孿生素?cái)?shù)及素?cái)?shù)分布的思考

李科

摘 要 本文通過(guò)一種全新的思路，利用不能用“素?cái)?shù)和”與“素?cái)?shù)因子乘積”表示的整數(shù)即為素?cái)?shù)的兩種思路，將整數(shù)以雙素?cái)?shù)和與素?cái)?shù)因子乘積的形式分別列入一個(gè)分布陣列表中，并通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)及孿生素?cái)?shù)的某些規(guī)律，并結(jié)合這些規(guī)律將孿生素?cái)?shù)猜想的形式轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺说谝粋€(gè)整數(shù)所在的行，其他行必須有第2列，且有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)在第2列換行”與“已知小素?cái)?shù)乘積不能表示的整數(shù)即為素?cái)?shù)”兩種新形式。再結(jié)合素?cái)?shù)性質(zhì)分步證明孿生素?cái)?shù)猜想。最后結(jié)合該表提出了兩種新的尋找已知素?cái)?shù)后下一個(gè)素?cái)?shù)的方法。

關(guān)鍵詞 素?cái)?shù) 孿生素?cái)?shù) 哥德巴赫猜想 數(shù)論 數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：O413 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2017）07-0001-03

素?cái)?shù)是指除了1和它本身以外不會(huì)被其他任何整數(shù)整除（正因數(shù)只有1和其本身）的自然數(shù)。很明顯，除了2都是奇數(shù)?！皩\生素?cái)?shù)”則是指兩個(gè)相差為2的素?cái)?shù)，例如3和5，5和7，2003663613195000-1和2003663613195000+1等。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得認(rèn)為存在無(wú)窮多對(duì)相差2的素?cái)?shù)，這就是孿生素?cái)?shù)猜想（及存在無(wú)窮多素?cái)?shù)P，使得P+2為素?cái)?shù)）。與哥德巴赫猜想一樣，未被公開(kāi)證明。其弱形式是“對(duì)任何一個(gè)正數(shù)，有無(wú)窮多對(duì)素?cái)?shù)之差小于這個(gè)給定的正數(shù)”，這個(gè)弱形式就如同哥德巴赫猜想中的“9+9”到“1+1”一樣重要。但證明過(guò)程一波三折，至今未能將這個(gè)正數(shù)證明到2。本文主要介紹了一種證明思路，或許不盡正確，但也不失為另辟蹊徑的一道良方。

一、孿生素?cái)?shù)的產(chǎn)生與進(jìn)展

對(duì)于孿生素?cái)?shù)的弱形式（波利尼亞克猜想），1966年陳景潤(rùn)利用篩法證明了存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)p，使得p+2要么是素?cái)?shù)，要么是兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積。雖然開(kāi)了一個(gè)頭，但后來(lái)很長(zhǎng)一段時(shí)間沒(méi)人超越，這與證明方法有關(guān)。直到2013年張益唐取得的突破性進(jìn)展，他在不依賴未經(jīng)證明推論的前提下證明存在無(wú)窮多個(gè)之差小于7000萬(wàn)的素?cái)?shù)對(duì)，這雖然與2相差甚遠(yuǎn)，但相比與正無(wú)窮的距離來(lái)說(shuō)已經(jīng)是微不足道的了。這是人類在證明孿生素?cái)?shù)猜想上打開(kāi)的第一扇窗戶，隨后在1個(gè)月內(nèi)這個(gè)距離被不斷刷新為6000萬(wàn)，4200萬(wàn)，1300萬(wàn)，500萬(wàn)，40萬(wàn)……到2014年2月該距離被縮短到了246。雖說(shuō)距離2已是近在咫尺，可似乎卻愈發(fā)覺(jué)得遙不可及。難道該方法如同篩法，也是雙刃劍，在取得可喜進(jìn)展的同時(shí)也埋下了不可跨越的鴻溝？為此作者通過(guò)研究孿生素?cái)?shù)的規(guī)律，另辟蹊徑，希望對(duì)該猜想的最終證明有所啟示。

二、繞開(kāi)陷阱，另辟蹊徑

1.偶素的素?cái)?shù)加和性質(zhì)

為尋找良方證明孿生素?cái)?shù)猜想，必須發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)的一些未被發(fā)現(xiàn)或被人忽視的規(guī)律。為便于研究，繪制表1的素?cái)?shù)表，每一行為一組質(zhì)數(shù)，每列為連續(xù)偶數(shù)的素?cái)?shù)加和式。為便于理解，該表引入了半數(shù)偏差概念（小的為負(fù)偏差，大的為正偏差），其偏差值N在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)距離的一半。

