一種Stewart隔振平臺的動力學建模及實驗研究

謝溪凌， 王超新， 陳燕毫， 張志誼

(1. 上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所， 上海 200240；2. 上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

一種Stewart隔振平臺的動力學建模及實驗研究

謝溪凌1,2， 王超新1,2， 陳燕毫1,2， 張志誼1,2

(1. 上海交通大學 振動、沖擊、噪聲研究所， 上海 200240；2. 上海交通大學 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室， 上海 200240)

提出一種采用石墨自潤滑球鉸連接的立方體構(gòu)型Stewart隔振平臺，6個支腿通過可轉(zhuǎn)動的球鉸與基礎(chǔ)及載荷平臺相連，每個支腿由音圈作動器與力傳感器構(gòu)成。在假設(shè)各支腿、基礎(chǔ)及載荷平臺均為彈性體的基礎(chǔ)上，采用子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合法對Stewart隔振平臺進行動力學建模，并通過FEM方法進行驗證，給出內(nèi)嵌反饋控制的隔振平臺模型，對反饋控制效果進行仿真驗證；在仿真分析的基礎(chǔ)上，對隔振平臺的被動隔振性能和內(nèi)嵌反饋控制的主動隔振性能進行實驗。結(jié)果表明，被動隔振在30～200 Hz頻段內(nèi)具有約-36 dB/dec的衰減率，主動隔振在3～100 Hz頻段內(nèi)可獲得最大20 dB的幅值衰減，<200 Hz，支腿力RMS值控制后下降75%～80%。

Stewart平臺；主動隔振；頻響函數(shù)綜合；子結(jié)構(gòu)；球鉸；音圈作動器

近年來，測繪、通信等技術(shù)的發(fā)展對星載設(shè)備的觀測分辨率、指向精度以及穩(wěn)定性等提出更高要求，衛(wèi)星姿態(tài)振蕩、星上回轉(zhuǎn)部件引起的衛(wèi)星平臺微振動逐漸成為影響高敏感有效載荷性能的瓶頸[1-3]。因此，抑制微振動，減小其對有效載荷的影響至關(guān)重要。

六自由度Stewart平臺因具有精度高、剛度大、負荷自重比高、運動平穩(wěn)等特性，被國內(nèi)外眾多學者采納，并用于主、被動隔振平臺，隔離振源與星體結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)抑制微振動的目的[4]。在六自由度平臺中，立方體構(gòu)型Stewart平臺的雅可比矩陣具有正交解耦性，從而能夠簡化位姿運動學關(guān)系、易于控制和保持各個支腿的一致性[5]。

在Stewart平臺中，各支腿與載荷平臺、基礎(chǔ)平臺之間的連接鉸鏈至關(guān)重要，直接影響著整個平臺的精度、可靠性以及可重復(fù)性。鉸鏈的設(shè)計指標包括承載能力、線性度、持久性、可容納角度以及剛度等[6]。目前，連接鉸鏈主要有虎克鉸、彈性鉸與球鉸，虎克鉸的萬向節(jié)與軸孔之間摩擦不可避免，易導(dǎo)致非線性；彈性鉸質(zhì)量輕，但變形較小，允許位移受到限制；而球鉸可實現(xiàn)較大范圍轉(zhuǎn)動，承載能力強，但其缺點是材料與潤滑方式較難選擇，而且質(zhì)量較大。因此，合適的連接鉸鏈是關(guān)系到整個平臺性能的重要環(huán)節(jié)。

另一方面，Stewart平臺因并聯(lián)機構(gòu)的復(fù)雜性，其動力學模型通常是一個多自由度、多變量、高度非線性、多參數(shù)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)[7]，尋找準確高效的動力學建模方法一直是研究Stewart平臺的熱點問題之一。Dasgupta等[8-9]采用Newton-Euler法建立了6-UPS和6-SPS型Stewart平臺閉環(huán)動力學模型，該方法直觀，但需要計算所有關(guān)節(jié)的約束力及力矩，故對一些不必要的關(guān)節(jié)進行計算就顯得多余，同時該方法無法考慮各個構(gòu)件的柔性。Lee等[10]采用Lagrange方法對柔性Stewart平臺進行動力學建模，該方法系統(tǒng)性較強，但僅考慮了支腿的柔性作用，基礎(chǔ)與載荷平臺仍作剛性考慮。郭洪波[11]綜合運用Newton-Euler法和Lagrange方法建立起考慮各作動器慣量影響的六自由度平臺完整動力學模型，融合了這兩種方法的優(yōu)點，建立的動力學模型適應(yīng)相關(guān)控制器的設(shè)計和分析。Wang等[12]分別采用虛功原理研究Stewart平臺的動力學問題。Liu等[13]采用Kane方法建立了并聯(lián)機器人的動力學模型。值得注意的是，以上研究在考慮Stewart平臺動力學模型時未完全考慮到各個支腿、基礎(chǔ)和載荷平臺的柔性，而實際中各構(gòu)件均為彈性體，振動特性復(fù)雜，用上述方法無法準確描述整個平臺的振動與傳遞特性，進而無法準確指導(dǎo)隔振平臺的設(shè)計以及之后的控制器設(shè)計與分析。

