實驗為“徑”，思維為“的”

吳亮

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生形成數(shù)學(xué)技能、發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的一種思維活動過程。數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一個有效途徑。因此，在數(shù)學(xué)實驗教學(xué)中，筆者認為應(yīng)精心加工實驗內(nèi)容，提升學(xué)生思維的效度；滲透多種數(shù)學(xué)思維方式，提升思維的深度；給予學(xué)生充分的探索空間，提升思維的廣度；及時回顧與反思，提升思維的高度。

關(guān)鍵詞：實驗；思維；效度；深度；廣度；高度

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是學(xué)生形成數(shù)學(xué)技能、發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的一種思維活動過程。數(shù)學(xué)實驗，作為一種常見的數(shù)學(xué)活動形式，是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個有效途徑?！墩n程標準（2011年版）》中明確指出：“教師應(yīng)當努力開發(fā)制作簡便實用的教具與學(xué)具，有條件的學(xué)校可以建立數(shù)學(xué)實驗室供學(xué)生使用”。但在當下的課堂中，教師往往更關(guān)注實驗活動的外在形式，學(xué)生往往處于被動接受的狀態(tài)。由于認為實驗材料缺乏，用時較長等原因，有些教師只做演示實驗給學(xué)生觀看，人為地加速了學(xué)生對實驗教學(xué)內(nèi)容的認知過程，忽視了學(xué)生思維的培養(yǎng)。筆者認為，小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)不妨從以下幾個方面入手，促進學(xué)生思維發(fā)展。

一、精心加工實驗內(nèi)容，提升學(xué)生思維的效度

學(xué)生思維要有效參與到實驗過程中去，必須對實驗內(nèi)容進行精心的加工，實驗內(nèi)容的加工包括了對實驗材料的改進和對實驗過程的設(shè)計。

1. 實驗材料的改進

開展一個數(shù)學(xué)實驗，離不開實驗材料。同一個實驗可用的材料其實多種多樣，這就需要教師根據(jù)實驗內(nèi)容的特點，對實驗材料進行精心的篩選。在準備材料時還要注意為后續(xù)實驗的過程設(shè)計以及基于操作得出的結(jié)果進行比較歸納。

例如教學(xué)《三角形三邊之間的關(guān)系》這一課，在選擇材料時，筆者主要考慮了材質(zhì)，顏色，數(shù)據(jù)以及數(shù)量等。為此，筆者選擇了小時候玩過的游戲棒，它有多種顏色，便于學(xué)生區(qū)分。另外，它本身也粗細適中，不易彎曲折斷。其次還對一些小棒的數(shù)據(jù)進行了精心的設(shè)計。如在試教時筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于8厘米，5厘米，2厘米的三根小棒為什么圍不成三角形，大多認為是2厘米這根小棒太短了，認為是5厘米和2厘米兩根小棒長度的和小于8厘米這根小棒的人較少。這個現(xiàn)象引起了筆者的思考，通過課后詢問發(fā)現(xiàn)，學(xué)生們認為與5厘米這根小棒比起來，2厘米的就顯得太短了，“太不爭氣了”，所以圍不成三角形都是2厘米這根小棒的“錯”。為此，筆者就把這三根小棒的長度換成了2厘米，3厘米，8厘米。果然再試教的時候，學(xué)生們都認為是較短的兩根小棒長度的和小于第三根小棒，所以圍不成三角形。

2. 實驗過程的設(shè)計

實驗過程的設(shè)計必須遵循學(xué)生的認知規(guī)律，不應(yīng)把學(xué)生思維帶往復(fù)雜的，漫無目的的方向。因此設(shè)計實驗時所解決的問題難度不應(yīng)太大，讓學(xué)生在實驗過程中“跳一跳就能夠得到”，實驗的過程與步驟也應(yīng)設(shè)計得簡明清晰，便于學(xué)生理解和操作。

以《三角形三邊之間的關(guān)系》為例，整堂課一共設(shè)計了四次實驗：首先學(xué)生通過動手擺小棒發(fā)現(xiàn)并不是任意的三根小棒都能圍成三角形，接著探究三根小棒圍不成三角形的原因，進而繼續(xù)探究三根小棒滿足怎樣的關(guān)系才能圍成三角形，最后驗證三角形三邊之間的關(guān)系。另外，在每一個實驗環(huán)節(jié)中，都是先從一個例子出發(fā)，進行探究，最后驗證實驗的發(fā)現(xiàn)是否符合所有情況。下面是探究三根小棒圍不成三角形的教學(xué)片斷：

