微積分教學(xué)專業(yè)化探索

【摘要】微積分是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的一門主要理論課程，傳統(tǒng)的微積分強(qiáng)調(diào)基本定義、定理及其證明，導(dǎo)致這門課程的專業(yè)服務(wù)性價(jià)值沒有很好地體現(xiàn)出來.本文以微積分中的泰勒公式在計(jì)算機(jī)專業(yè)中的應(yīng)用為例，對(duì)微積分的專業(yè)化探索起到拋磚引玉的效果.

【關(guān)鍵詞】微積分；專業(yè)化；泰勒公式

【基金項(xiàng)目】項(xiàng)目名稱：上海市高校青年教師培養(yǎng)資助計(jì)劃（高校線性代數(shù)課程教學(xué)專業(yè)化研究）；項(xiàng)目編號(hào)：ssy11021.

微積分是大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的一門主要理論課程，在普通高等院校本科生各專業(yè)中普遍開設(shè)，在培養(yǎng)具有良好數(shù)學(xué)素質(zhì)的應(yīng)用型人才方面起著特別重要的作用.因此，微積分的教學(xué)內(nèi)容和方向一直是高校數(shù)學(xué)教師們十分關(guān)心的問題.

傳統(tǒng)的微積分教學(xué)偏重自身的理論體系，強(qiáng)調(diào)微積分的基本定義、定理及其證明，教學(xué)內(nèi)容層層遞進(jìn)，邏輯性非常強(qiáng)，學(xué)生可以學(xué)到完整的微積分知識(shí)體系，但由于教學(xué)中缺乏與專業(yè)相關(guān)的內(nèi)容，各種版本教材甚少與學(xué)生所學(xué)專業(yè)領(lǐng)域相關(guān)，導(dǎo)致這門課程的專業(yè)服務(wù)性價(jià)值沒有很好地體現(xiàn)出來.因此，在統(tǒng)一教材的基礎(chǔ)上，開發(fā)出具有專業(yè)特色的微積分教學(xué)模塊變得尤為重要，本文正是對(duì)微積分在計(jì)算機(jī)專業(yè)的教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行探索.

本文介紹計(jì)算機(jī)是如何計(jì)算三角函數(shù)和反三角函數(shù)的，計(jì)算機(jī)只能計(jì)算加法，其他形式的運(yùn)算（減、乘、除等），都要轉(zhuǎn)換為加法進(jìn)行運(yùn)算.對(duì)三角函數(shù)的求解需要將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式的運(yùn)算，泰勒公式提供了理論依據(jù).

泰勒（Taylor）中值定理：如果函數(shù)f（x）在含有x0的某個(gè)開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)任一x∈（a，b），f（x）可以表示為（x-x0）的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)Rn（x）之和：f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+f″（x0）2?。▁-x0）2+…+f（n）（x0）n?。▁-x0）n+Rn（x），

其中Rn（x）=f（n+1）（ξ）（n+1）！（x-x0）n+1（ξ在x0與x之間）.

f（x）=∑nk=0f（k）（x0）k?。▁-x0）k+Rn（x）

稱為f（x）按（x-x0）的冪展開的帶有拉格朗日余項(xiàng)的n階泰勒公式，而Rn（x）的表達(dá)式稱為拉格朗日余項(xiàng).

在泰勒公式中，如果取x0=0，則ξ在0和x之間.因此，可以令ξ=θx（0<θ<1），從而泰勒公式變成較簡(jiǎn)單的形式，即所謂的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurin）公式：

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+f（n+1）（θx）（n+1）！xn+1（0<θ<1），

f（x）=f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn+o（xn）.

由上式可以得到近似公式：

f（x）≈f（0）+f′（0）x+f″（0）2！x2+…+f（n）（0）n！xn.

從泰勒中值定理可以知道，如果函數(shù)f（x）在含有x0的某個(gè)開區(qū)間（a，b）內(nèi)具有直到（n+1）階的導(dǎo)數(shù)，就可以將其求解轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式進(jìn)行計(jì)算，求解的精度取決于函數(shù)多項(xiàng)式展開的階數(shù)，并且誤差為拉格朗日余項(xiàng)的值，這樣為三角函數(shù)的計(jì)算機(jī)數(shù)值求解提供了方法，我們可以將三角函數(shù)用泰勒公式展開，然后轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式進(jìn)行求解.

