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    “平面與平面垂直”教學(xué)設(shè)計(jì)

    2017-04-18 18:34:22蔣頡
    關(guān)鍵詞:線面二面角性質(zhì)

    蔣頡

    一、課程分析

    平面與平面垂直關(guān)系是線線垂直、線面垂直、面面垂直關(guān)系中的最高層次.通過(guò)線面垂直轉(zhuǎn)化為面面垂直,是一種判定兩平面垂直的重要方法;利用平面與平面垂直的性質(zhì)可以證明線面垂直,也是做平面垂線的重要方法,因此,線線垂直、線面垂直、面面垂直這三者之間的關(guān)系非常密切,可以相互轉(zhuǎn)化,本節(jié)的學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著極其重要的地位.

    二、設(shè)計(jì)思路

    本課為新授課,積極踐行新課程理念,學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿和練習(xí),高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)倡導(dǎo)自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式.學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程要成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過(guò)程,教師應(yīng)充當(dāng)指導(dǎo)者、合作者、組織者、促進(jìn)者和助手的角色,與學(xué)生共同經(jīng)歷知識(shí)探究的過(guò)程,使學(xué)生以探索者、研究者的身份,動(dòng)腦思、動(dòng)手做、動(dòng)眼看、動(dòng)口議、動(dòng)筆寫(xiě)、動(dòng)耳聽(tīng)、動(dòng)情讀,全身心地參與學(xué)習(xí)活動(dòng).

    根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn),教師挖掘教材中的探究點(diǎn),創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境,形成師生、生生之間多向的討論、交流與合作,以設(shè)疑、激疑、導(dǎo)疑、釋疑來(lái)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的情意.

    遵循“探索—研究—運(yùn)用”即“觀察—思維—遷移”的三個(gè)層次要素,教師“誘”在點(diǎn)上,學(xué)生動(dòng)腦思,動(dòng)手做.由文字語(yǔ)言到圖形語(yǔ)言再到符號(hào)語(yǔ)言,使學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí),整個(gè)教學(xué)過(guò)程遵循“直觀感知—操作確認(rèn)—?dú)w納總結(jié)”的認(rèn)知規(guī)律,注重發(fā)展學(xué)生的合情推理能力,降低幾何證明的難度.

    三、教學(xué)目標(biāo)

    (一)知識(shí)技能

    1.能歸納出平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,并證明定理;

    2.通過(guò)對(duì)兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的作用的挖掘,進(jìn)一步體會(huì)線線垂直與線面垂直的密切關(guān)系,從而從更高的角度把握空間直線與平面的位置關(guān)系.

    (二)情感、態(tài)度與價(jià)值觀

    通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、證明的科學(xué)思維方式及辯證思維能力,體驗(yàn)成功的愉悅感受,增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),增強(qiáng)積極主動(dòng)的探究意識(shí),培養(yǎng)創(chuàng)新精神.

    四、重點(diǎn)、難點(diǎn)

    教學(xué)重點(diǎn):平面與平面垂直判定定理及性質(zhì)定理的理解及推導(dǎo).

    教學(xué)難點(diǎn):平面與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理的掌握及應(yīng)用.

    五、教學(xué)流程

    (一)情境導(dǎo)入,直觀感知

    1.創(chuàng)設(shè)情境,溫故求新.

    【課件投影】

    請(qǐng)回憶平面與平面垂直的定義.

    如果兩個(gè)平面所成的二面角是直角,就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.

    2.實(shí)踐經(jīng)驗(yàn),直觀感知

    通過(guò)教師引導(dǎo)學(xué)生觀察門(mén)總是與地面垂直的事實(shí),學(xué)生能發(fā)現(xiàn)面面垂直的判定定理,能用文字語(yǔ)言敘述判定定理,但不夠嚴(yán)謹(jǐn),默讀面面垂直的判定定理.

    (二)歸納研究,深化定理

    1.實(shí)踐確認(rèn)面面垂直的判定定理.

    (1)形成定理.

    兩個(gè)平面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直.

    (2)定理證明.

    已知:AB⊥β,ABα(圖1).求證:α⊥β.

    證明:設(shè)α∩β=CD,則由ABα知,AB、CD共面.

    ∵AB⊥β,CDβ,∴AB⊥CD,垂足為點(diǎn)B.

    在平面β內(nèi)過(guò)點(diǎn)B作直線BE⊥CD,則∠ABE是二面角α-CD-β是直二面角.

    ∴α⊥β.

    (3)應(yīng)用舉例.

    例1如圖2,已知AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任一點(diǎn),求證:平面PAC⊥平面PBC.

    證明∵AB是圓O的直徑,∴AC⊥BC,

    又∵PA垂直于⊙O所在的平面,∴PA⊥BC,

    ∴BC⊥平面PAC,又BC在平面PBC內(nèi),

    所以,平面PAC⊥平面PBC.

    說(shuō)明:由于平面PAC與平面PBC相交于PC,所以如果平面PAC⊥平面PBC,則在平面PBC中,垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC,這是尋找兩個(gè)平面的垂線的常用方法.

    2.實(shí)踐確認(rèn)兩個(gè)平面垂直的性質(zhì).

    (1)形成定理.

    由線面垂直可以得到面面垂直,那反之由面面垂直可否得到線面垂直,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作,學(xué)生能發(fā)現(xiàn)面面垂直的性質(zhì)定理,能用文字語(yǔ)言敘述性質(zhì)定理.

    (2)定理證明.

    如果兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

    已知:如圖3,α⊥β,ABα,AB⊥CD,α∩β=CD,求證:AB⊥β.

    分析:在β內(nèi)作BE⊥CD.

    要證AB⊥β,只需證AB垂直于β內(nèi)的兩條相交直線就行,而我們已經(jīng)有AB⊥CD,只需尋求另一條就夠了,而我們還有α⊥β這個(gè)條件沒(méi)使用,由α⊥β定義,則∠ABE為直角,即有AB⊥BE,也就有AB⊥β,問(wèn)題也就得到解決.可由學(xué)生寫(xiě)出證明過(guò)程.

    圖3

    圖4

    (3)應(yīng)用舉例.

    例2如圖4,已知AB是圓O的直徑,PA垂直于圓O所在的平面,C是圓周上不同于A,B的任一點(diǎn),求證:

    (1)平面PAC⊥平面PBC.

    (2)若PA=AC=BC,求AB和平面PBC所成的角.

    解過(guò)A作AD⊥PC于D,連接BD.

    由(1)平面PAC⊥平面PBC,∴AD⊥平面PBC,

    ∴∠ABC即為線AB與平面PBC所成線面角.

    設(shè)PA=AC=BC=a.

    在Rt△PAC中,AD=22a,

    在Rt△ABC中,AB=2a,

    ∴∠ABC=30°.

    (三)學(xué)以致用,應(yīng)用定理

    練習(xí)已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面,A為垂足.求證:平面PAC

    Symbol^A@ 平面PBD.

    (證明過(guò)程略)

    (四)總結(jié)反思,升華提高

    1.面面垂直的判定和性質(zhì).

    2.證明面面垂直的方法.

    (1)證明二面角為直角;

    (2)用面面垂直的判定定理.

    3.面面垂直線面垂直.

    (五)布置作業(yè)

    P52頁(yè)6、7、8.

    (六)課后反思

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