面向跨學(xué)科人才培養(yǎng)的高等代數(shù)課程教學(xué)探索

吳語(yǔ)來(lái) 蔡金轉(zhuǎn)

摘 要：高等代數(shù)是一門面對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)開(kāi)設(shè)的基礎(chǔ)課程。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，高等代數(shù)的理論和思想方法在各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域都有深刻的應(yīng)用。文章探討了在跨學(xué)科的背景下，高等代數(shù)課程改革的方法和實(shí)例，提出了在面對(duì)跨學(xué)科型人才的高等代數(shù)教學(xué)中的一些思考和建議。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；教學(xué)改革；跨學(xué)科

中圖分類號(hào)：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-000X（2017）14-0061-03

Abstract： Advanced algebra is a basic course facing students majoring in mathematics. Nowadays with the development of science and technology， the theory and method in advanced algebra have been applied in many fields of science. Under such an interdisciplinary background， this paper discusses some methods and examples of the reform of advanced algebra course and puts forward some thoughts and suggestions in teaching advanced algebra for interdisciplinary students.

Keywords： advanced algebra； education reform； interdisciplinary

引言

高等代數(shù)是數(shù)學(xué)類專業(yè)本科生的專業(yè)必修課程之一，也是最基本、最核心的課程之一。高等代數(shù)開(kāi)設(shè)于本科一年級(jí)，既是對(duì)中學(xué)算數(shù)的延拓，也是本科后續(xù)課程的基礎(chǔ)。對(duì)高等代數(shù)的學(xué)習(xí)和改革，直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)專業(yè)思維的訓(xùn)練和興趣的培養(yǎng)，并間接的影響其今后方向和道路的選擇。不僅如此，作為現(xiàn)代科學(xué)各個(gè)分支的基礎(chǔ)，高等代數(shù)的思想、理論與方法都已滲透到科學(xué)領(lǐng)域的各個(gè)方面和實(shí)踐應(yīng)用的各個(gè)部門，許多工科專業(yè)已經(jīng)不滿足于線性代數(shù)的內(nèi)容，一些院校已經(jīng)開(kāi)始將高等代數(shù)設(shè)置成進(jìn)入通識(shí)教育的選修或必修課程。所以，高等代數(shù)已經(jīng)不再局限于數(shù)學(xué)專業(yè)的本科教育。然而，高等代數(shù)課程目前開(kāi)設(shè)范圍較小，教材更新較慢，內(nèi)容設(shè)置偏理論，學(xué)時(shí)緊張，針對(duì)工科專業(yè)的教師和學(xué)生對(duì)高等代數(shù)的教學(xué)方法仍在逐步改進(jìn)中，因此，對(duì)面向跨科學(xué)的高等代數(shù)課程的設(shè)置的改革和反思[1，2]，尤為迫切，也越來(lái)越受到人們的重視。

一、從課程本身設(shè)置上引入學(xué)科交叉

近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)校，注意到對(duì)單一專業(yè)的知識(shí)、思維能力和素質(zhì)的培養(yǎng)，已經(jīng)不能夠滿足現(xiàn)代科技和就業(yè)的交叉性、多樣性和廣度。在高校雙學(xué)位制度之后，跨學(xué)科式的高等教育，已經(jīng)頻頻出現(xiàn)在人們視野。2000年，國(guó)防科技大學(xué)對(duì)本科應(yīng)用數(shù)學(xué)、應(yīng)用物理和光電工程等三個(gè)專業(yè)實(shí)施教學(xué)改革，提出在三個(gè)本科專業(yè)實(shí)現(xiàn)數(shù)理打通，對(duì)三個(gè)專業(yè)的前兩年基礎(chǔ)課進(jìn)行統(tǒng)一施教。2007年，北大元培學(xué)院成立，實(shí)行低年級(jí)不分專業(yè)，學(xué)生能夠在全校所有學(xué)科范圍內(nèi)選擇課程、安排知識(shí)結(jié)構(gòu)，設(shè)置跨學(xué)科專業(yè)、通識(shí)教育基礎(chǔ)課，構(gòu)建具有前瞻性的課程體系。這些長(zhǎng)遠(yuǎn)的布局，都是希望能通過(guò)貫徹加強(qiáng)基礎(chǔ)，促進(jìn)交叉，培養(yǎng)有情懷、視野、兼?zhèn)鋭?chuàng)新精神和實(shí)踐能力，在各行業(yè)起引領(lǐng)作用的高素質(zhì)人才[3，4]。在這樣的大背景下，對(duì)課程的設(shè)置和更新，以及與其他學(xué)科的交叉背景的介紹和承接，顯得非常緊迫和重要。