本文以正弦函數(shù)為例，介紹求解過程，sin（x）展開為帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階麥克勞林（Maclaurin）公式：

sin（x）=x-x33！+x55！-…+（-1）m-1x2m-1（2m-1）！+R2m，

其中誤差R2m為R2m（x）=sinθx+（2m+1）π2（2m+1）！x2m+1=（-1）m-1cosθx（2m+1）！x2m+1（0<θ<1）.

這樣我們就可以根據(jù)需要的精度對(duì)sin（x）進(jìn)行展開，因?yàn)檎归_的階數(shù)越多精度越高，但是，運(yùn)算的時(shí)間就會(huì)更長(zhǎng)，因?yàn)閟in（x）等三角函數(shù)是計(jì)算機(jī)數(shù)值求解中常用的函數(shù)，在一個(gè)求解過程中會(huì)很多次地使用，同時(shí)，很多計(jì)算是有實(shí)時(shí)性要求的，就是說一個(gè)計(jì)算要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)執(zhí)行完成，這樣就需要找到合適的階數(shù)對(duì)正弦函數(shù)進(jìn)行展開.

下面本文以C語言為例，講解C語言實(shí)現(xiàn)sin（x）的過程.

#include///標(biāo)準(zhǔn)輸入輸出頭文件

#include///數(shù)學(xué)相關(guān)頭文件

#define COUNT 3///計(jì)算的次數(shù)，次數(shù)越多，精度越高，為3時(shí)，正好是5階

///求n的階乘，輸入n，返回n的階乘

int factorial（int_n）

{

///定義返回值，當(dāng)n小于等于1時(shí)，初值為1

int result=1；

while（_n>1）

{

result*=_n；

_n-=1；

}

return result；///返回計(jì)算結(jié)果

}

//#define M_PI3.14159265358979323846/*pi*/定義在math.h中

///正弦函數(shù)，輸入為角度值，為簡(jiǎn)化處理，輸入的值限制在[0，90]范圍

double sin（double_arc）

{

///角度轉(zhuǎn)換為弧度

_arc=（_arc*M_PI）/180；

///返回結(jié)果變量，為簡(jiǎn)化計(jì)算，初值為傳入的弧度值

double result=_arc；

///循環(huán)進(jìn)行計(jì)算，每一次循環(huán)，精度會(huì)增加

for（int i=1，sign=-1；i

{

int orderNumer=2*i+1；///orderNumer為計(jì)算的階數(shù)，在正弦函數(shù)中，偶數(shù)項(xiàng)為0，只需要計(jì)算奇數(shù)項(xiàng)的值

_arc+=sign*（1.0/factorial（orderNumer）*pow（_arc，orderNumer））；

}

///當(dāng)COUNT=3時(shí)，以上循環(huán)等價(jià)于下面的計(jì)算公式

///result=_arc-（1.0/factorial（3））*pow（_arc，3）+（1.0/factorial（5））*pow（_arc，5）；

return result；///返回計(jì)算結(jié)果

}

以上是用C語言實(shí)現(xiàn)的正弦函數(shù)的算法代碼，可以通過COUNT變量控制求解的精度，讓學(xué)生更加深刻地理解泰勒公式的含義與應(yīng)用，其他的三角函數(shù)和反三角函數(shù)可以通過類似的方法進(jìn)行計(jì)算，本文不再進(jìn)行展開.

C語言是計(jì)算機(jī)專業(yè)的一門基礎(chǔ)編程語言，通過C語言實(shí)現(xiàn)求解過程，可以使計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生更深入地了解泰勒公式及其表達(dá)的含義，以及結(jié)合自己的專業(yè)知識(shí)運(yùn)用泰勒公式，提高學(xué)習(xí)的興趣；更進(jìn)一步，可以推廣到將微積分的知識(shí)應(yīng)用到計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)習(xí)中，為微積分專業(yè)化探索起到拋磚引玉的作用.

微積分是大學(xué)數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程，本文通過其中的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)泰勒公式，對(duì)泰勒公式在計(jì)算機(jī)專業(yè)的應(yīng)用進(jìn)行展開，豐富了微積分課程與計(jì)算機(jī)專業(yè)的相關(guān)內(nèi)容，更好地體現(xiàn)了這門課程的專業(yè)服務(wù)性價(jià)值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)·上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]尹雪.線性代數(shù)教學(xué)專業(yè)化探索[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2013（5）：16.