啟迪數(shù)學(xué)思維，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)
——平行四邊形的面積練習(xí)課的實(shí)踐與思考

浙江杭州市蕭山區(qū)益農(nóng)鎮(zhèn)中心小學(xué) 李國(guó)良

啟迪數(shù)學(xué)思維，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)
——平行四邊形的面積練習(xí)課的實(shí)踐與思考

浙江杭州市蕭山區(qū)益農(nóng)鎮(zhèn)中心小學(xué) 李國(guó)良

練習(xí)課在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有很重要的地位，它是對(duì)新知識(shí)的鞏固、發(fā)展與提升。平行四邊形課后練習(xí)11個(gè)小題有一半以上內(nèi)容是對(duì)平行四邊形面積的進(jìn)一步理解，特別是涉及面積大小的兩個(gè)要素底和高。筆者試著對(duì)其內(nèi)容進(jìn)行整合，在重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的同時(shí)，構(gòu)建起突出數(shù)學(xué)的基本思想和本質(zhì)的課堂，以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

啟迪 思維 本質(zhì)

【教材分析】

思維是人腦對(duì)客觀事物的一般特性和規(guī)律的一種間接的、概括的反映，它是認(rèn)知的核心成分。數(shù)學(xué)是思維的體操，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)學(xué)會(huì)思考，促進(jìn)其思維發(fā)展是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，也是每一位數(shù)學(xué)教師所應(yīng)追尋的價(jià)值取向。

人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第六單元練習(xí)十九，是一節(jié)學(xué)習(xí)了“平行四邊形的面積計(jì)算公式”后的專項(xiàng)練習(xí)課。教材中除了緊接新授課安排的一些簡(jiǎn)單計(jì)算和解決問題（1～5題）之外，有一半以上的篇幅（6～11題）涉及對(duì)平行四邊形面積的進(jìn)一步理解以及在理解的基礎(chǔ)上解決問題，其中第6、7、8三道題（如圖2～圖4）主要涉及平行四邊形面積的決定要素——底和高；而第5題（如圖1），更像把平行四邊形放在了一個(gè)坐標(biāo)系中進(jìn)行研究。細(xì)細(xì)分析這些題目，它們的最大特點(diǎn)是通過對(duì)面積的計(jì)算來理解平行四邊形的面積與其高和底的相關(guān)性，發(fā)展學(xué)生分析問題、思考問題的能力。

【教學(xué)實(shí)踐】

怎樣有效地利用這些題目，讓學(xué)生通過解決問題，實(shí)現(xiàn)在認(rèn)知和思維能力上得到進(jìn)一步的發(fā)展？筆者抓住問題本質(zhì)，以學(xué)生存在疑問的點(diǎn)為切入口，將題目進(jìn)行有機(jī)整合，以便關(guān)注平行四邊形面積的本質(zhì)，啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、在比較辨析中，進(jìn)一步理解“高”與平行四邊形面積的關(guān)系

平行四邊形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)主要是通過割補(bǔ)法來得出，而學(xué)生在新授課時(shí)容易把平行四邊形的面積計(jì)算方法定位在“底×鄰邊”上。因此，“高”是決定平行四邊形面積的其中一個(gè)因素，必須進(jìn)一步加以理解。

課始，進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的基本練習(xí)之后，筆者抓住：“根據(jù)平行四邊形易變形的特性，把它進(jìn)行拉動(dòng)，思考平行四邊形的面積是否發(fā)生變化？”課件出示平行四邊形的拉動(dòng)過程，并將其中兩個(gè)平行四邊形作為研究對(duì)象，輔之以網(wǎng)格圖（如圖5），在引導(dǎo)學(xué)生作出判斷并用自己的方法加以證明。很快，有的學(xué)生通過“整體剪拼”的方法，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，并得出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相等、寬不同，因此面積不同；有的學(xué)生則通過計(jì)算，得出第一個(gè)平行四邊形的面積為18cm2，第二個(gè)平行四邊形的面積為12cm2，兩者面積不同；有的學(xué)生則從平行四邊形的面積計(jì)算公式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)平行四邊形底相同，高不同，第一個(gè)平行四邊形的面積更大。

圖5

圖6

在此基礎(chǔ)上，筆者出示圖6兩個(gè)平行四邊形，讓學(xué)生比較它們之間的面積大小。有了剛才的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快得出結(jié)論，兩個(gè)平行四邊形的面積一樣大，因?yàn)樗鼈兊缀透咭粯印ｋS后，把圖6中右邊的平行四邊形移動(dòng)到與左邊圖形的底重合（如圖7），接著再出現(xiàn)一個(gè)平行四邊形（如圖8），進(jìn)一步明確等底等高的平行四邊形面積相等。