本文提出一種基于石墨自潤滑球鉸連接的立方體構(gòu)型Stewart隔振平臺，其支腿均以球鉸結(jié)構(gòu)與基礎(chǔ)及載荷平臺相連接，單個支腿由音圈作動器與力傳感器構(gòu)成。在考慮各個支腿、基礎(chǔ)及載荷平臺均為彈性體的基礎(chǔ)上，采用子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合法對Stewart隔振平臺進行動力學建模，并通過FEM(Finite Element Method)方法進行驗證。該建模方法可考慮各構(gòu)件的柔性，能有效描述整個隔振平臺動力學輸入輸出特性及其振動特性。推導(dǎo)了基于內(nèi)嵌反饋控制的隔振平臺模型，對反饋效果進行仿真驗證。最后，通過實驗?zāi)Ｐ蛯Ω粽衿脚_的被動、主動隔振性能進行實驗驗證。

1 Stewart隔振平臺方案與結(jié)構(gòu)設(shè)計

考慮到立方體構(gòu)型的Stewart隔振平臺具有雅可比矩陣正交解耦性，提出一種立方體構(gòu)型的Stewart隔振平臺。該隔振平臺主要由基礎(chǔ)平臺、球鉸結(jié)構(gòu)、力傳感器、音圈作動器以及載荷平臺構(gòu)成,如圖1所示。

圖1 Stewart隔振平臺模型Fig.1 Stewart isolation platform model

隔振平臺每個支腿由力傳感器和音圈作動器構(gòu)成，各支腿與基礎(chǔ)平臺、載荷平臺均通過自潤滑球鉸連接。球鉸采用石墨自潤滑技術(shù)，在球頭部位均勻鑲嵌石墨塊，使球鉸具有自潤滑功能。與油潤滑相比，石墨潤滑具有不揮發(fā)、在強輻射條件下具有熱化學穩(wěn)定性以及在極端溫度下保持良好潤滑性能和低摩擦力等性能。此外，平臺支腿兩端的球鉸結(jié)構(gòu)完全相同，可簡化隔振平臺設(shè)計，保證各支腿性能的一致性。

2 Stewart隔振平臺動力學建模及有限元驗證

2.1 隔振平臺動力學建模

在假設(shè)各支腿、載荷及基礎(chǔ)平臺均為彈性體的基礎(chǔ)上，采用基于頻響函數(shù)的彈性子結(jié)構(gòu)綜合法[14]對Stewart隔振平臺進行動力學建模。首先將整個系統(tǒng)劃分為載荷平臺、并聯(lián)隔振裝置和基礎(chǔ)平臺三個彈性子結(jié)構(gòu)，然后對子結(jié)構(gòu)分別進行分析，得到子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)，最后利用子結(jié)構(gòu)在連接界面處的力平衡條件和位移協(xié)調(diào)關(guān)系對三個子結(jié)構(gòu)的頻響函數(shù)進行綜合，得到整個隔振平臺的頻響函數(shù)或輸入輸出特性。隔振平臺子結(jié)構(gòu)的劃分示意圖,如圖2所示。

圖2 隔振平臺及其子結(jié)構(gòu)Fig.2 Isolation platform and its substructure

對載荷平臺(上標為P)和基礎(chǔ)平臺(上標為B)子結(jié)構(gòu)分別進行建模，得出其頻響函數(shù)分別可表示為：

(1)

式中：H為頻響函數(shù)矩陣；x和f則為位移向量和節(jié)點受力向量；下標i為內(nèi)點(一般為外激勵點或感興趣的響應(yīng)點)；下標c為連接點。

