平面解析幾何中曲線方程的求法Q

李功天

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)體系當(dāng)中，求解曲線方程是一個非常重要的部分。解析幾何有著比較穩(wěn)定的規(guī)律，因此求解曲線方程的方法也趨于確定。本文以四種常規(guī)的求解方法為主線，講解平面解析幾何中曲線方程的求解方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 解析幾何 曲線方程

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）02B-0157-02

根據(jù)曲線滿足的約束條件求解曲線方程是解析幾何中的基本內(nèi)容，熟練掌握曲線方程的求法是學(xué)習(xí)平面解析幾何的基本要求之一。筆者總結(jié)了四種基本的求解方法，供各位讀者學(xué)習(xí)、討論。

一、一般求解，掌握規(guī)律

沒有方法的方法就是普適性的方法。如果涉及特殊的解法，必然要有一些局限的條件。因此，在掌握特殊的解法之前，首先要掌握好基本的解法，也就是一般解法。掌握了一般解法，也才有進(jìn)行變換的可能。

一般解法有四步。第一步，確定坐標(biāo)系，一般來說試題中的坐標(biāo)系是已經(jīng)確定好了，學(xué)生需要做的就是明確已知曲線在坐標(biāo)系中的位置信息。第二步，設(shè)點，即將所求的曲線上任意一點設(shè)為（x，y），將此點作為一條曲線的特征值。這一步是比較固定的一步，無論什么方法都適用。第三步，是關(guān)鍵性的一步，列出所設(shè)點滿足的等式，列式依據(jù)為題中給出的已知條件。第四步，出成果的一步，將第三步中的等式進(jìn)行化簡，化成 f（x，y）=0的形式，曲線方程也就求出來了。在一些有特殊要求的題目中，還要加一步驗證的過程。至此，整個一般解法就形成了一個完成的程序，其中的規(guī)律性也非常的明顯。下面以一道例題進(jìn)行詳細(xì)說明。

如圖，已知曲線 C：x2+y2-4x-6y+9=0，從原點 O 引一條割線 OP2 交曲線C 于 P1 和 P2 兩點。假設(shè) P1P2 的中點為P，求 P 的軌跡方程，并說明其軌跡是什么圖形。

根據(jù)一般解法的原則，第一步，要明確坐標(biāo)系，將已知曲線進(jìn)行配方，得（x-2）2+（y-3）2=4，因此得出了已知曲線為以（2，3）為圓心，半徑為 2 的圓；第二步，設(shè) P 的坐標(biāo)為（x，y）；第三步，根據(jù)題意，知 RP 與 OP1 之間是垂直關(guān)系，由此可得 kRP×kOP1=-1，列出相應(yīng)的方程；第四步，化簡方程，得出結(jié)果為 x2+y2-x-3y=0。

一般解法具有非常大的適用性，但是也存在運算量大、解決難題效率低等問題。凡事從基礎(chǔ)做起，一般解法是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中必須掌握的技能。只有當(dāng)基本的解題方法運用熟練之后，一些靈活的思想才有可能形成。

二、引參消參，間接求解

在解題中，學(xué)生運用一般解法找點線關(guān)系時，往往受到一些因素的制約，或是關(guān)系式難以化簡，或是關(guān)系抽象不能列式。這時候就不能“不撞南墻不回頭”了，要學(xué)會運用間接的方法，如引入一些參數(shù)，通過消去參數(shù)的方法（引參消參法）來進(jìn)行求解。

運用引參消參法需要注意三個原則。一是可控性。即引入的參量的變化軌跡能夠以明確的曲線方程表達(dá)出來，便于列式，避免“為了引參”而強行引入變量，加大解題難度。二是簡易性。引入?yún)⒘康哪康氖呛喕仁疥P(guān)系，因此參量與因變量、自變量的關(guān)系要簡明。三是易消性。即參量要在含 x，y 的方程中容易消去，否則解題將進(jìn)入死胡同。仍然以上面的題目作為例子進(jìn)行說明。我們觀察到 P 點、R 點、O 點的位置關(guān)系不明確，但是與割線 OP2 的關(guān)系比較密切，而 OP2 過坐標(biāo)原點，因此可以引入 OP2 的斜率 k 作為參量。設(shè) P 點的坐標(biāo)為（x，y），割線 OP2 的斜率為 k，那么 OP2 的方程即為 y=kx，代入曲線 C 的方程中得（k2+1）x2-2（3k+2）+9=0，設(shè) P1（x1，y1），P2（x2，y2），則 x1 和 x2 為此方程的兩個根。由韋達(dá)定理和中點定理可求得方程。又因為（x，y）在 OP2 上，所以最后求得 P 的軌跡為 x2+y2-x-3y=0。

