數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用

吳懌晨

摘要：數(shù)與形是現(xiàn)代數(shù)學(xué)體系中的基礎(chǔ)概念，在解決高中實際數(shù)學(xué)問題時，常常通過觀察幾何圖形去解決代數(shù)問題，而幾何問題也能通過代數(shù)方法思考，因此“數(shù)形結(jié)合”的思想是數(shù)學(xué)中常用的技巧。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識體系中較為抽象的內(nèi)容，在學(xué)習(xí)和理解時面臨著許多困難和挑戰(zhàn)，而通過數(shù)形結(jié)合的思想，能將抽象概念與具象圖形聯(lián)系起來，從而讓三角函數(shù)解析過程化難為易。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想 三角函數(shù) 高中數(shù)學(xué) 應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)這一章節(jié)是大部分同學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)解析式和函數(shù)值大小比較讓很多人頭痛，在學(xué)習(xí)這些知識時很多人無法領(lǐng)悟到抽象概念，做題幾乎處于模糊狀態(tài)。其原因與不理解三角函數(shù)圖像有關(guān)，以下將結(jié)合具體例題，通過數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)的學(xué)習(xí)問題。

一、數(shù)形結(jié)合思想概述

我國數(shù)學(xué)界泰斗華羅庚曾針對數(shù)形結(jié)合思想作了一首著名的詩：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”所謂數(shù)形結(jié)合思想，就是以數(shù)學(xué)問題的提出條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系為依據(jù)，對其代數(shù)與幾何意義進(jìn)行分析，將數(shù)量關(guān)系與空間形式巧妙結(jié)合起來，并在此基礎(chǔ)上尋求解題之道的思想?！皵?shù)”與“形”分別反應(yīng)了事物一體兩面的屬性，具有整體意義，若單獨(dú)強(qiáng)調(diào)其中的某一項是沒有實際意義的。在高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)形結(jié)合的主要應(yīng)用就是將函數(shù)圖像應(yīng)用到解題過程中，達(dá)到以形求數(shù)或以數(shù)化形的目的。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中三角函數(shù)解題中的具體應(yīng)用

在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，重難點(diǎn)主要存在于對函數(shù)公式的記憶、對函數(shù)值正負(fù)號的確認(rèn)、函數(shù)值大小比較、定義域區(qū)間以及方程求根個數(shù)，在解題過程中只要能靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，通過畫出函數(shù)圖象輔助解題，并結(jié)合注意觀察象限就能一目了然的得出正確結(jié)果。

（一）函數(shù)定義域求解

在求解三角函數(shù)定義域過程中，數(shù)形結(jié)合思想主要是通過對函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行分析，在保證函數(shù)式各部分均存在意義的前提下，列出對應(yīng)的不等式，解析不等式后，取各個不等式的∩。具體解法包括單位圓法和函數(shù)圖象法兩種數(shù)形結(jié)合方法，前者是在單位圓中畫出對應(yīng)的角，再標(biāo)出邊界三角函數(shù)，取重疊區(qū)域；后者是在函數(shù)圖象中尋求符合條件的邊界角，再寫出相應(yīng)集合。

三、結(jié)語

綜上，數(shù)形結(jié)合思想的實質(zhì)在于代數(shù)與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化，這就要求我們在平時注意總結(jié)三角函數(shù)的常用圖象、拋物線圖形以及各自的表示，并將其靈活運(yùn)用到具體的解析式當(dāng)中，從而加深對三角函數(shù)的理解，提升解題能力。

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（作者單位：湖南省長沙市第一中學(xué)）