根據(jù)式(1)可得整個系統(tǒng)綜合前的頻響函數(shù)矩陣：

(2)

現(xiàn)采用阻抗矩陣對載荷平臺以及基礎(chǔ)平臺之間的彈性子結(jié)構(gòu)(即并聯(lián)隔振裝置)進行描述，將各個支腿簡化為由剛性桿、質(zhì)量、彈簧、阻尼組成的結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 單個支腿的簡化模型Fig.3 Simplified model of a single strut

集中質(zhì)量的四端參數(shù)表達式為[15]：

(3)

(4)

式中：下標m1和m2分別為集中質(zhì)量的相關(guān)力和位移；c1和c2分別為集中質(zhì)量分配系數(shù)，即隔振裝置單機中連接桿和質(zhì)量塊的質(zhì)量在彈簧阻尼系統(tǒng)兩端的分配比例。

由于集中質(zhì)量與彈簧阻尼系統(tǒng)在軸向相連接，因此考慮隔振裝置單機質(zhì)量的四端參數(shù)模型可表示為：

(5)

式中：cV和kV分別為等效阻尼與等效剛度。由此阻抗矩陣可表示為：

(6)

綜合前后，載荷平臺和基礎(chǔ)平臺子結(jié)構(gòu)在連接點處應(yīng)該滿足位移協(xié)調(diào)條件和受力平衡條件，由此可得：

(7)

將式(7)聯(lián)立，可以得到綜合前后力向量與位移向量之間的相互關(guān)系：

(8)

(9)

對于內(nèi)點而言，其受力與位移在綜合前后必保持一致，因此有：

(10)

綜上，可得整體隔振平臺的頻響函數(shù)矩陣：

(11)

通過動力學建模推導(dǎo)出的整體隔振平臺的頻響函數(shù)，即可得出從激勵點到響應(yīng)點之間的輸入輸出特性。

2.2 建模方法有限元驗證

在獲得Stewart隔振平臺整體頻響函數(shù)后，建立Stewart隔振平臺的有限元模型。模型中的基礎(chǔ)平臺與載荷平臺均采用SHELL181單元，球鉸結(jié)構(gòu)采用MASS21單元，六個支腿采用MASS21和COMBIN14單元。六個支腿與基礎(chǔ)平臺及載荷平臺的三個鉸連接點采用球鉸副模擬，具體操作方法為約束其平動自由度但釋放其轉(zhuǎn)動自由度。載荷平臺質(zhì)量為4.45 kg，基礎(chǔ)平臺質(zhì)量為6.32 kg，各支腿等效剛度為3×104N/m。所建模型共劃分3 009個單元，共1 103個節(jié)點。邊界條件為：對基礎(chǔ)平臺底部三個均勻分布的點施加完全約束，載荷平臺采用自由邊界。通過FEM方法計算頻響函數(shù)，計算頻率范圍0～500 Hz，步長為1 Hz。

在載荷平臺的中心處分別施加三個方向(以垂直于載荷平臺的方向為Z向)的單位激勵力(1 N)，得到基礎(chǔ)平臺中心點處的頻響曲線，如圖4所示。

圖4 基礎(chǔ)平臺中心點的幅頻特性Fig.4 Magnitude-frequency curves of the center point of the base

由圖4可知，通過彈性子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合方法計算出的頻響曲線與有限元計算結(jié)果進行對比，在計算頻段內(nèi)數(shù)據(jù)與趨勢吻合良好，表明此種建模方法有效，可以用于Stewart隔振平臺的動力學特性研究以及控制器設(shè)計與分析。

3 Stewart隔振平臺反饋控制分析

3.1 反饋控制系統(tǒng)建模推導(dǎo)

作為主被動一體隔振平臺，其隔振效果與反饋控制系統(tǒng)設(shè)計密切相關(guān)。在對Stewart隔振平臺進行動力學建模的基礎(chǔ)上，建立以力為反饋信號的反饋系統(tǒng)[15]，并在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出整個系統(tǒng)的動力學模型。反饋控制原理圖，如圖5所示。