引入?yún)⒘肯喈?dāng)于增加變量，這是屬于增加了求解的“負(fù)擔(dān)”，但是引入?yún)⒘康囊饬x在于通過一種間接的關(guān)系，將所有的變量關(guān)系集中到參量上，從而將建立的關(guān)系進(jìn)行簡化。所以說引參消參的方法是增多了變量，但簡化了思路。

三、常數(shù)待定，精準(zhǔn)解答

求解曲線方程，就是要確定方程中的所有未知參數(shù)，因此把問題落在這個未知參數(shù)上，通過整理，又將未知參數(shù)集中到一個待定的常數(shù)上，通過已知條件中的等式關(guān)系，確定出此常數(shù)，這樣問題也就迎刃而解了，這就是常數(shù)待定法的思路。

應(yīng)用常數(shù)待定法求解，將求解目標(biāo)縮小到了一個待定常數(shù)上面，提高了解題的目的性和精準(zhǔn)度，解答的整個過程變成圍繞該常數(shù)來展開，減少了很多變化的因素。使用待定常數(shù)法進(jìn)行解題時，不僅要熟悉各種曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，而且還要熟悉它們的特殊形式，在盡量大的限度內(nèi)減少待定常數(shù)的數(shù)量。舉下面一道題目為例。

現(xiàn)有一雙曲線以 2x±y=0為漸近線，并且過點 N（2，），求該曲線的解析式。

分析這道題目，雙曲線的漸近線一旦確定，那么就剩余一個常數(shù)待定了，可將此常數(shù)設(shè)為變量來集中求解。

解題過程：由于雙曲線以 2x±y=0為漸近線，可設(shè)雙曲線方程為（2x）2-y2=，因為 N（2，）在雙曲線上，所以 16-12=，=4，所以雙曲線方程（2x）2-y2=4，化成標(biāo)準(zhǔn)形式即可。從以上的解題過程中可以看出，將漸進(jìn)線的條件轉(zhuǎn)化成待定常數(shù)的關(guān)系式是整個過程中的關(guān)鍵性一步，這就需要學(xué)生熟練掌握雙曲線的性質(zhì)。

數(shù)學(xué)解題的原則就是“準(zhǔn)確”與“快速”?！皽?zhǔn)確”就是要求學(xué)生的思維必須縝密，“快速”就是要求解題目標(biāo)明確。待定常數(shù)法解題兼具“準(zhǔn)確”與“快速”的一種方法，但是并不適合所有題目。

四、坐標(biāo)變換，靈活求解

在常規(guī)的解法中，我們的注意點往往集中在曲線方程上面，對于一些題目來說可能有些困難。此時我們可以將注意力轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)上來，通過點的坐標(biāo)之間的變換，來實現(xiàn)曲線方程之間的轉(zhuǎn)化，促成解題，靈活求解。

曲線是由一系列點構(gòu)成的，因此點的關(guān)系也在一定程度上代表了曲線之間的關(guān)系。在求解曲線變換時，可以先建立點的坐標(biāo)之間的變換關(guān)系，然后通過轉(zhuǎn)化來求解。例如下面一道題目：

如圖，已知圓 M：x2+y2+6x-10y+33=0 和一條直線 l：3x-y+4=0。求圓 M 關(guān)于直線 l 的對稱圓 N 的方程。

分析這道題目，我們可以發(fā)現(xiàn)整個待求的方程未知量都集中在圓心之上，如果確定了圓心的位置，那么圓N的方程自然也就確定了。我們以圓心的坐標(biāo)進(jìn)行變換求解，解法如下：

將圓 M 進(jìn)行配方：（x+3）2+（y-5）2=1，通過圓 M 的方程確定了圓心 M（-3，5）。設(shè)點 M 關(guān)于 l 的對稱點為 N，MN 直線的參數(shù)方程為 x=-3+3t，y=5-t，代入 l 可得 3（-3+3t）-（5+t）+4=0，t=1。因此可得 xN=-3+3=0，yN=5-1=4，所以 N 點的坐標(biāo)為（0，4）。在圓對稱變換的情況下，圓的半徑不變，所以圓 N 的方程為 x2+（y-4）2=1。

在求解曲線時，不一定要“直接”求解，一條曲線的組成要素有很多種，比如點的坐標(biāo)、曲線的特征曲線等，作為解題者要善于將曲線之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過點與點之間的坐標(biāo)變換，來靈活求解。

綜合來說，曲線方程的求解有很多種方法，但是沒有一種方法是萬能的。這就說明了求解曲線方程，或者說是求解任何一種數(shù)學(xué)問題，都不會有一勞永逸的方法。各種各樣的方法是逐漸積累而來的，需要學(xué)生在練習(xí)中不斷總結(jié)歸納。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉祖望.談平面解析幾何中曲線方程的求法[J].四川教育學(xué)院學(xué)報，2004（1）

[2]楊永剛，閻恩讓.解析幾何中軌跡方程的求法[J].寶雞文理學(xué)院學(xué)報，1996（2）

（責(zé)編 盧建龍）