師：給你們?nèi)“?，你們也能圍成一個三角形嗎？

生：能！

師：好！每位同學(xué)手里的信封中都有三根小棒，請同學(xué)們在自己的小組里圍一圍，我們比一比誰的動手能力強。

師：都圍成了嗎？

生1：老師，我的圍不成三角形。

生2：我的也圍不成。

……

接著筆者讓圍不成的學(xué)生把三根小棒展示在黑板上。

師：這里的幾組小棒長度各不相同，但是它們都圍不成三角形，以這三根小棒為例（如圖1），請同學(xué)們仔細觀察，認真思考一下，為什么這樣的三根小棒圍不成三角形呢？

生：①號小棒的長度與②號小棒加起來都沒有③號小棒長。

師：是啊，那其他幾組小棒也圍不成三角形，是同樣的原因嗎？請同學(xué)們再來觀察一下這幾組小棒。

……

整個實驗設(shè)計遵循了從特殊到一般的認知過程。

二、注重滲透多種數(shù)學(xué)思維方式，提升學(xué)生思維的深度

學(xué)生在實驗過程中分析問題的思維方式，固然更多的是從直觀出發(fā)的合情推理，但教師在設(shè)計實驗過程的同時，也不應(yīng)忽視抽象演繹的滲透，應(yīng)盡可能地在實驗活動中培養(yǎng)學(xué)生各種數(shù)學(xué)思維方式，提升學(xué)生思維的深度。

以《三角形三邊之間的關(guān)系》為例，蘇教版教材在探究“三根小棒的長度滿足怎樣的關(guān)系才能圍成一個三角形”時是直接讓學(xué)生通過比較圍成的三角形任意兩根小棒長度的和與第三根小棒長度的關(guān)系發(fā)現(xiàn)只有當任意兩根小棒的和大于第三根小棒，才能圍成一個三角形。教材通過提供問題和線索為學(xué)生搭起了思考的支架，便于全體學(xué)生理解。學(xué)生在這個過程中經(jīng)歷較多的是觀察、操作以及結(jié)論的提煉，但是學(xué)生對于任意這個定語的出現(xiàn)感覺很突然，“扶”的痕跡過于明顯，導(dǎo)致學(xué)生對結(jié)論中“任意”二字的理解不夠深刻，缺少思維的理性化與深刻化。為此筆者結(jié)合學(xué)生的思維現(xiàn)實，對實驗進行了調(diào)整。

師：如果在圖1的基礎(chǔ)上只換一根小棒，同學(xué)們，你覺得怎么換就有可能圍成一個三角形了呢？

生1：將①號小棒換成長一點的，使①號小棒與②號小棒長度的和大于③號小棒。

生2：將②號小棒換成長一點的也可以。

生3：還可以將③號小棒換成短一點的。

師：就按照同學(xué)們的想法，我們先試著把①號小棒換成長一點的（如圖2）。

師：同學(xué)們仔細觀察，現(xiàn)在出現(xiàn)了什么新的情況？

生：兩根小棒長度的和等于第三根小棒了。

師：老師不打算讓同學(xué)們動手圍了，請你們閉上眼睛，想象一下，用這樣的三根小棒去圍，結(jié)果會怎樣？

生：圍不成三角形，因為現(xiàn)在①號小棒和②號小棒的兩頭剛好接在一起，如果向上打開的話，哪怕打開一點點，也會有空隙的。

……

師：①號小棒一直這么變長下去都可以嗎？

生1：不行，如果①號小棒換成12 cm的話，又會出現(xiàn)兩根小棒長度的和小于第三根小棒了。所以取整厘米數(shù)的話，①號小棒最長只能是10 cm，要滿足②號小棒與③號小棒的長度和大于①號小棒。

生2：我還有補充，②號小棒換長一點的話，取整厘米數(shù)，最長只能是9 cm，①號小棒與②號小棒的長度和必須大于③號小棒。

師：這里的①②③三根小棒要滿足怎樣的條件？

生：①+②>③，②+③>①，①+③>②。

師：也就是說任意兩根小棒長度的和大于第三根小棒，才能圍成一個三角形。

在整個教學(xué)過程中間還穿插了擺小棒等動手操作來輔助學(xué)生思考，學(xué)生的形象思維與抽象思維互相結(jié)合。這里通過換一根小棒這種“有限”的變化，打開了學(xué)生的思維，在學(xué)生思維放開之際，教師一句提示“①號小棒一直這么變長下去都可以嗎？”又讓學(xué)生的思維“收攏”回來。在這種“一放一收”的思考過程中，讓“任意”二字的得出顯得水到渠成。

另外，在判斷兩根小棒長度的和等于第三根小棒能否圍成三角形時，以往的教學(xué)中，都是讓兩根小棒慢慢合攏，通過直觀的擺小棒來解釋說明兩根小棒長度的和等于第三根小棒圍不成三角形。但常常在這個過程中糾結(jié)了很長的時間，也牽制了主要精力卻得不到好的效果。所以筆者設(shè)計了反其道而行的方法，讓兩根連接在一起的小棒往外打開并且放棄了直觀的動手操作，改讓學(xué)生通過想象來判斷。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，以往在動手擺小棒時糾結(jié)的問題，其實學(xué)生現(xiàn)有的抽象思維是完全足夠解決的。