圖5 反饋控制原理Fig.5 Feedback control principle

在圖5中，F(xiàn)1和x1分別代表載荷平臺輸出到支腿上的力和位移；F2和x2分別代表支腿輸入到基礎(chǔ)平臺上的力和位移；cV、kV和mV1、mV2分別為音圈作動器的等效阻尼、等效剛度以及其兩端的等效質(zhì)量；kf為力傳感器的等效剛度；F為力傳感器檢測到的力；h為反饋增益系數(shù)。

由此可得，反饋力Ff2構(gòu)成的局部反饋的四端參數(shù)傳遞矩陣可表示為：

(12)

進而求得反饋后的基礎(chǔ)-平臺四端參數(shù)傳遞矩陣:

(13)

將式(13)轉(zhuǎn)化為阻抗形式可得到：

(14)

式(14)即為單個支腿在力反饋情況下的軸向阻抗，將其擴展到六個支腿代入至上述動力學模型推導(dǎo)過程中的式(8)，最終可得在力反饋情況下綜合后的整體隔振平臺頻響函數(shù)矩陣。

3.2 反饋效果分析

基于上述在內(nèi)嵌反饋控制下的隔振平臺模型，對反饋效果進行計算分析，分析中所用參數(shù)均與上述動力學模型參數(shù)一致。

反饋前后載荷平臺中心激勵到基礎(chǔ)平臺中心響應(yīng)的頻響曲線圖，如圖6所示。由圖6可知，反饋效果明顯，可以有效抑制共振峰處的振動，主共振峰(27 Hz)幅值得到明顯抑制。

圖6 反饋控制效果Fig.6 Effectiveness of feedback control

3.3 反饋穩(wěn)定性分析

對單個支腿反饋控制系統(tǒng)(見圖5)進行分析，xV1和xV2分別代表質(zhì)量mV1和mV2的位移，其余參數(shù)含義與上述一致。

該系統(tǒng)運動微分方程可表示為：

(15)

由式(15)可得如下形式的頻率方程：

mV1mV2s4+cV(mV1+mV2)s3+kV(mV1+mV2)s2+mV1kfhs=0

(16)

由式(16)可知，頻率方程有一根為零，這是因為所分析系統(tǒng)的反饋回路中有一個積分環(huán)節(jié)，而實際力傳感器的信號會通過內(nèi)置高通濾波器的信號調(diào)理器進行處理，所以不會出現(xiàn)臨界穩(wěn)定的情況。

對于式(16)，根據(jù)Routh-Hurwitz準則，穩(wěn)定的條件是全部系數(shù)為正且不等式(17)成立：

(17)

由此可得單腿反饋控制穩(wěn)定的充要條件：

(18)

4 Stewart隔振平臺被動隔振效果

4.1 被動隔振效果實驗

對Stewart隔振平臺的被動隔振效果進行實驗研究，實驗系統(tǒng)包括Stewart隔振平臺、力錘、力傳感器、信號調(diào)理器、功率放大器以及數(shù)據(jù)采集與分析儀等。通過錘擊法進行測試，6個支腿上的力信號經(jīng)由信號調(diào)理器調(diào)理，通過數(shù)據(jù)采集與分析儀接收，同時均以力錘的力信號為參考，取3次錘擊的平均值作為結(jié)果，測得其傳遞特性和隔振效果，實驗原理和隔振平臺的實物，如圖7所示。

圖7 被動隔振實驗和隔振平臺實物Fig.7 Experiment of the passive isolation platform and its photograph

通過力錘沿Z向進行錘擊，測得隔振平臺從頂端到6個支腿力傳感器的頻響曲線，如圖8所示。

圖8 隔振平臺被動隔振效果Fig.8 Passive isolation performance

4.2 主動隔振效果實驗

在實驗?zāi)Ｐ偷幕A(chǔ)上，搭建基于力反饋的控制系統(tǒng)，進行平臺主動隔振效果實驗。

對于一個反饋系統(tǒng)，穩(wěn)定性是必要的[6]，因此在進行六支腿全反饋實驗之前，首先考慮了單個支腿主動力與其余五個支腿主動力影響的比較。6個支腿工作時，1號支腿主動力與其余5個支腿主動力影響的對比,如圖9所示。

圖9 單個支腿主動力與其余五個支腿主動力影響的對比Fig.9 Comparison of influences between one active strut and other five active struts

由圖9可知，在6個支腿同時工作時，1號支腿的驅(qū)動力相比于其余五個支腿串擾力的總和，在0～200 Hz頻段內(nèi)(共振峰處除外)，前者均比后者高出約5倍～35倍，而在共振峰處，兩者相位相同，力的作用相互促進。因此，隔振平臺在六個支腿全反饋時穩(wěn)定。

