級(jí)數(shù)收斂意義下的一個(gè)循環(huán)小數(shù)的加法問(wèn)題*1

胡 利 軍

(包頭師范學(xué)院 教育科學(xué)學(xué)院 內(nèi)蒙古 包頭 014030)

由于循環(huán)小數(shù)和分?jǐn)?shù)可以互化，因此在加法運(yùn)算中會(huì)產(chǎn)生下面的問(wèn)題：

對(duì)嗎？

而且還可以有

等.

根據(jù)小數(shù)的數(shù)位表，把循環(huán)小數(shù)表示成不同計(jì)數(shù)單位上數(shù)的和的形式，有下列兩式：

(1)

(2)

根據(jù)級(jí)數(shù)的意義，上述(1)、(2)兩式的右端顯然是兩個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)：

(4)

收斂級(jí)數(shù)的定義為[1]：對(duì)于級(jí)數(shù)

u1+u2+u3+…+un+…(*),

其部分和數(shù)列為

sn=u1+u2+u3+…+un,

若級(jí)數(shù)(*)的部分和數(shù)列{sn}收斂.設(shè)

則稱級(jí)數(shù)(*)收斂，s是級(jí)數(shù)(*)的和，表為

根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的定義，級(jí)數(shù)(3)和(4)都是收斂的.這是因?yàn)?/p>

對(duì)于級(jí)數(shù)(3)、(4)其n項(xiàng)部分和數(shù)列{sn1}和{sn2}分別是

注意到收斂級(jí)數(shù)有這樣一個(gè)性質(zhì)：

(u3±v3)+…+(un±vn)+…

也收斂，其和是A±B.

根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，級(jí)數(shù)(4)、(5)的和也是收斂的，設(shè)其和為s,則

這樣，在收斂級(jí)數(shù)的意義下，

而且級(jí)數(shù)(4)、(5)的n項(xiàng)部分和數(shù)列{sn1}和{sn2}均收斂，設(shè)分別s1、s2即

一般地，每一個(gè)循環(huán)小數(shù)都可以利用一個(gè)特殊的冪級(jí)數(shù)

∑anxn=a0+a1x1+a2x2+…+anxn+…，

其中，令

這個(gè)冪級(jí)數(shù)的和為:

由此式，就可以把任何一個(gè)循環(huán)小數(shù)拆成循環(huán)部分加上不循環(huán)部分[3].在收斂級(jí)數(shù)的意義下，類似于上述運(yùn)算的一些實(shí)際問(wèn)題也是容易給出合理的解釋。

解：設(shè)這兩條曲線共長(zhǎng)L.其中第一條和第二條曲線的長(zhǎng)分別是L1、L2，L=L1+L2.

由于

所以

顯然，此答案的獲得，正是利用了收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì).

當(dāng)然，利用循環(huán)小數(shù)，兩條曲線的長(zhǎng)可以表示為：

關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，可以簡(jiǎn)單地解釋為：碰到循環(huán)節(jié)首位數(shù)相加需要進(jìn)位時(shí)，循環(huán)節(jié)的末位也要進(jìn)位.這個(gè)進(jìn)位數(shù)可以看做是后一個(gè)循環(huán)節(jié)向前一循環(huán)節(jié)進(jìn)位得到的[2].如果追問(wèn)：為什么要這樣進(jìn)位？回答這個(gè)問(wèn)題，如果能用級(jí)數(shù)收斂來(lái)解釋，就很有說(shuō)服力了。這個(gè)說(shuō)理在上面的求曲線長(zhǎng)的問(wèn)題中，已經(jīng)用級(jí)數(shù)收斂的意義給出了答案.

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