淺談“設(shè)而不求”的解題思考

廣西壯族自治區(qū)賀州市昭平縣木格鄉(xiāng)盤石小學(xué) 鐘頂偉

“設(shè)而不求”是數(shù)學(xué)解題中的一種有效手段，在計(jì)算繁雜、或數(shù)量關(guān)系不明,而致使思路受阻時，采用“設(shè)而不求”的策略，能避免盲目推演而造成無益的循環(huán)運(yùn)算、時間資源的流失。采用“設(shè)而不求”這一策略，往往能化繁為簡，優(yōu)化過程，從而達(dá)到準(zhǔn)確、明快、簡捷的解題效果。以下列舉幾例，以供借鑒與參巧。

一、“設(shè)而不求”,結(jié)果自顯

在解題中，巧設(shè)一些末知數(shù)字母來參與題中的已知條件的推算。使運(yùn)算互相抵消，因而結(jié)果直現(xiàn)，使問題化難為簡。

例1：計(jì)算

分析與解答：此題若通分計(jì)算，實(shí)為無法辦到。若用字母代替，則十分簡單。

設(shè)

則原式＝（1+A）×B—（1+B）×A

＝B+AB—A－AB

＝B－A

＝

例2：甲、乙兩人進(jìn)行百米賽跑,當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)時,乙在甲后面 20 米處,如果兩人各自的速度不變,要使甲、乙兩人同時到達(dá)終點(diǎn),甲的起跑線應(yīng)比原起跑線后移多少米？

分析與解答：此題只告訴了路程總量,無論是先求速度還是求時間都很難辦到,如果用字母代替時間,解答易如反掌。

假設(shè)甲跑完100 米要用a 秒,則甲的速度為,乙的速度為。

現(xiàn)在要使使甲、乙兩人同時到達(dá)終點(diǎn),則乙要跑的路程為 100米,他所用的時間為 100也是甲跑的時間。所以甲要跑的路程為：＝125（米）。

故起跑線應(yīng)比原來起跑線后移125—100＝25（米）。

二、“設(shè)而不求”在分?jǐn)?shù)中有末知數(shù)的問題

例3：要使為可約分的分?jǐn)?shù)，則自然數(shù)n的最小值是多少？

分析與解答：此題若用列舉法很難辦到，不妨設(shè)分子、分母有公因數(shù)a，顯然應(yīng)有a＞1,K為自然數(shù)。并且設(shè)：分子n-13=aK1①

分母5n+6=aK2②

由①得n=aK1+13 ，將之代入②得：5（13+aK1）+6＝aK2

所以a(K2－5K1)＝71

由于71是質(zhì)數(shù)，且a＞1,所以a＝71。那么

n=aK1+13＝84。

例4：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,若Sm=m,Sn=n(m≠n)

求Sm+n

分析與解答：此題通過巧妙轉(zhuǎn)換、恒等變形，設(shè)置一些與問題有關(guān)的元素、即可迎刃而解。

由①－②得a1+(n+m-1)d=-1③

故Sm+n=(m+n)a1+d=(m+n)(a1+d)

將③代入Sm+n＝－（m+n）

三、“設(shè)而不求”，挖關(guān)系、尋依據(jù)

例4：一水箱,用甲、乙、丙三個水管往里注水,若只開甲、丙兩管,甲管注人18 噸水時,水箱已滿;若只開乙、丙兩管,乙管注人 27 噸水時,水箱才滿,又知乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍,則該水箱最多可容多少噸水？

分析與解:假設(shè)甲管每分注水量為a噸,丙每分注水量為b 噸,則乙每分注水量為 2a 噸。

乙、丙兩管同時注水時,乙管所用的時間可以表示,那么在這同一時間里丙管注水量為:

根據(jù)兩次注水量相等,列方程得:

b=2a

由此說明丙每分注水量和乙每分注水量相同。當(dāng)乙、丙兩管合注滿水池時,乙管注入了 27 噸水,同時也說明丙管注入了27 噸水,所以該水箱最多可容27+27=54( 噸 )水。

四、設(shè)而不求，列方程求解

這類問題通常要設(shè)多個末知數(shù)來列方程，但無需求出每個末知數(shù)的值。

例5：小明參加了六次測驗(yàn),第三、第四次的平均分比前兩次的平均分多2 分,比后兩次的平均分少 2分,如果后三次平均分比前三次平均分多3分,那么第四次比第三次多得多少分？

分析與解:設(shè)小明第三次測驗(yàn)成績?yōu)閍分,第四次測驗(yàn)成績?yōu)閎分,則有:

小明第一、第二次的平均分為一2,第五 、第六次的平均分為+2。

根據(jù)后三次平均分比前三次平均分多3 分,列方程,得:

即b－a＝1

所以第四次測驗(yàn)成績比第三次多得1分。

故“設(shè)而不求”，在數(shù)學(xué)解題中已廣泛應(yīng)用。特別應(yīng)用在繁雜的數(shù)學(xué)難題，通過全面分析、不斷變換觀察角度，類比方法、聯(lián)想內(nèi)容，明確最終目標(biāo)。經(jīng)過巧妙構(gòu)造，活用性質(zhì)，力求使問題解答完整嚴(yán)密，可直達(dá)目標(biāo)。