柯西不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)解題過程中的魅力體現(xiàn)*1

紀(jì) 宏 偉，吳 國 磊

(江蘇教育學(xué)院 如皋分院,江蘇 如皋 226500)

柯西不等式常見的變形形式有：

通常將以上變形公式稱作為分式型柯西不等式，用來處理分式不等式時(shí)，常常是一種有力的工具，甚至起到一招制勝之效。

1 證明不等式

點(diǎn)評：本題直接利用變形公式顯然得不出結(jié)果，但是改變多項(xiàng)式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，將求證式左邊的每一項(xiàng)的分子變形為平方關(guān)系，便可看清其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)特征，使得問題一望即解。

例2:已知a1,a2,…,an為互不相等的正整數(shù)，求證：對于任意的正整數(shù)n，有不等式

由排序不等式易知

故原不等式成立。

證明:由柯西不等式得

(1)

又由柯西不等式得

(2)

由⑴⑵得

點(diǎn)評：本題兩次用到柯西不等式，在使用時(shí)必須把握住問題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，選擇最佳的切入點(diǎn)和突破口，如本例元素的選取恰到好處，值得我們細(xì)細(xì)回味。

2 求最值(值域)

2.1 求多字母式子的最值

例4:求實(shí)數(shù)x、y的值，使得(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2達(dá)到最小值。

解:引入待定參數(shù)a,b,c，由柯西不等式

(a2+b2+c2)(y-1)2+(x+y-3)2+(2x+y-6)2≥[a(y-1)+b(x+y-3)+c(2x+y-6)]2=[(b+2c)x+(a+b+c)y-a-3b-6c]2，

點(diǎn)評：本題展開后求解比較繁雜，但是引入?yún)?shù)構(gòu)造出柯西不等式的情境，將最小值取值條件歸結(jié)為不等式右側(cè)能否獲得定值，使原題原“形”畢露，可謂神來之筆。

解:由柯西不等式，得

點(diǎn)評：本題不具備直接運(yùn)用柯西不等式的條件，但通過改變表達(dá)式的形式，轉(zhuǎn)化為符合柯西不等式的基本形式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。

2.2 求含約束條件式子的最值

例7:已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x+y+2z=1，求x2+y2+2z2的最小值。

點(diǎn)評：本題從柯西不等式結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，通過正確配湊系數(shù)，使得變化后的式子內(nèi)在結(jié)構(gòu)滿足柯西不等式取等號的條件，解題過程一氣呵成。

點(diǎn)評：本題解法較多，但是從構(gòu)造柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)來形成解題思路，通過巧配系數(shù)形成與柯西不等式完美對接，有返樸歸真之感，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔美。

例9:已知sin2α+sin2β+sin2γ=1，求|sin2α+sin2β+sin2γ|的最大值。

解:由sin2α+sin2β+sin2γ=1?cos2α+cos2β+cos2γ=2，故

(sin2α+sin2β+sin2γ)(cos2α+cos2β+cos2γ)≥(sinα·cosα+sinβ·cosβ+sinγ·cosγ)2

點(diǎn)評；三角變形后，只要熟悉柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式以及靈活利用不等式取等條件，問題便迎刃而解了。

3 處理特殊等式問題

點(diǎn)評：本題若直接求解，過程較繁瑣，借助柯西不等式，順利地實(shí)現(xiàn)了從不等到相等的轉(zhuǎn)化，干凈利落，樸素?zé)o華，妙不可言。

解:通過方程組的兩式相加并配方，可以得到(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108，而第一個(gè)方程可化為2x+(3y+3)+(z+2)=18，于是由柯西不等式得

點(diǎn)評：一般地，只有兩個(gè)方程構(gòu)成的三元二次方程組的解不是唯一的，但本例的解是唯一的，原因就是它恰好滿足柯西不等式等號成立的條件?？挛鞑坏仁饺〉葪l件具有潛在的功能，它對于此類問題的解決往往是有效的。

點(diǎn)評：為了能夠使用柯西不等式，配置上一個(gè)因式sinαcosβ+cosαsinβ，從而使證明“峰回路轉(zhuǎn)”，從證明過程看，用柯西不等式顯然要比別的方法簡潔一些，這正是其美妙的迷人之處。

點(diǎn)評：本題的特殊性在于用不等式來處理等式，從“不等”中挖掘“等”而實(shí)現(xiàn)問題的突破，體現(xiàn)了不等式思想解決有關(guān)等式問題的辯證解題模式。

惠特霍斯曾說過：“一般地，解題之成功，在很大的程度上依賴于選擇一種最合宜的方法”。從本文可知，利用柯西不等式來解決相關(guān)問題具有極大的優(yōu)越性和簡捷性，解題過程宛若行云流水，一氣呵成，給人以美的享受，值得我們細(xì)細(xì)領(lǐng)悟和回味。

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