“小題大做”

王海燕

[摘 要] 上好一輪復(fù)習(xí)課，對學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)好數(shù)學(xué)，發(fā)展思維能力，適應(yīng)選拔性考試的需要的重要性大家都是很清楚的. 真正上好復(fù)習(xí)課并不是輕而易舉的事，復(fù)習(xí)課要盡量使學(xué)生感到有收獲、有樂趣、不枯燥乏味. 如果不精心安排，不精心設(shè)計，就達不到預(yù)期的效果.

[關(guān)鍵詞] 發(fā)散思維；小題大做

高考一輪復(fù)習(xí)是目前數(shù)學(xué)教學(xué)中很重要的一部分. 很多教師都認為復(fù)習(xí)課不好上，效率低，平時一貫的做法是：復(fù)習(xí)基本知識與方法，例題精講，課后練習(xí)鞏固.實際上，基礎(chǔ)復(fù)習(xí)往往流于形式，大量的時間、精力浪費在解題上，基礎(chǔ)復(fù)習(xí)與解題教學(xué)“油水分離”，呈現(xiàn)的是“題海戰(zhàn)術(shù)”，一味地讓學(xué)生練習(xí)，造成一種“燙剩飯”的感覺.

基礎(chǔ)不扎實，復(fù)習(xí)就是無源之水、無本之木. 如何很好地復(fù)習(xí)基礎(chǔ)呢？知識的理解在于聯(lián)系，理解的深度在于應(yīng)用. 基礎(chǔ)復(fù)習(xí)與解題分離學(xué)生可能無興趣、不刺激，所以要注意兩者的有機融合，要注重選好“點”，然后從點到線，由線及面，做到以一點串一線、連一面；注意知識間縱橫間的聯(lián)系和比較，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，在幫助學(xué)生理清知識脈絡(luò)時，可根據(jù)復(fù)習(xí)內(nèi)容和教學(xué)信息容量的多少，分項、分步進行整理，將所學(xué)知識前后融會貫通，做好“小題大做”的文章.

案例：已知α∈R，sinα+2cosα=，則tan2α=（ ）（2013年浙江高考理科第6題）

A. B.

C.- D. -

看到這道高考題后，有似曾相識的感覺，直覺想到它應(yīng)該改編于sinα±cosα與sinαcosα這組關(guān)系式.首先，將題目難度降低，改編為：

若α為三角形的內(nèi)角，且sinα+cosα= -，求tanα的值.

在傳授新課時，往往受一些條件的限制，不能徹底地展開講解，而在復(fù)習(xí)課中則剛好可以彌補這一缺陷. 三角函數(shù)求值問題是三角函數(shù)問題的重要類型之一，此題可以從不同角度和不同層面展開分析討論.

[?] 常規(guī)消元，殊途同歸

因為tanα=，所以要求出tanα的值，基本思路是先求sinα，cosα的值，消元是基本方法，引導(dǎo)學(xué)生利用“sin2α+cos2α=1”進行求解.

解法一：聯(lián)立方程組

由條件可得sinα=--cosα，代入sin2α+cos2α=1中可得cos2α+·cosα-=0.

所以cosα=或 -.

當(dāng)cosα=時，sinα=-，則tanα=-3；

當(dāng)cosα=-時，sinα=，則tanα=-.

考慮到α為三角形的一個內(nèi)角，則sinα>0，所以tanα=-.

解法一的總結(jié)與反思：解法一直接利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，消去sinα的實質(zhì)是三角函數(shù)求值問題中“消除三角函數(shù)名稱差異”的變換方法，同時利用構(gòu)建方程組的思想使問題得以解決.只是在方程組求解過程中兩邊平方，這可能產(chǎn)生增根，必須檢驗，于是提出問題“在求解之前，能否先確定tanα的符號呢”.

變式題1：若sinα+cosα=，α為三角形內(nèi)角，判斷三角形的形狀.

要解決這個問題在于，可以對角α的范圍進行討論.利用三角函數(shù)線的知識來確定α的范圍，借此復(fù)習(xí)三角函數(shù)線的知識.