然而在大多數(shù)高校中，高等代數(shù)只對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生展開(kāi)[5]；市面上的高等代數(shù)教材，也大多源于上世紀(jì)七十年代北大或清華的講義，經(jīng)典而穩(wěn)定，采用的是傳統(tǒng)的敘述方式：公理體系出發(fā)，遵循“定義-例子-定理-證明-推論”的演繹進(jìn)行。這樣的方式有它的優(yōu)點(diǎn)， 那就是把數(shù)學(xué)知識(shí)重新整理、系統(tǒng)化，便于課堂講授。然而，對(duì)于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)于高等代數(shù)課程的知識(shí)背景、培養(yǎng)目標(biāo)和學(xué)習(xí)的目的都和數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生有非常大的差異。對(duì)于目前普通高等院校的工科類學(xué)生而言，把抽離出來(lái)的背景和來(lái)源的數(shù)學(xué)知識(shí)，邏輯和關(guān)系都建立起具有生活或?qū)W科背景的橋梁，是非常有意義且重要的舉措。

（一）與幾何一體化

幾何為代數(shù)提供直觀背景，代數(shù)為幾何提供研究方法。高等代數(shù)和解析幾何具有非常緊密的聯(lián)系。解析幾何是利用代數(shù)方法處理低維空間（二維和三維空間）上的幾何問(wèn)題。高等代數(shù)主要介紹多項(xiàng)式理論和線性代數(shù)理論，具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，但高等代數(shù)中許多基本概念和方法都有很強(qiáng)的幾何背景[6]。數(shù)形結(jié)合可以使學(xué)生在具體的幾何背景下更好地掌握代數(shù)方法去處理科學(xué)技術(shù)中遇到的各類問(wèn)題。

例如，高等代數(shù)的第三章介紹線性方程組的解。經(jīng)典的教材是通過(guò)消元法，和對(duì)矩陣的秩的情況，解讀線性方程組解的判別定理，以及解的結(jié)構(gòu)問(wèn)題。具體講授中，可以通過(guò)多媒體講解，將幾何背景融入進(jìn)去。由于每個(gè)線性方程可以解讀為n維空間的超平面，線性方程組的解可以解讀為超平面的交點(diǎn)。從二維入手，解釋直線相交的三種情形，解釋兩根直線相交出現(xiàn)無(wú)窮多個(gè)交點(diǎn)的情形，在代數(shù)上表現(xiàn)為二階行列式為零。將直觀的低維幾何背景引入，把空間直線、平面和代數(shù)知識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，可以在不削弱原有知識(shí)的基礎(chǔ)上，將知識(shí)的結(jié)構(gòu)調(diào)整得更完整，從而優(yōu)化了教學(xué)過(guò)程。

（二）與物理背景相結(jié)合

例如，在介紹線性空間和線性變換的時(shí)候，可以對(duì)其背景做出解釋和闡述。線性空間是從我們所生活的空間中抽象出來(lái)的，包含我們所在空間中最基本的信息。線性空間里的點(diǎn)和向量（矢量）之間的關(guān)系，線性空間里的變換，其本質(zhì)代表著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（或躍遷）。矩陣是在某種坐標(biāo)系下，線性變換（運(yùn)動(dòng)方式）的描述。而同一個(gè)變換，由于選取的坐標(biāo)系不同，其表示矩陣看上去是不同的，但是它們的本質(zhì)是一樣的，所以叫特征（本征），矩陣之間的關(guān)系叫相似。