通過兩組素材的對(duì)比，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到了底和高作為平行四邊形的兩個(gè)重要元素，決定了平行四邊形的面積大小。當(dāng)然，作為特殊的平行四邊形，長(zhǎng)方形的面積由它的長(zhǎng)和寬決定。這一點(diǎn)學(xué)生也在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，有了更深的體會(huì)。之所以將這兩個(gè)問題進(jìn)行整合，是因?yàn)樗鼈冎幸唤M是等底等高的平行四邊形，另一組是等底但不等高的平行四邊形。在處理教材時(shí)，我們需看到它們的不同之處，更應(yīng)看到它們背后的本質(zhì)問題，即在底相等的情況下，高決定了平行四邊形的面積大小。

圖7

圖8

二、在動(dòng)靜結(jié)合中，進(jìn)一步理解“同底”條件下平行四邊形的面積關(guān)系

在完成第一個(gè)環(huán)節(jié)后，筆者繼續(xù)利用剛才的素材進(jìn)行提問：第一組的平行四邊形拉動(dòng)時(shí)，什么時(shí)候面積最大？為什么？學(xué)生通過觀察和思考，以及對(duì)平行四邊形面積計(jì)算公式的理解，很快發(fā)現(xiàn)在底不變的情況下，高最大時(shí)面積也最大。當(dāng)拉成長(zhǎng)方形時(shí)，高也就是長(zhǎng)方形的寬是最大的，此時(shí)，平行四邊形就是長(zhǎng)方形，面積最大。筆者繼續(xù)追問：有沒有面積最小的時(shí)候？學(xué)生自然順著前面的思路回答：有，當(dāng)高為0的時(shí)候，平行四邊形面積最小。筆者沒有急于下結(jié)論，而是問：再想想，如果高為0，這個(gè)平行四邊形會(huì)怎樣？此時(shí)，出現(xiàn)了不同的聲音：

生1:當(dāng)高是0時(shí)，平行四邊形就變成了一條線段，它的面積最小。

生2:高不能是0，如果高是0，那平行四邊形就沒有了。

看到學(xué)生已經(jīng)隱約感受到了高的取值范圍，筆者表示贊同第二種意見：平行四邊形的高無限接近0，因此它的面積也無限接近0，但不會(huì)等于0，否則就不能稱之為平行四邊形了。

學(xué)生在新授課中通過剪拼等方法得出平行四邊形的面積計(jì)算公式后，容易將之它視為孤立的、靜態(tài)的規(guī)則。因此設(shè)計(jì)這樣一個(gè)環(huán)節(jié)，使靜態(tài)化計(jì)算面積的方法動(dòng)起來，并進(jìn)一步體會(huì)高的變化引起的面積變化。另一方面，也讓學(xué)生適當(dāng)?shù)伢w驗(yàn)變量的取值范圍，初步滲透極限思想。

三、在圖形變化中，進(jìn)一步理解“底和高”兩個(gè)維度與面積之間的關(guān)系

緊接著，筆者趁熱打鐵，先后出示了以下內(nèi)容（如圖9～圖10），使學(xué)生加深對(duì)平行四邊形中底和高的作用的認(rèn)識(shí)。

圖9

圖10

學(xué)生通過兩組圖形的觀察、思考和交流，進(jìn)一步加深了對(duì)平行四邊形的面積大小由底和高決定的理解。

在觀察兩組圖形時(shí)，學(xué)生發(fā)表了如下意見：

生1：（圖9）豎的那一組平行四邊形底不變，高在變，面積也在變，它們的面積變大了；橫的那一組圖形，底在變長(zhǎng)，高不變，面積也變大了。

生2：（圖10）平行四邊形的底和高都在變化，它的面積變化更大了。

教師追問：看來，是誰決定了平行四邊形的面積大?。?/p>

生：平行四邊形的底和高決定了平行四邊形的面積大小。

師：那長(zhǎng)方形呢？

生：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。

師：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與平行四邊形的底和高有什么相同之處？

生：它們都是朝著橫和豎兩個(gè)方向的。

在此基礎(chǔ)上，教師出示面積單位cm2、dm2、m2、km2，請(qǐng)學(xué)生說說對(duì)這些單位的理解。一開始學(xué)生對(duì)這些面積單位沒有特別的感受，于是，筆者提醒學(xué)生應(yīng)與剛才的發(fā)現(xiàn)相結(jié)合，在教師的提示下，學(xué)生逐漸有所感悟。

生1：這些單位都有平方，單位右上角都有一個(gè)“2”。

生2：這些單位表示cm×cm，dm×dm，m×m，km×km。

生3：這些單位表示（圖形的）兩個(gè)方向（維度）相乘。

隨后，筆者繼續(xù)設(shè)疑（出示圖11），要求計(jì)算出三個(gè)平行四邊形A、B、C的面積，并分析比較底和高的變化與面積變化的關(guān)系。