單位圓中（如圖1所示）：

當(dāng)α為第一象限角時，由sinα+cosα=MP+OM>OP，可知sinα+cosα>1.

當(dāng)α為第二象限角時，由sinα+cosα= MP-OM

由此可判定α為鈍角，三角形為鈍角三角形.

解法二：平方策略

利用“sin2α+cos2α=1”這一平方關(guān)系式，

可以將sinα+cosα=-兩邊平方得1+2sinαcosα=，

即2sinαcosα=-<0.

又α∈

，π

，則sinα>0，cosα<0.

又因為1-2sinαcosα=（sinα-cosα）2=，所以sinα-cosα=.

與sinα+cosα=-聯(lián)立，可得sinα=，cosα=-，則有tanα= -.

解法二的總結(jié)與反思：在三角函數(shù)的變換求值中，已知sinα+cosα或sinαcosα中的一個，可利用方程的思想求出另外兩個式子的值.此解法雖然過程復(fù)雜，但“平方策略”屬于常見的解題方法，思路清晰，步驟清楚，是最容易在直覺中產(chǎn)生的解法. 解法二適時地對角的范圍進行討論，這充分體現(xiàn)了“函數(shù)問題，范圍先行”的解題原則.

變式題2：求y=sinα+cosα+sinαcosα的范圍.

利用解法二的思路，變式題中只要令sinα+cosα=t，則有sinαcosα=，換元可得y=t+，再通過配方，問題馬上迎刃而解. 解法二的實質(zhì)是希望通過求解sinα，cosα，再利用tanα=，進而求得tanα的值.我們可以聯(lián)系二次函數(shù)韋達定理得出下面的解法.

解法三：

sinαcosα=-，sinα+cosα=-.

易知sinα，cosα為方程x2+x-=0的兩實根x1=，x2=-.

由sinα>0，cosα<0可得sinα=，cosα=-，從而tanα=-.

解法四：

因為sinα+cosα=-，構(gòu)造式子cosα-sinα=A.

兩式分別平方相加可得A2=.

由cosα<0，sinα>0，則有cosα-sinα= -.

于是聯(lián)立上式與已知式子可輕松求得sinα=，cosα=-.

于是tanα= -.

有時候“無中生有”使題目多出一個條件，也不失為一種好的解題思路. 在數(shù)學(xué)解題過程中，合理地構(gòu)造形式相似，具有某種對稱關(guān)系的式子，通過適當(dāng)?shù)倪\算，往往能使問題得到巧妙的解決，收到事半功倍的效果.

[?] 透過現(xiàn)象，看透本質(zhì)

三角函數(shù)的求值問題，主要借助于消除三個方面的差異進行解答，即消除三角函數(shù)名稱差異或者式子結(jié)構(gòu)差異或者角度之間的差異.而在此題中，角度已經(jīng)統(tǒng)一了，如果我們能直接將條件中的sinα，cosα轉(zhuǎn)變?yōu)閠anα，將是解決這個問題的最直接、最有效的方法.

解法五：

利用sin2α+cos2α=1這一平方關(guān)系可求得（sinα+cosα）2=（sin2α+cos2α），

可得3tan2α+10tan2α+3=0，即（tanα+3）（3tanα+1）=0，

即tanα=-3或tanα=-.

當(dāng)tanα=-3時，sinα=，cosα= -，

這與sinα+cosα=-矛盾，所以tanα= -.

解法六：

設(shè)tanα=a，則有sinα=acosα，聯(lián)立sinα+cosα=-，

則sinα=-，cosα= -.

代入sin2α+cos2α=1中，

可得3a2+10a+3=0，于是a=-3或-.經(jīng)檢驗，a=-3舍去.

解法五利用常數(shù)代換的思想將“1”換成“sin2α+cos2α”，再根據(jù)齊次式的特征，直接求得了tanα的值. 解法六的本質(zhì)是通過換元使得問題得到簡化，同時體現(xiàn)了解題中常用的“求什么，設(shè)什么”的思想方法.

[?] 回歸定義，追本溯源

以上所有的解法都用到了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，其實三角函數(shù)的基本關(guān)系式是由定義推導(dǎo)得出的，定義是一切問題的根本.

