導(dǎo)數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

丁江

【摘要】證明不等式有很多種靈活的方法，但對(duì)于一些結(jié)構(gòu)特殊或較為復(fù)雜的不等式，直接利用比較、分析等傳統(tǒng)的證明方法，往往難以奏效，新課程中導(dǎo)數(shù)的引入給不等式的證明帶來了方便.

【關(guān)鍵詞】不等式證明；函數(shù)值；導(dǎo)數(shù)；證明方法

導(dǎo)數(shù)最早是在研究極值的問題中提出來的，導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)微積分的知識(shí)基礎(chǔ)，是進(jìn)行函數(shù)研究、解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵突破點(diǎn).無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)，導(dǎo)數(shù)研究的內(nèi)容主要集中在以下三個(gè)方面，即：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、尋找函數(shù)的極值以及導(dǎo)數(shù)對(duì)現(xiàn)實(shí)問題解決的具體應(yīng)用.

用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵在于函數(shù)模型的構(gòu)建，而函數(shù)模型構(gòu)建的關(guān)鍵是怎樣根據(jù)題目要求構(gòu)建一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，最后，根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)的求導(dǎo)方法把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值的問題.本文針對(duì)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值和具體的不等式證明方法進(jìn)行了詳細(xì)的案例研究，文章主要對(duì)三種常用方法進(jìn)行解答，旨在探尋系統(tǒng)的題目解答體系，增強(qiáng)學(xué)生的問題理解能力和開創(chuàng)性探索思維.

一、構(gòu)造法證明函數(shù)不等式

對(duì)于構(gòu)造函數(shù)不等式的方法具體可以分為以下三大步驟：

1.對(duì)于左右兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式或者是可變形化簡(jiǎn)為兩邊結(jié)構(gòu)相同的不等式，構(gòu)造函數(shù)f（x），使其成為f（a）>f（b）的形式.

2.對(duì)形如f（x）>g（x）的結(jié)構(gòu)形式，構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）.

3.通過求導(dǎo)找出單調(diào)性和最值進(jìn)行具體的證明.

例1已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-x，證明：當(dāng)x>-1時(shí)，函數(shù)式1-1x+1≤ln（x+1）≤x恒成立.

分析本題是一個(gè)雙邊不等式，右邊的函數(shù)值題目中已經(jīng)給出，重點(diǎn)在于左邊函數(shù)的證明，對(duì)于這種直接求導(dǎo)相對(duì)簡(jiǎn)單的不等式形式，我們可以利用直接構(gòu)造的方法進(jìn)行題目的求解.左邊可以構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)表達(dá)式，形如g（x）=ln（x+1）-1+1x+1，然后進(jìn)行求導(dǎo)證明，發(fā)現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間或者找出函數(shù)的極值即可進(jìn)行計(jì)算.

證明∵f′（x）=1x+1-1，

∴當(dāng)-10；當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）<0，

即函數(shù)在區(qū)間（-1，0）上為增函數(shù)；在區(qū)間（0，+∞）上為減函數(shù)，

∴x=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上取最大值.

即f（x）max=f（0）=0，

所以，當(dāng)x>-1時(shí)，

f（x）=ln（x+1）-x≤0，ln（x+1）≤x.

對(duì)于函數(shù)左邊的求證：令g（x）=ln（x+1）-1+1x+1，則g′（x）=1x+11-1x+1.

同理可得，當(dāng)-1

當(dāng)x>0時(shí)，g′（x）>0，

故函數(shù)在區(qū)間（-1，0）上為減函數(shù)；在區(qū)間（0，+∞）上為增函數(shù)，

∴x=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，+∞）上取最小值.

即g（x）min=g（0）=0.

所以，當(dāng)x>-1時(shí)，g（x）≥0，

即ln（x+1）-1+1x+1≥0，函數(shù)1-1x+1≤ln（x+1），

綜上所述，當(dāng)x>-1時(shí)，1-1x+1≤ln（x+1）≤x恒成立.

二、作差法證明函數(shù)不等式

作差法是證明不等式的一種常用方法，其操作簡(jiǎn)單，應(yīng)用難度小且學(xué)生容易掌握.一般來說，對(duì)于形如f（x）>g（x）或f（x）0或Z（x）<0即可.下面文章將通過一個(gè)具體的例題對(duì)此方法進(jìn)行詳細(xì)的解讀.

例2當(dāng)x>0時(shí)，證明x-x22

分析學(xué)生拿到題目后應(yīng)該首先分析本題的組成結(jié)構(gòu)，本題符合差數(shù)形式f（x）

證明令Z（x）=x-x22-ln（x+1）<0（x>0）.

將函數(shù)求導(dǎo)得Z′（x）=-x2x+1.

∵x>0，∴Z′（x）<0，

所以不等式x-x22

三、換元后求導(dǎo)再證明不等式

換元思想是我們?cè)谥袑W(xué)階段接觸到的最重要的數(shù)學(xué)解題思想，換元法可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，并且在三角函數(shù)、函數(shù)、數(shù)列、不等式等解答過程中都得到了具體的應(yīng)用.換元法又稱為等量替換法，其實(shí)質(zhì)就是對(duì)元的等量轉(zhuǎn)換，文章將從一個(gè)具體的例題對(duì)解不等式的換元法進(jìn)行詳細(xì)的解讀.

例3已知f（x2+1）=loga（4-（x2）2），則f（x）的值域?yàn)槎嗌伲?/p>

分析對(duì)于一般的函數(shù)求值域是比較簡(jiǎn)單的事情，但是本題的函數(shù)結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜，不能直接求出值域，因此，需要借助換元法減少變量，從而得出函數(shù)的值域.

解令t=x2+1，則x2=t-1，所以f（t）=loga[4-（t-1）2]，

因?yàn)閠≥1，4-（t-1）2>0，所以，1≤t<3，

所以f（x）的定義域?yàn)閇1，3），

所以f（x）的值域?yàn)閒（x）≤loga4.

以上便是對(duì)構(gòu)造法、作差法和換元法三種基本解題方法的基本闡述，眾所周知，導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要部分，利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性以及極值證明不等式是解決不等式問題的一個(gè)有效辦法，它可以使許多復(fù)雜的不等式問題簡(jiǎn)單化，從而更有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)和掌握.

【參考文獻(xiàn)】

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