仔細(xì)觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1）孿生素?cái)?shù)出現(xiàn)的頻率（即行距）逐漸變大；（2）半數(shù)偏差為1的即為孿生素?cái)?shù)；（3）孿生素?cái)?shù)都分布在第2列；（4）孿生素?cái)?shù)出現(xiàn)后必?fù)Q行（因?yàn)樗財(cái)?shù)乘以2為偶數(shù)，這是分組的條件，所以自然必須換行）；（5）每一行的列數(shù)可以有很多但不是無(wú)窮的（因?yàn)樗財(cái)?shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，就是說(shuō)表中有無(wú)限行，也就是說(shuō)每一行的列數(shù)可以很多很多，但不能是無(wú)窮多，如果存在一行有無(wú)窮多就無(wú)法換行了，及行數(shù)有限，這與素?cái)?shù)無(wú)窮多矛盾）；（6）除了第一個(gè)素?cái)?shù)2所在的列，其它所有行都至少有第2列（如果某一行沒(méi)有第2列，則下一行首位素?cái)?shù)與本行首位素?cái)?shù)間的整數(shù)不能用兩個(gè)素?cái)?shù)之和表示，這與哥德巴赫定理矛盾-由于除了2任意兩個(gè)素?cái)?shù)加和是不等的，且都是偶數(shù)。所以當(dāng)?shù)趚個(gè)素?cái)?shù)N前的素?cái)?shù)可以表示N內(nèi)所有偶數(shù)時(shí)，第x+1個(gè)素?cái)?shù)到第x個(gè)素?cái)?shù)間的偶數(shù)必能被全部素?cái)?shù)兩兩加和表示，不然第x個(gè)素?cái)?shù)之前存在不能被全部表示的區(qū)間，一直往下推，可推出31以內(nèi)、5以內(nèi)素?cái)?shù)不能全部表示其內(nèi)部的偶數(shù)，這與事實(shí)矛盾。所以任何素?cái)?shù)區(qū)間內(nèi)的偶數(shù)可由區(qū)間內(nèi)的素?cái)?shù)兩兩加和表示，及哥德巴赫猜想得證）；由此可證明孿生素?cái)?shù)猜想可以依據(jù)表而轉(zhuǎn)化為證明“除了第一個(gè)整數(shù)所在的行，其它行必須有第2列，且有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)在第2列換行”。

前一半很容易證明，因?yàn)橹挥?和3兩個(gè)素?cái)?shù)的距離為1，所以其它任一整數(shù)必須存在第二列；但無(wú)窮多如何證明呢？這需要借用素?cái)?shù)的無(wú)規(guī)性。

素?cái)?shù)的無(wú)窮多已被歐幾里得證明，但素?cái)?shù)的無(wú)規(guī)性如何證明呢？因?yàn)樗財(cái)?shù)出現(xiàn)的條件只隨素?cái)?shù)自身改變，所以其天生具有不確定性，即無(wú)規(guī)性。因?yàn)樗財(cái)?shù)的無(wú)規(guī)性，所以對(duì)于任一>4的整數(shù)X，必存在N（N

2.合數(shù)的素?cái)?shù)因子性質(zhì)

眾所周知，整數(shù)可以由素?cái)?shù)及素?cái)?shù)因子乘積表示。參見(jiàn)表2：

由表2可見(jiàn)，從第一個(gè)素?cái)?shù)2和最小的因子乘積開(kāi)始，易得合數(shù)2=4，且這是唯一表述方法（因?yàn)?已經(jīng)大于2），不難發(fā)現(xiàn)2到4之間還存在3，且3不能被唯一的素?cái)?shù)2整除，所以此時(shí)必須要求3為素?cái)?shù)（不然將出現(xiàn)不能被素?cái)?shù)因子乘積表示的合數(shù)），這就是素?cái)?shù)出現(xiàn)的規(guī)律。2和3最小的乘積為2=6，4到6之間還存在5，5也不能被所有素?cái)?shù)因子乘積表示，由此可判定5為素?cái)?shù)；再試試2=10，6到10之間存在7、8、9，7不能被所有素?cái)?shù)因子乘積表示，由此可判定7為素?cái)?shù)，而8=2，9=3，故為合數(shù)；注意，此時(shí)最小的素?cái)?shù)因子乘積為2=12，10到12之間存在11，所以11為新素?cái)?shù)；接下來(lái)最小的乘積（整數(shù)）自然輪到2=14，12到14之間存在13，所以13為素?cái)?shù)；如此可以找出所有的素?cái)?shù)，且可以輕易發(fā)現(xiàn)一個(gè)錯(cuò)誤和一個(gè)規(guī)律，即在計(jì)算2時(shí)漏掉了更小的2和3；由此可知漏掉的8和9是必能被已知所有素?cái)?shù)乘積表示的合數(shù)，即一個(gè)規(guī)律為“素?cái)?shù)為不能用從最小素?cái)?shù)因子逐級(jí)乘積表示的非連續(xù)整數(shù)”。（順便提一下由于用的是因子的乘積，所以無(wú)論已知素?cái)?shù)有多少，總不能使整數(shù)連續(xù)，非連續(xù)項(xiàng)即為新素?cái)?shù)，即素?cái)?shù)有無(wú)窮多得證），也正是因?yàn)楹蠑?shù)的“因子逐級(jí)乘積性質(zhì)”，必有無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)S，使得S+2也為素?cái)?shù)。因?yàn)槿绻诘趚個(gè)素?cái)?shù)Sx后任一Sx+n+2都不是素?cái)?shù)，Sx+n+2到2 （Sx+n+2）間將會(huì)出現(xiàn)無(wú)法被Sx+n前素?cái)?shù)以因子乘積形式表示的情況，所以必須有無(wú)窮多個(gè)連續(xù)的奇素?cái)?shù)出現(xiàn)，及孿生素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)。