解法七：

設(shè)P（a，b）為角α終邊上任意一點，P到原點O的距離為r，則r=，sinα=，cosα=，代入已知式子中有+= -.

兩邊平方得（a+b）2=（a2+b2），化簡可得3a2+10ab+3b2=0.

即（3a+b）（a+3b）=0. 經(jīng)檢驗，tanα= -3舍去，則tanα=-.

利用三角函數(shù)的定義解題是比較容易忽視的方法，應(yīng)充分認識定義的解題價值，回歸定義，經(jīng)常會有特別的收獲.解題是不斷嘗試的過程，需要信心和敢想敢做的勇氣，很多巧妙的解題方法都來源于大膽的想法，始終要相信題目都是從定義“編”出來的.

[?] 因時而異，順勢而導(dǎo)

結(jié)合2013年這道高考題，將題目改為選擇題：

若α為三角形的內(nèi)角，sinα+cosα= -，則tanα等于（ ）

A. - B. -3

C. D. 3

將題目變?yōu)檫x擇題后，可以從選擇支的角度重新分析這個題目. 我們經(jīng)常會說，選擇題不要“小題大做”，做選擇題要靈活多變，可以采用排除法、特殊值法、轉(zhuǎn)化法等多種方式求解. 觀察分析和聯(lián)想能力在解題能力中有很重要的地位，聯(lián)想有關(guān)的公式和常見變形，sinα+cosα的常見變形還有：sinα+cosα=sin

α+

. 于是，對已知條件進行適當(dāng)變形， 進而求出α所在區(qū)間，再利用三角函數(shù)性質(zhì)求解.

解法八：

由sinα+cosα=sin

α+

= -，

得到sin

α+

=-<0.

從而π<α+<π，即<α<π.

又y=tanα在

π，π

上遞增，所以 -1

解法九：利用排除法求解

由上面的解法可得α是鈍角，又sinα+cosα<0，則

sinα

<

cosα

，從而

tanα

<1，則tanα=-，答案為A.

解法九的收獲：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，要培訓(xùn)對數(shù)據(jù)的敏感性，能根據(jù)數(shù)據(jù)特征進行積極聯(lián)想，進而適當(dāng)?shù)夭孪牒驼撟C，這樣能有效地提高解題速度. 我們從多個角度分析同一問題，就會得到多種解法.這樣在能力提到提高的同時，同學(xué)們的成就感也會隨著每做出一道題而增強，并且在解答題目的不同途徑中，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會越來越濃.

解法十：由sinα+cosα=-容易聯(lián)想到sinα與cosα的一對數(shù)據(jù)：與-.

當(dāng)sinα=，cosα=-時，可以滿足題設(shè)要求，則tanα=-.

再回到2013年的高考題：

已知α∈R，sinα+2cosα=，則tan2α等于（ ）

A. B.

C. - D. -

以上這些解法都適合這道高考題，但觀察到高考題與改編例題最大的區(qū)別在于所求結(jié)果不同，根據(jù)已知條件與所求結(jié)果中角的關(guān)系不統(tǒng)一，解決這個高考選擇題的最佳方法是通過公式統(tǒng)一角度.

由已知可得（sinα+2cosα）2=，化簡得到sin2α+4sinαcosα+4cos2α=. 于是2sin2α+3cos2α=，則有2sin2α+cos2α=0，所以tan2α=-.

以小題大做、一題多解的形式上復(fù)習(xí)課，就是在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中把一些小題作為范例，利用它起點低、入手易的特點，在這些題上大做文章，或變換它的角度，或把它引申、拓展、變式等，以便深化學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解，完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性. 這樣，學(xué)生腦海中儲存的大量信息就會被充分地調(diào)動起來，從一道題中找出不同的切入點和突破點，運用不同的數(shù)學(xué)方法求解.通過這樣一題的講解練習(xí)，學(xué)生能夠解決相關(guān)的一系列問題.如果說新授課是“畫龍”，復(fù)習(xí)課則是“點睛”，達到溫故知新、提高能力的目的. 復(fù)習(xí)課切實有效，就要同時兼顧不同層次的學(xué)生，使每一位學(xué)生都學(xué)有所得.