隔振平臺主被動隔振效果實驗原理，如圖10所示。與上述被動隔振性能實驗不同的是，6個支腿上的力傳感器信號在經(jīng)過信號調(diào)理器調(diào)理后，有一路信號分支通過功率放大器輸入到音圈作動器中，以此組成反饋回路。在反饋系統(tǒng)中，反饋參數(shù)的調(diào)節(jié)至關(guān)重要，實驗中各支腿的反饋增益由力傳感器對應(yīng)的信號調(diào)理器來調(diào)節(jié)。

圖10 主被動隔振效果實驗原理Fig.10 Experiment of the passive/active isolation performance

圖11分別為各個支腿上力反饋前后的頻響曲線和時域響應(yīng)。

由圖11可知，六個支腿具有良好的一致性，共振峰出現(xiàn)在27 Hz附近，反饋可有效抑制共振峰處的振動，相比于控制前，共振峰下降約10 dB，在3～100 Hz頻段內(nèi)具有0～20 dB的衰減，同時時域響應(yīng)也表明控制后效果明顯。對比控制前后200 Hz內(nèi)的RMS(Root Mean Square)值(見表1)可知，相比于控制前，控制后RMS值下降75%～80%。

圖11 控制前后各支腿的頻響曲線和時域響應(yīng)Fig.11 Frequency response curves and time-domain responses of the struts before and after control表1 控制前后支腿力RMS值的比較Tab.1 Comparison of RMS values before and after control

支腿反饋前/N反饋后/N下降/%10.07840.018576.4020.06390.013179.5030.07210.015278.9240.07110.017175.9550.06800.013879.7160.08420.020775.42

5 結(jié) 論

本文提出一種采用石墨自潤滑球鉸連接的立方體構(gòu)型Stewart隔振平臺，在假設(shè)各支腿、基礎(chǔ)及載荷平臺均為彈性體的基礎(chǔ)上，采用子結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)綜合法，建立Stewart隔振平臺的動力學模型，得出隔振平臺的頻響函數(shù)，并通過FEM方法進行驗證，結(jié)果表明動力學建模方法有效。給出了內(nèi)嵌反饋控制系統(tǒng)模型，并進行仿真驗證，仿真結(jié)果表明反饋控制可有效壓制隔振平臺共振峰處的振動。在仿真分析的基礎(chǔ)上，對隔振平臺的被動隔振性能和內(nèi)嵌反饋控制的主動隔振性能進行實驗，結(jié)果表明，被動隔振在30～200 Hz頻段內(nèi)具有-36 dB/dec的衰減率，主動隔振在3～100 Hz頻段內(nèi)可獲得最大20 dB的幅值衰減，在200 Hz內(nèi)，支腿力RMS值在控制后下降75%～80%。

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Dynamic modeling and experiment of a hybrid passive/active Stewart vibration isolation platform

XIE Xiling1,2, WANG Chaoxin1,2, CHEN Yanhao1,2, ZHANG Zhiyi1,2

(1. Institute of Vibration & Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

A Stewart platform of cubic configuration was presented for hybrid passive/active vibration isolation. In the platform, the six struts are connected with the base and the payload through spherical joints lubricated by graphite, and each strut comprises a voice coil actuator and a force transducer. The Stewart platform was treated as an elastic system and an FRF (frequency response function) model was built by using the FRF-based substructure synthesis method. This model was validated by the finite element method and used in subsequent simulation. Vibration isolation with embedded feedback was analyzed and the effectiveness was evaluated. Experiments were also conducted to verify the hybrid passive/active vibration isolation performance. The results demonstrated that the passive isolation has approximately -36 dB/dec attenuation rate in the frequency range of 30-200 Hz, and the active isolation can achieve a maximum attenuation of 20 dB in the frequency range of 3-100 Hz. Moreover, the RMS values of dynamic forces in the struts were reduced by about 75%-80% within 200 Hz.

Stewart platform; active vibration isolation; frequency response function synthesis; substructure; spherical joint; voice coil actuator

國家自然科學基金(51275540)

2016-03-30 修改稿收到日期： 2016-05-09

謝溪凌 男，博士生，1994年生

張志誼 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1970年生

TB535

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.12.033