另外，在介紹矩陣的轉(zhuǎn)置時(shí)，可以從力、功和能量的角度，來(lái)介紹反對(duì)稱矩陣和辛之間的聯(lián)系[7]。

（三）經(jīng)管統(tǒng)計(jì)相結(jié)合

在介紹特征值和特征向量的時(shí)候，學(xué)生往往非常迷茫于為何要設(shè)置這樣的概念，這時(shí)可以相應(yīng)的介紹一點(diǎn)應(yīng)用背景[8]。例如，馬爾可夫人口模型。將人口模型應(yīng)用矩陣來(lái)設(shè)置更新分類，通過(guò)對(duì)矩陣的特征值和特征向量的求解，來(lái)求達(dá)到人口平衡模型的解，并指出這種預(yù)測(cè)在宏觀政策上的導(dǎo)向意義。

總之，面對(duì)跨學(xué)科應(yīng)用型人才培養(yǎng)的高等代數(shù)課程，應(yīng)該根據(jù)課程定位和學(xué)生專業(yè)興趣與要求，在課程內(nèi)容與體系設(shè)計(jì)上，堅(jiān)持課程內(nèi)容敘述上的啟發(fā)性，加強(qiáng)課程內(nèi)容的交叉背景，兼顧課程內(nèi)容的學(xué)術(shù)性和應(yīng)用性，并在課程內(nèi)容的定位中要考慮到學(xué)生的現(xiàn)實(shí)性和發(fā)展性。

二、教學(xué)方法上多樣化

大學(xué)本科教學(xué)學(xué)時(shí)非常緊張是一個(gè)普遍現(xiàn)象。傳統(tǒng)的授課方式為講授法，這種方式在近代數(shù)學(xué)教育的歷史上，使用最多最頻繁。其最大的優(yōu)點(diǎn)在于，能用最少的時(shí)間傳授最多的知識(shí)點(diǎn)，在教育缺乏的年代，這樣的方式，使得我國(guó)科學(xué)技術(shù)的斷層得以迅速的彌補(bǔ)，知識(shí)結(jié)構(gòu)得以迅速擴(kuò)張，在許多的學(xué)科上，可以明顯的看見(jiàn)從無(wú)到有的迅速積累過(guò)程。然而，在中國(guó)經(jīng)濟(jì)體量成為世界第二大的今天，社會(huì)的進(jìn)步和科技的進(jìn)展使得教學(xué)內(nèi)容在不斷的增加。在有限的學(xué)時(shí)中盡可能多的授業(yè)，僅僅靠老師在課堂上灌輸是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。并且，開(kāi)始有獨(dú)立思維的學(xué)生也不再甘愿屈服于填鴨式的教學(xué)。不僅如此，高等代數(shù)課程比之初等數(shù)學(xué)的課程而言，理論性強(qiáng)、內(nèi)容抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)有一定困難。不少同學(xué)在剛進(jìn)入大學(xué)時(shí)信心滿滿，然而沒(méi)上幾節(jié)課就開(kāi)始放棄。教學(xué)內(nèi)容的深?yuàn)W更需要教師花時(shí)間和心思對(duì)教學(xué)方法進(jìn)行探索和改進(jìn)。

