初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的全等三角形解題策略初探

本人申報(bào)廣東教育學(xué)會(huì)2016年度教育科研規(guī)劃小課題《“滾雪球”在初中數(shù)學(xué)三角形全等專題教學(xué)中的實(shí)踐研究》（負(fù)責(zé)人：謝永福），經(jīng)小課題立項(xiàng)評(píng)審專家組評(píng)審，同意立項(xiàng)為廣東教育學(xué)會(huì)2016年度教育科研規(guī)劃小課題，課題編號(hào)GDXKT622 不能刪除

摘要：利用三角形全等是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想和方法。教師在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要善于引導(dǎo)和幫助學(xué)生總結(jié)三角形全等的方法和策略，并指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用這些策略來進(jìn)行探究和分析，使學(xué)生可以在解題過程中靈活應(yīng)用，得到運(yùn)籌帷幄。本文主要探究了三角形全等解題的一些有效方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成和解題能力的提高。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 三角形全等 解題策略

對(duì)于全等三角形的研究，實(shí)際是平面幾何中對(duì)封閉的兩個(gè)圖形關(guān)系研究的第一步。它是兩個(gè)三角形間最簡單，最常見的關(guān)系。學(xué)生通過對(duì)三角形之間的關(guān)系進(jìn)行觀察、操作、推理、想象，會(huì)發(fā)展學(xué)生的空間觀念，使學(xué)生可以更深刻地體會(huì)數(shù)學(xué)和圖形之間的關(guān)系，感受數(shù)學(xué)的魅力，在邏輯分析中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、巧用三角形全等證明兩線垂直

通過對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生在探究和實(shí)踐中會(huì)了解三角形全等的方式，通常會(huì)通過“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“斜邊直角邊”的判定方法來證明三角形全等。當(dāng)了解了三角形全等后，很多數(shù)學(xué)問題就會(huì)迎刃而解，使學(xué)生可以借助全等三角形的性質(zhì)和特點(diǎn)來進(jìn)行進(jìn)一步的證明和推理，完善自己的思維，提高自己的理解能力，在大腦中建構(gòu)出數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在解題過程中可以利用三角形全等來證明兩線垂直，這是三角形全等的一種常用法。例如：AD為△ABC的高，E為AC上一點(diǎn)，BE交AD與F，且有BF=AC，F(xiàn)D=CD，求證BE⊥AC。解決本題的關(guān)鍵就是證明∠BEC=90°，而證明∠BEC=90°，也就是說∠EBC+∠BCE=90°。題目中已知AD為△ABC的高，BF=AC，F(xiàn)D=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB為90°，同時(shí)∠DBF+∠BFD=90°。所以證明本題的關(guān)鍵就是證明，這樣就可以證明∠BEC=90°。在對(duì)于∠BFD=∠BCE的過程中，學(xué)生就可以利用三角形全等的性質(zhì)，這樣問題就順利解決了。解題過程中學(xué)生利用三角形全等來證明三角形中的內(nèi)角相等，之后利用三角形內(nèi)角和相等就可以證明兩直線的垂直。學(xué)生在解題過程中要善于利用自己的邏輯思維和推理判斷以及對(duì)于知識(shí)的遷移能力，使學(xué)生可以靈活地轉(zhuǎn)化已知條件之間的關(guān)系，證明三角形全等，之后進(jìn)一步對(duì)個(gè)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明，提高自己的思維能力。

二、“倍長中線法”構(gòu)造全等三角形

全等三角形的應(yīng)用是非常廣泛的，學(xué)生在解題過程中要善于轉(zhuǎn)化和構(gòu)造，使已知的數(shù)學(xué)條件可以得到充分地利用。在學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行加工和處理過程中，教師要適時(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)撥、引導(dǎo)，盡可能調(diào)動(dòng)所有學(xué)生的積極性，使學(xué)生的思維可以運(yùn)轉(zhuǎn)起來，主動(dòng)地判斷各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，成為學(xué)習(xí)的主體，提高數(shù)學(xué)解題能力。例如：已知△ABC中，AD為△ABC的中線，且AB=8cm，AC=5cm，如圖所示，求中線AD的取值范圍。為了能夠探究AD的取值范圍，學(xué)生可以借助全等三角形的性質(zhì)和定理來進(jìn)行推理判斷?？墒穷}目中并沒有已知的可利用的全等三角形，學(xué)生就可以通過做輔助線的方式來自己構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而借助全等三角形的性質(zhì)來進(jìn)行知識(shí)的分析和數(shù)量關(guān)系的判斷。為了構(gòu)造全等三角形，學(xué)生可以做BE//AC交AD的延長線于E，通過已知信息，學(xué)生可以看到這樣就出了△ADC≌△EDB，有了這個(gè)條件，接下來的問題就簡單了很多。因?yàn)槿热切巍鰽DC≌△EDB，所以AE=2AD，BE=AC=5；在對(duì)于本題的證明中，學(xué)生需要明確在△ABE中，有AB+BE>AE，AB-BE<2AD，這樣學(xué)生就可以設(shè)AD的長度為x，這后對(duì)這個(gè)x的取值范圍進(jìn)行計(jì)算既可以了。學(xué)生在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，借助已知的條件來創(chuàng)造為自己服務(wù)的條件，了解知識(shí)的形成過程，體會(huì)了一種分析問題的方法。

三、捕捉特殊條件多角度巧構(gòu)三角形全等

在對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和探究過程中，教師要充分地發(fā)揮自己課堂主導(dǎo)的地位，使學(xué)生可以真正地成為學(xué)習(xí)主體。教師可以給學(xué)生提供練習(xí)題，并引導(dǎo)學(xué)生自主探究，積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生捕捉特殊條件從多角度來構(gòu)建全等三角形。例如：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC邊上的中點(diǎn)，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，∠AMB=∠DMC。

解題過程中學(xué)生可以借助輔助線，如圖，延長AD至F，使得CF⊥AC.

∵AB⊥AC，AD⊥BM，

∴∠ABM=∠DAC，

在△ABM與△CAF中，∠ABM=∠DAC，AB=CA，∠BAM=∠ACF，

所以△ABM≌△CAF，

∴∠BMA=∠F，AM=CF，

在△FCD與△MCD中，CM=CF，∠MCD=∠FCD，CD=CD，

所以△FCD≌△MCD，

∴∠F=∠CMD，

∴∠AMB=∠DMC.

解題過程中，學(xué)生要充分地發(fā)揮自己的想象力來做出輔助線，輔助線給學(xué)生營造了思維馳騁的空間，有效地幫助學(xué)生進(jìn)行思維的想象和拓展，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行拓展思維和發(fā)散思維，在探究中明確各個(gè)數(shù)量關(guān)系，更好地利用全等三角形來進(jìn)行證明。

總之，在解決數(shù)學(xué)問題中，學(xué)生要大膽地進(jìn)行聯(lián)想和想象，充分地利用已知條件來建構(gòu)全等三角形，這樣學(xué)生的思維就得到了鍛煉，積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，簡化了數(shù)學(xué)問題，有利于學(xué)生更好的理解數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)。在經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過程中，學(xué)生分類、探究、合作、歸納等能力也得到了提高和鍛煉。有利于學(xué)生綜合素質(zhì)的提高。

參考文獻(xiàn)：

1.劉秀華 “全等三角形”中常見錯(cuò)誤與分析[J] 初中生世界 2013（10）

2.姚世峰 “全等三角形”中的?？键c(diǎn)[J] 中學(xué)生數(shù)理化：八年級(jí)數(shù)學(xué)（北師大版） 2012（7）