高職高考中數(shù)列求和的幾種方法和技巧

陳偉

【摘要】據(jù)統(tǒng)計(jì)，2006年以來(lái)職業(yè)院校累計(jì)為中國(guó)輸送了近8000萬(wàn)名畢業(yè)生，占新增就業(yè)人口的60%，成為中國(guó)中高級(jí)技術(shù)技能人才的主要來(lái)源.魯昕表示，職業(yè)教育已成為中國(guó)發(fā)展實(shí)體經(jīng)濟(jì)、轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式、推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整和新型城鎮(zhèn)化建設(shè)的重要支撐.要在全社會(huì)倡導(dǎo)尊重職業(yè)人才的價(jià)值觀，營(yíng)造“崇尚一技之長(zhǎng)、不唯學(xué)歷憑能力”“行行出狀元”的濃厚氛圍.數(shù)列的應(yīng)用在高職高考中占了解答題的25%～28%的分值.數(shù)列的求和是數(shù)列大題必考題目.要想更好地完成數(shù)列的求和問(wèn)題，必須了解在廣東省高職高考數(shù)學(xué)試題中數(shù)列求和大致的幾種題型，掌握解題的方法和技巧，做到觸類旁通，胸有成竹.以下是筆者對(duì)近幾年廣東省高職高考數(shù)學(xué)試題中有關(guān)數(shù)列求和問(wèn)題的歸納和小結(jié).

【關(guān)鍵詞】職業(yè)教育；高職高考；數(shù)列求和

一、直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和

例1中將9寫成（10-1），99寫成（100-1），…，99…9寫成（10n-1），不難看出10，100，…，10n成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=a1（1-qn）1-q求和.

相關(guān)高職高考題：

（2014年）已知數(shù)列{an}滿足an+1=2+an（n∈N*），且a1=1.

例2中數(shù)列經(jīng)過(guò)拆分得（1+2+3+…+n）和12+14+18+…+12n 兩個(gè)部分，前者是等差數(shù)列求和，后者是等比數(shù)列求和.

相關(guān)高職高考題：

（2012年）已知函數(shù)f（x）=ax+b，滿足f（0）=1，f（1）=2.

（1）求a和b的值；

（2）若數(shù)列{an}滿足an+1=3f（an）-1（n∈N），且a1=1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）若cn=anan+1（n∈N），求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.

考題解析：?jiǎn)栴}（3）列出{Cn}的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)可以才分成（1+1+1+…1）和12+12×3+12×32+…+12×3n-1，后者為公比為13的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式求之.

三、錯(cuò)位相減法求和

錯(cuò)位相減法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}，{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.

例3求數(shù)列22，422，623，…，2n2n，…前n項(xiàng)的和.

解Sn=22+422+623+…+2n2n，①

12Sn=222+423+…+2n2n+1.②

（設(shè)置錯(cuò)位）

①-②得：1-12Sn=22+222+223+…+22n-2n2n+1（錯(cuò)位相減）

=2-12n-1-2n2n+1，

∴Sn=4-n+22n-1.

例3中②式為設(shè)置的錯(cuò)位，在①式兩邊同時(shí)乘分母的公比即可，最后兩式相減，其中22+222+223+…+22n為等比數(shù)列前n項(xiàng)和，解之.

相關(guān)高職高考題：

（2009年）已知數(shù)列{an}滿足a1=b（b是常數(shù)），an=2an-1-2n-1（n=2，3，…）.

證明（1）數(shù)列an2n是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Tn.

解（1）∵an+12n+1-an2n=-12，且a121=b2，

縱觀近十年廣東高職高考題，裂項(xiàng)法求和主要用于an=nn（n+1）和an=nn+n+1這兩種情況.

相關(guān)高職高考題：

（2008年）設(shè)f（x）=2xx+2（x≠-2）.令a1=1，an+1=f（an），又bn=anan+1，n∈N*.

（1）證明1an是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

解（1）（2）略.

考題解析：數(shù)列的通項(xiàng)為f（n）=c（n+a）（n+b）或f（n）=|b-a|n+a+n+b時(shí)一般都可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和.

結(jié)尾語(yǔ)

廣東省高職高考試題中數(shù)列的求和題型基本為以上幾種，筆者歸納于此，希望能為考生提供一定的幫助.

【參考文獻(xiàn)】

[1]周朝陽(yáng)，劉意.高等職業(yè)院校招生考試復(fù)習(xí)教材·數(shù)學(xué)[M].北京：中國(guó)原子能出版社，2012.

[2]2008年—2015年廣東省高職高考數(shù)學(xué)試卷[Z].