（一）課堂教學(xué)的多樣性

一節(jié)課的時(shí)間是有限的45分鐘，然而課外的時(shí)間卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)成倍于之。重新調(diào)整課堂時(shí)間，通過(guò)課外的時(shí)間來(lái)補(bǔ)充學(xué)時(shí)內(nèi)的不足，是一個(gè)非常不錯(cuò)且可行的辦法。近年來(lái)，緣起于Mooc（Massive Open Online Courses）的教學(xué)建設(shè)在我國(guó)掀起了教改的高潮。引進(jìn)開(kāi)放式在線課程，優(yōu)勢(shì)和不足都引起了極大的反響。其天然的優(yōu)勢(shì)在于，打破時(shí)間和空間的局限性，教學(xué)方式非常靈活，并且可以極大的豐富傳統(tǒng)課時(shí)里緊張的內(nèi)容，有著非常廣闊的前景和重要的意義。其不足在于不少剛成年的學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識(shí)薄弱，Mooc不適合作為高等代數(shù)這類趣味性弱且高度抽象的課程的主要教學(xué)模式。因此，我們認(rèn)為，Mooc和一些在線課程和視頻，可以作為傳統(tǒng)授課的輔助手段。對(duì)于一部分非常有學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)主動(dòng)性的學(xué)生而言，利用Mooc、教學(xué)短視頻、電子書(shū)和學(xué)習(xí)論壇等輔助方式來(lái)引導(dǎo)其完成課堂教學(xué)之外的內(nèi)容擴(kuò)展，為學(xué)有余力的同學(xué)拓寬視野，拓廣知識(shí)結(jié)構(gòu)。

（二）增加互動(dòng)式實(shí)踐學(xué)習(xí)模塊

教學(xué)是老師和學(xué)生之間共同完成的活動(dòng)。因此學(xué)生對(duì)課程內(nèi)容的反饋和互動(dòng)，是非常寶貴的。在傳統(tǒng)輸送式講授和在線播放之外，還可以將研究生的討論班模式引進(jìn)課堂。老師可以布置一些命題和富有實(shí)踐意義的專題，讓學(xué)生們自主選擇學(xué)習(xí)一段專題或研究一個(gè)具體的問(wèn)題，在課下以小組的形式討論形成集中意見(jiàn)。學(xué)生之后在課堂上講述自己學(xué)習(xí)的體會(huì)和所得，在講述的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)自己的不足，并通過(guò)思考同學(xué)之間的提問(wèn)，引發(fā)不同思路之間的交流和碰撞。同時(shí)，老師在講臺(tái)下聽(tīng)取意見(jiàn)，并加強(qiáng)引導(dǎo)和指導(dǎo)方向，從而達(dá)到深入學(xué)習(xí)的目的。

（三）打破一個(gè)教師教一門課的禁錮

每一位老師都是由傳統(tǒng)的專業(yè)性教育成長(zhǎng)起來(lái)的。專業(yè)的局限性，使得在教授課程時(shí)，多少都帶有且僅帶有自身專業(yè)的背景。然而，下一代的學(xué)生將處于一個(gè)多樣交叉的時(shí)代，單一的專業(yè)背景恐怕并不能夠滿足教學(xué)的需要。一個(gè)解決的想法是，將高等代數(shù)課程，在介紹完了基本知識(shí)之后，設(shè)置幾次專題，根據(jù)所學(xué)的不同的知識(shí)點(diǎn)，邀請(qǐng)幾個(gè)不同專業(yè)的老師，根據(jù)自身的方向和應(yīng)用來(lái)講解理論背后的背景和應(yīng)用。由于高等代數(shù)和多門學(xué)科之間的高度交叉性，一門課由一個(gè)老師主講，兩三個(gè)老師協(xié)助共同完成是完全可以實(shí)現(xiàn)的，并且在擴(kuò)展學(xué)生的視野，打破授課風(fēng)格的單一性，以及開(kāi)拓知識(shí)結(jié)構(gòu)的層面上，都是非常有益的。

三、激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)的方法

由于本科階段靠自學(xué)為主，與高中師長(zhǎng)頻頻緊盯差異甚大。如何調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，是每個(gè)任課老師都非常關(guān)注的問(wèn)題。

