數(shù)學語言的教學。”在高考中，數(shù)學應用題得分率不理想的一個重要原因就是題目的文字表述偏長，而學生的數(shù)學閱讀理解能力較差，不能準確地、完整地弄清題意，不能靈活地實現(xiàn)數(shù)學文字語言、符號語言、圖表語言之間的轉(zhuǎn)換，難以把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，這種現(xiàn)象說明培養(yǎng)數(shù)學閱讀能力是提高學生橫向數(shù)學化能力的重要基礎(chǔ)。

為此，我們可以采用以下措施來培養(yǎng)學生的數(shù)學閱讀能力。

（1）培養(yǎng)學生數(shù)學閱讀的良好習慣。首先，教師讓學生明白數(shù)學閱讀的重要性，讓學生感到通過閱讀能成功地學會一些東西，以此提高學生數(shù)學閱讀的自覺性。譬如，高中新教材中增加了很多閱讀材料，教師應合理有效地利用，既可以拓展學生的知識面，又能夠滲透數(shù)學文化。其次，指導學生在數(shù)學閱讀時，嘗試去欣賞和感受數(shù)學語言中蘊涵的簡單美、對稱美、和諧美，或者發(fā)現(xiàn)并提出自己的問題，或者嘗試解決所給出的問題，獲得一種閱讀成功的愉悅感。

（2）注重數(shù)學教科書的閱讀。數(shù)學教科書是數(shù)學教材編寫專家在充分考慮學生生理心理特征、教育教學原理、數(shù)學學科特點等諸多因素的基礎(chǔ)上精心編寫而成，具有極高的閱讀價值。但是，在數(shù)學教學中普遍存在忽視教科書的現(xiàn)象，教師往往在講授內(nèi)容之后才讓學生翻開課本，做練習，布置課后作業(yè)，僅把教科書當成習題集。其實，數(shù)學教學大綱中明確地提出，教師必須“指導學生認真閱讀課文”，這是培養(yǎng)學生數(shù)學語言表達能力的最重要抓手。

（3）注重多種數(shù)學語言互譯的訓練。數(shù)學語言包括文字語言、符號語言和圖表語言三種形式，靈活地實現(xiàn)三者之間的轉(zhuǎn)換，是數(shù)學閱讀有別于其他閱讀的最顯著特征。高中新教材尤其注重這三種數(shù)學語言之間的切換，例如立體幾何中的每一個公理、定理和性質(zhì)幾乎均以三種語言的形式出現(xiàn)。此外，還要重視培養(yǎng)學生“說題”的習慣。所謂“說題”，就是讓學生通過閱讀問題所呈現(xiàn)的數(shù)學材料，然后分別說出問題的已知條件有哪些？所求的結(jié)論是什么？涉及哪些數(shù)學知識？擬采用的數(shù)學方法和解題思路是什么？說題過程是學生統(tǒng)攬全題，找準問題的要素，剖析關(guān)鍵的詞句，探索解題思路，預測解題步驟的過程。同時，也是學生在閱讀的基礎(chǔ)上，形成個人見解的思維過程。我們的教學實踐表明，訓練學生說題，是一條培養(yǎng)學生數(shù)學語言轉(zhuǎn)譯能力的有效途徑。

3.加強數(shù)學抽象思維的訓練，突破學生橫向數(shù)學化的難點。

數(shù)學抽象是指從研究對象中找出事物的數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄事物的其他屬性的過程。數(shù)學概念大都是一系列實際問題的數(shù)學抽象物，數(shù)學原理也都是一系列實際結(jié)論抽象概括的結(jié)果。在教學過程中，我們應該嘗試挖掘蘊涵于數(shù)學材料中的抽象過程，增加學生數(shù)學抽象的實際體驗，幫助學生突破橫向數(shù)學化的難點。

【案例2】“哥尼斯堡七橋問題”。哥尼斯堡城位于普雷格爾河的兩岸，河中有兩個小島，共有七座橋連接小島和兩岸（如圖3），城中居民每到閑暇的日子就喜歡漫游全城，于是有人為了旅游節(jié)省時間，就提出如下方案：能否設計一條環(huán)游路線方案，從某地出發(fā)經(jīng)過每座橋一次且只經(jīng)過一次再返回到原地的路線？

著名的數(shù)學家歐拉用四個點表示河岸和小島，用七條線段表示七座橋，將其連接（如圖4），把問題的本質(zhì)表述為：是否存在從某點出發(fā)經(jīng)過每條線段一次且只經(jīng)過一次又回到原點的回路？

加強高中生抽象思維的培養(yǎng)，一是利用多種情境，充分展示數(shù)學抽象概括的思維過程；二是利用題組教學和變式教學，對學生進行數(shù)學抽象概括能力的強化訓練。

4.完善學生的CPFS結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識點的縱向數(shù)學化。

南京師范大學的喻平教授把由概念域、概念系、命題域、命題系形成的結(jié)構(gòu)，稱之為“CPFS”結(jié)構(gòu)，并指出：學生的CPFS結(jié)構(gòu)存在個別差異，優(yōu)良的CPFS結(jié)構(gòu)是完善的認知結(jié)構(gòu)的必要條件，能促進問題的成功解決。[4]我們認為，完善學生的CPFS結(jié)構(gòu)，是培養(yǎng)其局部數(shù)學知識縱向數(shù)學化能力的一條重要途徑。