三、素?cái)?shù)規(guī)律

上述證明的素?cái)?shù)無(wú)規(guī)性是素?cái)?shù)基本的規(guī)律之一，但其最基本的規(guī)律應(yīng)該是定義，即“正因數(shù)只有1和其本身的自然數(shù)”。不過(guò)這不是我們所要的素?cái)?shù)出現(xiàn)規(guī)律。關(guān)于素?cái)?shù)的尋找，最著名的莫過(guò)于篩選法，即通過(guò)對(duì)整數(shù)Y逐級(jí)開(kāi)根號(hào)和去除根號(hào)內(nèi)素?cái)?shù)的倍數(shù)來(lái)確定Y內(nèi)的素?cái)?shù)。但此法必須是能開(kāi)根號(hào)的數(shù)，那么對(duì)于不是太大的數(shù)能否有一個(gè)可以找出任意整數(shù)前素?cái)?shù)的方法呢？答案當(dāng)然是有。

1.素?cái)?shù)的對(duì)稱性

整數(shù)可表示為“兩個(gè)素?cái)?shù)和的加和”的性質(zhì)也可以看做是素?cái)?shù)的一種對(duì)稱性質(zhì)，仔細(xì)觀察表1即可發(fā)現(xiàn)：“從3到任何素?cái)?shù)A范圍內(nèi)的素?cái)?shù)中必存在至少一個(gè)素?cái)?shù)與A到2A間的素?cái)?shù)關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱?！奔赐ㄟ^(guò)2A逐一減去A以內(nèi)的素?cái)?shù)即可得到包含A到2A間所有剩余素?cái)?shù)的集合，再逐一排除因子為3到A內(nèi)的素?cái)?shù)的數(shù)，剩下的即為A到2A內(nèi)的全部剩余素?cái)?shù)。如此從小到大即可找出所有素?cái)?shù)。

2.整數(shù)的連續(xù)性

由此自然可以想到是否可以利用合數(shù)的素?cái)?shù)因子性質(zhì)發(fā)現(xiàn)分布規(guī)律呢？當(dāng)然可以，這就是整數(shù)的連續(xù)性。從最小的唯一素?cái)?shù)2開(kāi)始，它作為因子最小可表示4，不連續(xù)，那么這個(gè)不連續(xù)的數(shù)必為素?cái)?shù)，即有了3；2和3可表示的僅大于4的數(shù)為6，也是不連續(xù)的，這個(gè)缺失項(xiàng)5必為素?cái)?shù)；這3個(gè)素?cái)?shù)因子可表示大于6的最小數(shù)為8，缺失的7為素?cái)?shù)；至此4個(gè)素?cái)?shù)因子可表示大于8的最小數(shù)為9；連續(xù)，所以接下來(lái)是這4個(gè)素?cái)?shù)因子表示大于9的最小數(shù)為10；連續(xù)，下一個(gè)最小數(shù)為12，缺失的11必為素?cái)?shù)…再用這5個(gè)素?cái)?shù)乘積逐級(jí)表示，凡是遇到不連續(xù)的整數(shù)就必為素?cái)?shù)，如此也可找出所有素?cái)?shù)。

以上兩種方法均可逐一找出所有素?cái)?shù)，若加之超級(jí)計(jì)算機(jī)將如虎添翼。另外如何驗(yàn)證所找出素?cái)?shù)的完整性呢？可以將所有素?cái)?shù)乘積再加1，如果該數(shù)為合數(shù)則表示素?cái)?shù)間有缺失項(xiàng)。

全文通過(guò)一種全新的思路，利用非素?cái)?shù)和與非素?cái)?shù)因子乘積表示的整數(shù)即為素?cái)?shù)的兩種思路，將整數(shù)以雙素?cái)?shù)和與素?cái)?shù)因子乘積的形式分別列入一個(gè)分布陣列表中，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)及孿生素?cái)?shù)的某些規(guī)律，并結(jié)合這些規(guī)律將孿生素?cái)?shù)猜想的形式轉(zhuǎn)變?yōu)椤俺说谝粋€(gè)整數(shù)所在的行，其他行必須有第2列，且有無(wú)窮多個(gè)整數(shù)在第2列換行”與“已知小素?cái)?shù)乘積不能表示的整數(shù)即為素?cái)?shù)”兩種新形式。再結(jié)合素?cái)?shù)性質(zhì)分步證明孿生素?cái)?shù)猜想，最后結(jié)合該表提出了兩種新的尋找已知素?cái)?shù)后下一個(gè)素?cái)?shù)的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] Zhang， Yitang.Bounded gaps between primes：Annals of Mathematics （Princeton University and the Institute for Advanced Study），May 21，2013.

（責(zé)任編輯 曾 卉）