學(xué)生親身經(jīng)歷這一系列的實驗過程，推理演繹能力不斷提高，思維也越發(fā)深刻。

三、充分給予學(xué)生探索的空間，提升學(xué)生思維的廣度

學(xué)生知識的建構(gòu)需要一個緩慢的、逐漸感悟的過程，數(shù)學(xué)實驗的節(jié)奏也應(yīng)該是漸進的，在實驗的過程中，每個學(xué)生的想法或者發(fā)現(xiàn)可能各不相同。因此，教師不能人為地加速統(tǒng)一學(xué)生的認知過程和結(jié)果，需要在組織學(xué)生進行數(shù)學(xué)實驗時，賦予學(xué)生充分的探索空間，讓每位學(xué)生都能大膽地表達自己的想法或發(fā)現(xiàn)。

如在換一根小棒來圍三角形的過程中出現(xiàn)了這樣一個片段：

師：把①號小棒換成9厘米時，能圍成三角形嗎（如圖3）？

學(xué)生的想法在這里出現(xiàn)了分歧，絕大部分同學(xué)認為可以圍成三角形，但是有少部分同學(xué)認為不能圍成三角形。在這里，筆者并沒有讓學(xué)生直接動手去圍，而是讓持有不同意見的兩部分學(xué)生組織一個小小辯論賽。

生1：我覺得①號小棒換成9 厘米的話，超過③號小棒了，所以圍不成三角形。

生2：①號小棒的長度超過③號小棒，雖然它變成了最長的，但是另外兩根較短小棒長度的和還是大于它的，所以能圍成三角形。

……

通過辯論，原先認為圍不成三角形的同學(xué)大多改變了自己的想法，還有極少部分的學(xué)生堅持原先的想法。

師：那到底能不能圍成三角形呢？我們可以……

生：動手實驗！

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象的，缺少了必要的抽象，學(xué)生的思維就不能得到更好的發(fā)展。教師給予學(xué)生充分的探索空間，學(xué)生們通過觀察，想象，辯論，在思維互相碰撞之際，最后再通過動手操作來解決自己的疑惑，這樣就拓寬了自己的思維。

另外，作為知識拓展，通過動態(tài)演示等手段，筆者設(shè)計了用初中圓的相離、相切、相交的知識來解釋為什么兩根小棒長度的和小于或等于第三根小棒時圍不成三角形（小棒轉(zhuǎn)動的軌跡分別為兩個相離和相切的圓），而任意兩根小棒長度的和大于第三根小棒就能圍成三角形（小棒轉(zhuǎn)動的軌跡為兩個相交的圓），如圖4。

這個推想方法并不要求人人知曉，但對于那些有強烈研究欲望的同學(xué)，可以拓寬他們的思維，體會數(shù)學(xué)知識之間那種奇妙的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)的廣博。

四、及時引導(dǎo)回顧與反思，提升學(xué)生思維的高度

反思是數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生回顧和再認數(shù)學(xué)方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、感悟數(shù)學(xué)思想的重要途徑。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)需要經(jīng)歷完整的探究過程，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論。對實驗活動進行回顧反思，其目的是：進一步清晰地認識所發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)結(jié)論，豐富個體的數(shù)學(xué)知識；再認數(shù)學(xué)實驗的探究過程，通過對實驗探究的方法、蘊含的數(shù)學(xué)思想等的回顧，積累開展數(shù)學(xué)活動的方法與經(jīng)驗；體驗數(shù)學(xué)實驗的實施能促進思維能力的提升，增強對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感。

回顧反思不一定都要在整節(jié)課的學(xué)習(xí)即將結(jié)束時進行，不只是總結(jié)性的回顧反思，還可以貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程。每一個實驗結(jié)束之后，都可以回顧反思：圍繞著這一個問題，我們進行了怎樣的實驗？通過這個實驗得到了什么？實驗中有沒有遇到困難，困難有沒有解決？這樣不僅是對上一個實驗的總結(jié)提煉，也為接下去的實驗打下基礎(chǔ)。

注重學(xué)生對實驗內(nèi)容和操作過程的回顧反思，長此以往，學(xué)生將以全新的思維高度來審視實驗內(nèi)容，進行實驗操作。

總之，數(shù)學(xué)實驗教學(xué)作為學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一條有益途徑，教師應(yīng)契合小學(xué)生的年齡特點和認知規(guī)律，精心設(shè)計數(shù)學(xué)實驗，給予學(xué)生充分探索的時間和空間，滲透多種思維方式，讓學(xué)生在實驗的過程中經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展。