【案例3】學完“等差數(shù)列”以后，我們提出問題：寫出一個數(shù)列{an}是等差數(shù)列的充要條件。

通過思考這一個開放性問題，得出以下結(jié)論：（1）an+1-an=d（d為常數(shù)）；（2）2an+1=an+an+2；（3）an=an+b（a，b為常數(shù)）；（4）Sn=an2+bn（a，b為常數(shù)）。從而促使等差數(shù)列概念的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)在學生頭腦中儲存下來，形成豐滿的概念域和命題域。

【案例4】學完“空間直線和平面”這一單元后，學生普遍感到其中的公理、定理、性質(zhì)特別多，很瑣碎，易混淆。于是，我們就引導學生對這一單元知識體系進行縱向數(shù)學化，通過繪制如圖5所示的結(jié)構(gòu)圖建構(gòu)線線、線面和面面之間轉(zhuǎn)化關(guān)系，促使學生形成認知結(jié)構(gòu)。

實踐表明，學優(yōu)生和學困生在數(shù)學知識的表征上具有很明顯的差異。學優(yōu)生頭腦中的知識是按層次排列的，有很清晰的條理性和邏輯性；學困生的則是水平方式排列的，知識顯得比較零散和孤立。因此，教師應幫助學生對所學知識進行縱向數(shù)學化，形成一個有層次、有條理的認知結(jié)構(gòu)。

5.引領(lǐng)學生繪制知識樹，實現(xiàn)章節(jié)知識體系的縱向數(shù)學化。

波利亞認為：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。”在章節(jié)復習時，我們通過引導學生繪制“知識樹”，培養(yǎng)其縱向數(shù)學化的能力。所謂“數(shù)學知識樹”是借用樹的主干、支干，葉子和果實等形象地表示章節(jié)知識結(jié)構(gòu)在學生大腦中生成的圖式。繪制數(shù)學知識樹的目的就是引導學生重新閱讀數(shù)學教材，重溫做過的數(shù)學例習題，能夠把書由厚讀到薄，幫助學生構(gòu)建完整的、有序的、容易被激活的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。

【案例5】以“數(shù)列”一章為例。本章知識樹大致有四個層次的知識序列：第一個層次是該章的三個知識主干，即一般數(shù)列，等差數(shù)列和等比數(shù)列；以等差數(shù)列這一主干（第二個層次）為例，又包含三個支干，即定義、通項公式和前項和公式；以等差數(shù)列前項和公式這一支干（第三個層次）為例，又包含三個公式，即Sn=■，Sn=na1+■d，Sn=an2+bn；第四個層次是指策略性知識，即第三個層次中滲透的數(shù)學思想方法，如倒序相加法，方程思想和函數(shù)思想。這樣，一棵枝繁葉茂的數(shù)列知識樹就牢牢地扎根于學生的腦海中。

6.倡導數(shù)學互動與交流，提升學生縱向數(shù)學化層次。

在課堂教學和課外輔導中，經(jīng)常遇到這樣的情形：學生對自己所掌握的數(shù)學知識不能準確地表達出來，對自己不懂的地方也提不出明確的問題。我們認為這種現(xiàn)象表明學生不習慣進行數(shù)學交流，也不善于數(shù)學交流，不能夠邏輯地組織所學習的數(shù)學知識，使之結(jié)構(gòu)化、序列化。

我們認為，提升學生縱向數(shù)學化層次就是要培養(yǎng)學生的數(shù)學交流能力，主要有以下一些具體做法。

（1）恰當?shù)亟M織課堂討論。課堂討論中，一般由教師給出一個中心議題或?qū)嶋H問題，學生在各自獨立思考的基礎(chǔ)上，以學習小組形式圍繞問題各抒己見、相互交流。實踐表明，課堂討論為師生之間、生生之間的多向交流創(chuàng)設了良好的氛圍，可以極大地激發(fā)每個學生的創(chuàng)造性和主動性，常常會收到課前意想不到的教學效果，是各種創(chuàng)新性解法和奇思妙想產(chǎn)生的沃土。我們曾對“點到直線距離公式”的推導開展課堂討論，師生集思廣益，共給出了八種不同的解法，極大地拓展了縱向數(shù)學化的層次。

（2）創(chuàng)造“寫數(shù)學”的機會。為了促進數(shù)學交流，我們創(chuàng)造了很多機會讓學生“寫數(shù)學”，即讓學生把他們學習數(shù)學的心得體會、反思要點或研究成果通過文字形式表達出來。譬如每一章節(jié)內(nèi)容學習完之后，要求學生列出本章的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，對所學習的數(shù)學知識進行縱向數(shù)學化；每一次數(shù)學作業(yè)或數(shù)學測驗中的典型的錯題，在講評之后，要求學生訂正整理到“錯題本”上，并反思、剖析出錯原因等。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（實驗）[S].北京：人民教育出版社，2012.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數(shù)學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1999.

[3]A.A.斯托利亞爾.數(shù)學教育學[M].丁爾陞，等，譯.北京：人民教育出版社，1985.

[4]喻平，單墫.數(shù)學學習心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[J].數(shù)學教育學報，2003（02）.