數(shù)學(xué)分析中的不等式證明問(wèn)題*1

王 建 莉

(包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

1 引言

不等式是數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容之一，它是研究許多數(shù)學(xué)分支的重要工具。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占有重要的地位，也是各個(gè)時(shí)期的數(shù)學(xué)教材的重要組成部分，在各種考試和競(jìng)賽中都有舉足輕重的地位。本文介紹的三種證明不等式的方法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法和定積分理論法。希望通過(guò)對(duì)這三種方法的學(xué)習(xí)，我們可以很好的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的一些特點(diǎn)，從而開(kāi)拓一下我們的數(shù)學(xué)視野，深化一下我們對(duì)不等式證明方法的認(rèn)識(shí)，以便于可以站在更高的角度來(lái)研究數(shù)學(xué)不等式。

2 用拉格朗日中值定理證明不等式法

2.1 定理內(nèi)容

2.2 證明思路

(1)確定函數(shù)f(x)施用拉格朗日中值定理的區(qū)間[a,b]；

(2)對(duì)f(x)在[a,b]上施用拉格朗日中值定理；

(3)利用ξ與a,b的關(guān)系，由拉格朗日中值公式得到所要證明的不等式。

2.3 適用范圍

當(dāng)所證的不等式中含有函數(shù)值的差或區(qū)間端點(diǎn)值的差，可用拉格朗日中值定理來(lái)證明。

2.4 例題分析

例1:設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可微，f′(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增。

證明：對(duì)任意x1，x2∈[a,b]及λ∈[0,1]，有

f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)

(1)

證明：顯然當(dāng)λ=0或λ=1時(shí)，(1)式顯然成立，因此只討論λ∈(0,1)即可。

?x1，x2∈[a,b]，不失一般性，設(shè)x1

由拉格朗日中值定理，知?ξ∈(x,x)，?η∈(x,x2)，使得

λ[f(x)-f(x1)]+(1-λ)[f(x)-f(x2)]=λf′(ξ)(x-x1)+(1-λ)f′(η)(x-x2)

(2)

根據(jù)

x-x1=[λx1+(1-λ)x2]-x2=(1-λ)(x2-x1)

(3)

x-x2=[λx1+(1-λ)x2]-x2=λ(x1-x2)

(4)

將(3) (4)代入(2)有

λ[f(x)-f(x1)]+(1-λ)[f(x)-f(x2)]=λf′(ξ)((1-λ)(x2-x1)+(1-λ)f′(η)λ(x1-x2)

=λ(1-λ)(x2-x1)[f′(ξ)-f′(η)]

(5)

由已知f′(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增 ，根據(jù)x1<ξ

f′(ξ)-f′(η)≤0 。

由(5)得

λ[f(x)-f(x1)]+(1-λ)[f(x)-f(x2)]≤0。

即：

f(x)≤λf(x1) + (1-λ)f(x2)。

f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)。

3 用柯西中值定理證明不等式法

3.1 定理內(nèi)容

3.2 證明思路

(1)構(gòu)造兩個(gè)輔助函數(shù)f(x)和g(x)，并確定它們施用柯西中值定理的區(qū)間[a,b]；

(2)對(duì)f(x)與g(x)在[a,b]上施用柯西中值定理；

(3)利用ξ與a,b的關(guān)系，對(duì)柯西公式進(jìn)行加強(qiáng)不等式。

3.3 適用范圍

當(dāng)不等式含有兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值及其一階導(dǎo)數(shù)，或兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)增量及其一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用柯西中值定理證明。

3.4 例題分析

有

因此

即

ay-ax>(cosx-cosy)axlna。

4 定積分不等式的證明

4.1 證明思路

4.2 適用范圍

當(dāng)不等式含有定積分(或被積函數(shù)f(x)≤g(x)時(shí))，可用定積分的性質(zhì)證明或構(gòu)造以積分上限的函數(shù)作為輔助函數(shù)來(lái)證明。

4.3 例題分析

證明：設(shè)輔助函數(shù)

由f(x)在[a,b]上的連續(xù)性，知F(t)在[a,b]可導(dǎo)，且?t∈[a,b] ，有

根據(jù)已知f(x)在[a,b]單調(diào)遞增，則當(dāng)x∈[a,t]?[a,b] 時(shí)，有f(t)-f(x)≥0，于是F′(t)≥0。從而知F(t)在[a,b]單調(diào)遞增。所以F(b)≥F(a)=0。 (b≥a)。于是有

拉格朗日中值定理，柯西中值定理，定積分理論在數(shù)學(xué)分析中都有很多的應(yīng)用，不等式的證明方法也有很多，本文只對(duì)拉格朗日中值定理法，柯西中值定理法，定積分理論法作了一部分的歸納總結(jié)，目的是在于啟發(fā)思路；通過(guò)對(duì)不等式證明的分析以提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，提高邏輯思維能力。

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