（一）考核和評(píng)價(jià)體系的優(yōu)化

普通高校的考核模式一般為，平時(shí)成績(jī)與考試成績(jī)?nèi)呋蛘叨碎_(kāi)。而平時(shí)成績(jī)一般與學(xué)生作業(yè)的完成情況，平時(shí)的課堂表現(xiàn)和上課的出勤情況等等相關(guān)。多年以來(lái)這樣的設(shè)置，已經(jīng)被學(xué)生接納。于是平時(shí)成績(jī)就成為了教師根據(jù)實(shí)際班級(jí)的情況和學(xué)生博弈的一個(gè)調(diào)節(jié)手段。因此如何設(shè)置合理的激勵(lì)機(jī)制，利用合理的評(píng)價(jià)體系來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)，是一個(gè)非常值得探索的問(wèn)題。

對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)的激勵(lì)，可以由外向內(nèi)來(lái)進(jìn)行。從外部層面上說(shuō)，學(xué)習(xí)的成績(jī)和排名是直接和保研、出國(guó)以及能否順利畢業(yè)等獎(jiǎng)懲措施掛鉤的。對(duì)內(nèi)而言，學(xué)習(xí)是學(xué)生自我的要求，對(duì)內(nèi)心的自信、自我實(shí)現(xiàn)的完成度都會(huì)成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力。對(duì)主動(dòng)學(xué)習(xí)的學(xué)生而言，要保證評(píng)價(jià)的公平性，并且激發(fā)其課下的潛力，比如鼓勵(lì)和指導(dǎo)其參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等。對(duì)學(xué)習(xí)積極然而有困難的學(xué)生而言，要積極溝通，幫助其解決困難，增加其對(duì)學(xué)習(xí)掌握后的信心。對(duì)于消極怠工的學(xué)生，可以采用小組搭建的方式，通過(guò)樹(shù)立學(xué)風(fēng)和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣學(xué)習(xí)態(tài)度，使其不至于掉隊(duì)。

另一方面，學(xué)生在自己團(tuán)體中的地位也會(huì)影響學(xué)習(xí)的積極性。例如在課程設(shè)計(jì)等通過(guò)分組完成的部分，每個(gè)學(xué)生可以自由的選擇命題，選擇命題相同的自動(dòng)成為一個(gè)小組，同時(shí)在每個(gè)小組里設(shè)置名額有限的分?jǐn)?shù)等級(jí)，通過(guò)學(xué)生之間的投票來(lái)完成最后的評(píng)分。既保證了對(duì)不同命題難易程度導(dǎo)致的分?jǐn)?shù)差異的公平性，又激發(fā)了學(xué)生內(nèi)心希望收獲班級(jí)同學(xué)間的尊重感和成就感的渴望，在激勵(lì)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性上，是一個(gè)非常好的方法。

（二）移動(dòng)學(xué)習(xí)

高等代數(shù)是一門有著非常深刻背景應(yīng)用的學(xué)科，這樣的特點(diǎn)，非常適合利用手機(jī)來(lái)進(jìn)行一些碎片知識(shí)的學(xué)習(xí)。教師可以自己寫(xiě)一些通俗易懂的科普性文章，或者推薦好的公眾號(hào)，利用朋友圈和qq等社交工具分享給感興趣的學(xué)生。學(xué)生可以在一些碎片時(shí)間里，通過(guò)閱讀這些文章，更加激發(fā)起自己的學(xué)習(xí)興趣，豐富知識(shí)。而學(xué)生之間的二次分享，也將雪片式地帶動(dòng)更多的學(xué)生進(jìn)行碎片時(shí)間的利用和學(xué)習(xí)。

四、結(jié)束語(yǔ)

對(duì)于高等代數(shù)課程教學(xué)教法的改革和創(chuàng)新，必須兼顧數(shù)學(xué)素質(zhì)和邏輯的培養(yǎng)，以及應(yīng)用和背景的介紹和使用，貫徹以學(xué)生為主，通過(guò)各種教學(xué)手段和教學(xué)方法的改進(jìn)來(lái)提高學(xué)生對(duì)該課程的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、抽象思維能力，以及自主學(xué)習(xí)的能力，為以后的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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