圖11

生1：A的面積是6×5=30，B的面積是12×10=120，C的面積是24×20=480。

生2：我發(fā)現(xiàn)圖形A與圖形B之間，底擴(kuò)大2倍，高擴(kuò)大2倍，而面積擴(kuò)大了4倍。

生3：圖形B與圖形C之間，底擴(kuò)大2倍，高擴(kuò)大2倍，面積就擴(kuò)大了4倍。

生4：圖形A與圖形C之間，底擴(kuò)大4倍，高擴(kuò)大4倍，面積是30和480，面積擴(kuò)大了16倍。

生5：這些圖形的底與高和面積之間的倍數(shù)關(guān)系是底擴(kuò)大的倍數(shù)乘高擴(kuò)大的倍數(shù)，就是面積擴(kuò)大的倍數(shù)。

這一環(huán)節(jié)是對(duì)前面兩個(gè)環(huán)節(jié)的整合與發(fā)展，通過圖形之間的整體變化讓學(xué)生進(jìn)一步理解平行四邊形的底和高與面積的關(guān)系，幫助學(xué)生通過遷移、拓展，從整體的視野來加深對(duì)兩種平面圖形的面積及其計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)，同時(shí)在學(xué)習(xí)與思考的過程中，理解底和高的變化與面積變化之間的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)三角形、梯形等平面圖形的面積打下認(rèn)知基礎(chǔ)。

從二維的角度去分析面積及面積的計(jì)量單位，有助于幫助學(xué)生將圖形、面積計(jì)算公式、面積單位及面積單位間的進(jìn)率有機(jī)統(tǒng)一起來，形成整體，便于理解。學(xué)生對(duì)面積的二維性質(zhì)的理解，也有助于為后續(xù)更好地理解立體圖形的相關(guān)內(nèi)容做準(zhǔn)備。

【教學(xué)反思】

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間等的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！边@為我們的數(shù)學(xué)教學(xué)指明了方向：在重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí)，更應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)的基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。當(dāng)教材中出現(xiàn)能夠發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維、拓寬學(xué)生視野的素材時(shí)，作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)有敏銳的嗅覺，及時(shí)捕捉住這些有價(jià)值的學(xué)習(xí)素材。

上述三個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)與研究，結(jié)構(gòu)上環(huán)環(huán)相扣，內(nèi)容上層層深入，緊緊抓住平行四邊形易變形的特性，從底不變、高的變化來分析平行四邊形的面積變化；再到等底等高面積相等，然后同底條件下研究什么情況下面積最大，什么情況下面積會(huì)越來越??；最后研究底和高均發(fā)生變化與面積變化之間的聯(lián)系。在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展數(shù)學(xué)基本技能的同時(shí)，學(xué)生的思維得到了充分發(fā)展。學(xué)生分析問題的角度慢慢從一個(gè)維度逐步向兩個(gè)維度推進(jìn)。

小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅需要教授數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)及其運(yùn)用能力，更需要通過數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授過程，著重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生的后續(xù)發(fā)展提供保障。例如，在“長(zhǎng)方形、正方形的周長(zhǎng)”單元中，教學(xué)時(shí)不僅要讓學(xué)生明白周長(zhǎng)計(jì)算的一般方法，而且還要讓學(xué)生明白有時(shí)只需要知道長(zhǎng)與寬的和，就能計(jì)算出它們的周長(zhǎng)。這樣，學(xué)生的思維就得到了一定的提升與發(fā)展。人教版教材中還安排了一節(jié)圖形的拼組：16個(gè)正方形拼成的長(zhǎng)方形和正方形，哪個(gè)周長(zhǎng)大，哪個(gè)周長(zhǎng)??？如果老師把這節(jié)拼組課作為基礎(chǔ)，再繼續(xù)深入的研究（如圖12），按圖中的拼法，拼成后的圖形周長(zhǎng)是多少？引導(dǎo)學(xué)生通過幾個(gè)正方形周長(zhǎng)之和減去重復(fù)邊的長(zhǎng)度和，那么拼成后的周長(zhǎng)和是2a（n＋1）。這樣學(xué)生不僅掌握了這類圖形拼組后計(jì)算周長(zhǎng)的一般規(guī)律，而且為六年級(jí)數(shù)形結(jié)合的規(guī)律探究打下了基礎(chǔ)（如圖13）。一張方桌每邊坐一個(gè)人，如果按下圖拼在一起，n張方桌可以坐多少人？這題的思路與圖12的思路完全一致，a=1，拼成后可以坐的人數(shù)為2（n＋1）人。

圖12

圖13

總之，教師要善于結(jié)合教學(xué)內(nèi)容、善于創(chuàng)造良好的思維環(huán)境來激發(fā)學(xué)生積極地思維，重視數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)來提高思維能力，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的教學(xué)來挖掘?qū)W生的思維潛能。