遞推數(shù)列求通項方法總結(jié)

山西省翼城縣翼城中學 程立清 李曉青

新課程標準下對于數(shù)列部分考查難度降低，分析近幾年高考試題數(shù)列部分，發(fā)現(xiàn)考查遞推數(shù)列求通項比較頻繁，本文結(jié)合具體例題總結(jié)各類形式遞推數(shù)列通項的求法。

一、累加法、累乘法

求形如an-an-1=f(n)（f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列）或的數(shù)列求通項，可用累加法或累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1個式子累加或累乘求得通項。

例1.已知數(shù)列{an}中，a1=1，對任意自然數(shù)n都有，（n＞1）求.

解：由已知得，(n＞1)

以上式子累加，利用得

總結(jié)：累加法是反復利用遞推關(guān)系得到n—1個式子累加求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求{f(n)}的前n—1項的和，要注意求和的技巧.

例2.已知數(shù)列{an}中，，前n項和Sn與an的關(guān)系是，求通項公式an.

總結(jié)：累乘法是反復利用遞推關(guān)系得到n—1個式子累乘求出通項，這種方法最終轉(zhuǎn)化為求{f(n)}的前n—1項的積，要注意求積的技巧.

二、迭代法

求形如(其中q,d 為常數(shù)) 的數(shù)列通項，可反復利用遞推關(guān)系迭代求出。

例3.已知數(shù)列{an}滿足a1=1，且an+1 =3an+1，求an.

解：an=3 an-1+1=3(3 an-2+1)+1=32an-2+3×1+1=…=3n-1a1+3n-21+3n-3×1+…+3×1+1=

總結(jié)：因為運用迭代法解題時，一般數(shù)據(jù)繁多，迭代時要小心計算，應避免計算錯誤，導致走進死胡同.

三、公式法（作階差）

若已知數(shù)列的前n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列{an}的通項 可用公式求解。

例4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足.求數(shù)列{an}的通項公式；

總結(jié)：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并.

四、轉(zhuǎn)化法

想方設(shè)法將非常規(guī)問題化為我們熟悉的數(shù)列問題來求通項公式的方法即為化歸法.同時，這也是我們在解決任何數(shù)學問題所必須具備的一種思想。

例5.已知數(shù)列{an}滿足

總結(jié)：本題借助為等差數(shù)列得到了{an}的通項公式，是典型的化歸法.常用的化歸還有取對數(shù)化歸，待定系數(shù)化歸等，一般化歸為等比數(shù)列或等差數(shù)列的問題，是高考中的常見方法.或構(gòu)造法構(gòu)造新數(shù)列an+1+

五、構(gòu)造法

遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列求通項，可用構(gòu)造法轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解。

總結(jié)：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法=p(an+)來求得。

總結(jié)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除qn+1，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型.

例8.已知數(shù)列{an} 滿足求an.

得數(shù)列{an+1-an}是以a2-a1=1為首項，為公差的等比數(shù)列，.問題轉(zhuǎn)化為利用累加法求數(shù)列的通項的問題，解得

總結(jié)：遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可以設(shè)，其待定常數(shù)s、t由求出，從而化歸為上述已知題型.

六、“猜歸”法

直接求解或變形都比較困難時，先求出數(shù)列的前面幾項，猜測出通項，然后用數(shù)學歸納法證明的方法。也就是按照步驟“歸納”“猜想”“證明”進行.

例9.若數(shù)列{an}滿足：計算a2，a3，a4的值，由此歸納出an的公式，并證明你的結(jié)論.

解：∵a2=2 a1+3×2°

=2×1+3×2°，

a3=2（2×1+3×2°）+3×21

=22×1+2×3×21，

a4=2（22×1+2×3×21）+3×22

=23×1+3×3×22；

猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；

用數(shù)學歸納法證明：

1.當n=1時，a1=2－1×=1，結(jié)論正確；

2.假設(shè)n=k時，ak=2k－2（3k－1）正確，

∴當n=k+1時，

總結(jié)：利用“歸納—猜想—證明”法時要小心猜測，切莫猜錯，否則前功盡棄；用數(shù)學歸納法證明時要注意格式完整，一定要使用歸納假設(shè).

遞推數(shù)列求通項方法靈活，但是只要掌握了以上類型及其解法，相信一定能處理好高考試題中有關(guān)數(shù)列部分題目。