《橢圓的離心率》教學設計

山西省陽泉市第一中學 胡嘉玉

一、教材分析

本節(jié)是一輪復習第十章第一節(jié)橢圓的第二課時，已經把大部分知識復習完在教材上是對橢圓的進一步研究，是對橢圓的幾何性質的應用，并對之后研究雙曲線和拋物線的幾何性質，打下基礎。所以本節(jié)是本章教學的重點和難點，是高考重點考察的內容之一，應引起教師和學生的足夠重視。

二、學情分析

本節(jié)是在學習了橢圓的定義和標準方程、簡單的幾何性質之后學習的，學生已經對簡單的橢圓幾何性質有所了解，而本節(jié)是針對幾何性質中的離心率重點研究，既復習離心率，又要對前面知識進行綜合應用，而且又在1401班授課，屬于文科普通班，學生基礎知識掌握較差、運算能力較差，所以要做好引導和滲透數形結合的數學思想的工作。

三、教學目標

1、知識與技能：熟練掌握橢圓的離心率及其有關實際問題；

2、過程與方法:由易到難，建立信心，體會數形結合思想等數學思想，掌握求橢圓離心率的一般解法；

3、情感態(tài)度和價值觀：通過課堂活動參與，獲得成功的體驗，激發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生勇于探索，敢于創(chuàng)新的科學的精神。

四、教學重點、難點

重點：求橢圓的離心率；

難點：運用橢圓的幾何性質解決有關橢圓的離心率的取值范圍問題。

五、教學方法

多媒體、導學案。

六、學法

根據學生情況，應用 復習--練習--討論--歸納--提升 的學習方法。

七、教學過程

一、基礎鞏固

1、畫出橢圓（a＞b＞0并標明a,b,c的位置關系及其大小關系。

2、寫出橢圓的離心率及其范圍

且e∈(0,1)

3、橢圓離心率的作用？

反映了焦點遠離中心的程度，決定橢圓形狀，反映了橢圓的扁平程度。

先分析橢圓離心率e的取值范圍：∵a＞c＞0，∴ 0＜e＜1.

再結合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

（1）當e接近0時，c越接近0，從而b越接近a，因此橢圓接近圓；

（2）當e=0時，c=0，a=b兩焦點重合，橢圓的標準方程成為，圖形就是圓了。

4、已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，.若P為橢圓上一點，

則

二、重點突破

1.比較橢圓哪個更圓？

2.如圖所示，“嫦娥一號”探月衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓形軌道Ⅲ繞月飛行，若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和Ⅱ的長軸的長，給出下列式子：

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

【解析】思考不變的是什么，列出等式，再通過離心率的意義，做判斷。

答案：B

【設計意圖】這兩題都是考察橢圓離心率的意義應用，與實際結合更突顯離心率的重要性。

3.已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，焦距為4.若P為橢圓C上一點，且△PF1F2的周長為14，則橢圓C的離心率e為________.

【解析】因為焦距為4，所以c＝2.因為P為橢圓C上一點，且?÷PF1F2的周長為14，所以2a＋2c＝14，所以a＝5，所以橢圓C的離心率

評注：本題主要考查面面垂直的證明，利用線線垂直得到線面垂直，再得到面面垂直；第二問主要考查建立空間直角坐標系，利用空間向量求出二面角的平面角，考查數形結合，將幾何問題轉化為代數問題進行求解，考查學生的計算能力和空間想象能力，屬于中檔題。

【設計意圖】通過計算出a,b,c,求離心率，也是最簡單的一種算法。

4.橢圓的離心率為，則m=___________.

【解析】當2＞m時，

當2＜m時，

所以

【設計意圖】滲透分類討論思想，橢圓問題始終不要忘了討論焦點在哪個坐標軸上。

【小結】：求橢圓離心率的方法：

(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.

(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解.

（1）若PF1⊥PF2，且|PF1|＝2|PF2|，則此橢圓的離心率為________.

【解析】因為|PF1|＝2|PF2|，|PF1|＋|PF2|＝2a

所以|PF1|＝

因為PF1?íPF2，

（2）若存在一點P，若PF1⊥PF2，則此橢圓的離心率的取值范圍是________.

【解析】法一：令|PF1|＝x，|PF2|＝y(tǒng).由橢圓的定義可得x＋y＝2a，因為PF1?íPF2，所以x2＋y2＝4c2，因為(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)，當且僅當x＝y(tǒng)＝a時取等號，即4a2≤2(4c2)，所以a≤

法二：看成以為直徑的圓，利用結論橢圓上的點到橢圓中心的距離最小值為短半軸長。

法三：利用再結合橢圓性質求解。

法四：根據當P 與短軸端點重合時，∠F1PF2最大

（3）若存在一點P，使|PF1|＝2|PF2|，則此橢圓的離心率的取值范圍是________.

【解析】 法一：設P到兩個焦點的距離分別是2k，k，

根據橢圓定義可知3k＝2a，

又結合橢圓的性質可知，橢圓上的點到兩個焦點距離之差的最大值為2c，即k≤2c，

?à2a≤6c，即

又??0＜e＜1，

故橢圓的離心率的取值范圍為

法二：根據求解

（4）已知橢圓的長軸長不小于短軸長的4倍，則橢圓的離心率的取值范圍是__________.

【解析】 法一：條件a ≥4b怎樣轉化？

結合上例，平方得

法二：也可讓學生在題5的基礎上直接通過圖像猜想結論，使學生了解a，c參數變化后，的變化情況。

【設計意圖】通過改變條件，使橢圓性質的考察更全面，并學會運用數形結合的思想簡化運算。

三、小結

四、2個技巧、1種方法。

四、布置作業(yè)

完成導學案的課后小練。